通过“比的本质再认识”达到概念深化

摘 要：继提出“同类量的比”与“不同类量的比”学习路径之后，积极探寻新的路径，带领学生逐步脱离具体物体“量”的属性，抽象出“数”的属性，实现从“量”到“数”的跨越，从而深化对比概念的理解。具体而言，沟通比与除法、分数之间的关系，凸显比的本质；依托实例体会引入比的必要性，感受比的价值；经历从“量”的比到“数”的比的抽象过程，深化比的本质。

关键词：小学数学；比的认识；比的本质；概念深化

本文系浙江省哲学社会科学规划课题“基于认知发展模型的义务教育教科书编写质量提升研究”（编号：23NDJC265YB）、浙江省高校重大人文社科攻关计划资助项目“建设高质量教育体系背景下义务教育教科书编写质量提升路径研究”（编号：2023GH005）的阶段性研究成果。巩子坤为本文通讯作者。

在“同类量的比”的学习中，学生理解“比表示两个数量之间的一种倍数关系，比可以用分数的形式表示，两个数的比也可以写成两个数相除的形式”，初步感知比与除法、分数的联系。在“不同类量的比”的学习中，学生通过经历半直观、半抽象的过程，进一步理解比的内涵，了解不同类量的比，要去掉“名”，关注“数”，开始勾连贯通比与除法、分数。通过两堂课的学习，学生已初步建立三者之间的联系。

正如张奠宙教授所说，“返璞归真，正本清源，是数学教学的一项基本原理”［1］。比的本质如何学？不仅要帮助学生实现从“量”的比转化为“数”的比，更应当在引导学生沟通比与除法、分数三者关系的基础上，给予学生更多的时间去感悟、体会“比”概念的意义和价值。尽管学生通过前两堂课的学习，已有所感悟，但对“比”本质的深层次理解仍不深刻。例如，当被问及“什么是比？”“学习了除法和分数之后，为什么还要学习比？”“同类量的比与不同类量的比之间有什么联系与区别？”等问题时，学生还是无言以对。

对六年级学生来说，全面深入地理解和掌握比的概念绝非易事。这不仅依赖于教师的循序善诱，也受教材编排的影响。分析我国多版小学数学教材，发现它们在“沟通比与除法、分数三者关系”“深挖比的内涵”上着墨不多，这在一定程度上给教学带来了挑战。

如何帮助学生建立比与除法、分数三者之间的联系，达成对比的本质再认识，是一线教师不断探索和思考的方向。为此，我们在“同类量的比”与“不同类量的比”学习路径之后，积极探寻新的路径，以期在培养学生对比的本质再认识的同时，也为今后一线教师关于“比的概念”教学提供参考。

一、研究设计

研究对象是深圳市一所普通小学六年级甲、乙两个平行班（与开展“同类量的比”和“不同类量的比”教学实验的班级相同）。由教师Y继续授课。研究方法与流程同“同类量的比”和“不同类量的比”教学实验，本文不再赘述。

（一） 问卷编制

为检验学生在经过三堂课（《同类量的比》《不同类量的比》《比的本质再认识》）的学习之后，是否达成了三个进阶水平，设计后测问卷。具体内容如下：

水平一：概念定义。具体含义：理解同类量比和不同类量比的意义，感受学习比的必要性。指标描述：理解比的意义；初步感受学习比的必要性；能解决比的实际问题。问卷题目：跑48 km大约需要6小时，路程与时间的比是（  ），比值是（  ），这个比值表示（  ）。

水平二：概念延展。具体含义：厘清比、分数、除法三者之间的关系，凸显学习比的必要性。指标描述：结合生活实际，能建立比与除法、分数之间的联系与区别，感受三者的内在关系。问卷题目：跑48 km大约需要6小时，请用比、除法和分数表示路程与时间的关系，简单说说三者的联系与区别。

水平三：概念深化。具体含义：实现从“量”到“数”的跨越，引出两个无量纲的数的比。指标描述：能探索解决探究性、开放性的关于比的非常规问题，体现比的独特性。问卷题目：试着说一个能用“48∶6”表示的生活情境。

（二）计分标准

该问卷总分9分，各水平题目评分标准如下：

水平一：每空计1分，回答错误或者没有回答计0分；

水平二：描述完整清晰计3分，简单描述计2分，只写关系式计1分，回答错误或者没有回答计0分；

水平三：描述清晰完整计3分，简单描述计2分，描述不完整计1分，回答错误或者没有回答计0分。

二、研究过程与分析

（一）课前思考

在初构学习路径前，基于相关文献、教材与学情分析，形成几点思考：

1.精选问题情境，构建比与除法、分数之间的关系

前两条学习路径（同类量的比、不同类量的比）均以“运动会”情境为依托展开教学，本条学习路径是否也可以一以贯之，在“运动会”这个大背景下创设适当的问题情境，将比与除法、分数建立关系，从而更好地引领学生感悟比的本质？北师大版小学数学六年级上册配套的《教师用书》中指出，比的意义由除法发展而来，与除法、分数既有联系又有区别；“比”强调的是量与量之间的倍比关系的直接描述，而除法、分数更多的是强调两个量之间的一种运算关系，也会关注运算的结果。因此，选取怎样的问题情境，帮助学生自然而然地将比与除法、分数建立关系，是促使学生感受三者联系与区别的关键。

2.优选生活实例，感受比的不可替代性

前两条学习路径都选取了一些生活实例帮助学生感受学习比的必要性，但学生还是存在“有些问题完全能用除法解决，为什么还要学习比”的困扰。比的哪些应用是除法和分数无法取代的？生活中又有哪些典型素材能让学生充分体会学习比的必要性？本条学习路径应选取更具典型性的生活实例，进一步帮助学生感受比的不可替代性。

3.巧选学习方式，深度理解比的本质

张奠宙教授认为，比的概念有一个发展过程：最先是同类量的简单倍数比较，然后是同类量的复杂比，再次是不同类量的比较，最后则是从“量”到“数”引出两个无量纲的数的比［2］。因此，从“量”到“数”的比是一个多层抽象和高度概括的过程，需要经历从“狭义”到“广义”的发展过程。选择适当的学习方式，让学生深入浅出地体验比的抽象过程，对学生深刻理解比的本质尤为重要。

（二）学习路径C1

1.任务介绍

任务1的目标：巩固复习，简述比的含义。具体内容是：回顾所学，用自己的语言简单描述对比的认识。教师通过询问学生：前两堂课我们都在学习比的知识，你能用自己的语言简单描述一下什么是比吗？以此勾起学生对比的回忆，起到巩固复习的效果。

任务2的目标：创设情境，沟通比与除法、分数的关系。

子任务1：结合情境提出问题，选择比、除法或分数的形式列式解答。教师延续前两堂课的运动会情境：“小辉分别参加了50米和200米跑步比赛，观察表1，用你喜欢的方式描述小辉在哪项运动中发挥得更好？”

学生大致给出三种做法：

①50÷8=6.25（米/秒），200÷40=5（米/秒）。

②50∶8=50÷8，200∶4=200÷40。

③50∶8=50÷8=508，200∶4=200÷40=2004。

观察做法③中的两个等式，它们体现了比与除法、分数之间的关系，这也成为教师带领学生沟通三者关系的突破口。

子任务2：观察等式和表格，分析讨论三者的联系与区别。基于学生在前两堂课中的表现，认为学生在比与除法、分数三者关系的描述上存在一定难度。于是，教师在本堂课的学习单中增添了“比”一栏内容（见表2）。利用等式和表格，帮助学生有方向地填写“除法”与“分数”中的内容，分析得到三者之间的联系与区别，从而凸显比的内涵。

以下是课堂实录片段：

师 观察黑板上的关系式50∶8=50÷8=508，小组讨论，每个表达式中各部分的名称是什么？

生 “50∶8”中，“50”是比的前项，“：”是比号，“8”是比的后项，“508”是比值。

生 “50÷8”中，“50”表示被除数，“8”表示除数，“508”是商。

生 “508”中，“50”是分子，“8”是分母，“508”是一个分数。

师 既然三个表达式能用“=”号相连，它们之间肯定存在一定的关系。现在请大家拿出课堂学习单，四人小组再次合作，可以横着看，也可以竖着看，找一找比与除法、分数之间的联系与区别。

（小组讨论后全班展示交流，图1、图2分别是学生A和学生B的做法。）

师 这两位同学的做法，大家觉得怎么样？你们觉得哪个更合理？

生 我觉得B的做法更合理，因为比的那一行写的是各部分的名称，除法和分数的两行也应该写各部分的名称。

生 我也觉得B的做法合理，因为我们可以知道比的前项就相当于除法中的被除数，以此类推，用各部分的名称更能表达三者的关系。

师 所以B的写法更能概括出三者之间的关系。并且，同学们还发现“比”表示的是一种关系，“除法”其实是在平均分基础上的一种运算，而“分数”通常表示一种数（完善后的课堂学习单见表3）。因此，比与除法、分数三者之间既有相通之处，也有各自的优势。

任务3的目标：借助生活实例，感受学习比的必要性。具体内容是：运动会中，老师给每一位运动员准备了一瓶质量为100 g的混合果汁，包装上的“营养成分表”中显示，胡萝卜45 g、黄瓜汁30 g、苹果汁25 g。请选择一种合适的方式表示出营养表中三种成分之间的关系。学生写出45∶30∶25。教师引导思考：为什么用比的形式表示更合适？讨论并小结：比的形式既能表示量与量之间的关系，又能具体看出每一个量的多少;而除法、分数更多的是强调量与量之间的一种运算关系或运算的结果。教师通过这一生活实例，引导学生进一步体会学习比的必要性。

任务4的目标：梳理知识框架，深度理解比的本质。具体内容是：梳理三堂课的知识点，通过不同类型样例的勾连，实现比的抽象。为引导学生对三堂课的知识点进行梳理，从而勾连“同类量的比”与“不同类量的比”，实现比从“量”到“数”的抽象，教师借助情境不同但数字相同的比，请学生分别回答问题：（1）我有4支铅笔，你有3支铅笔，求两个人铅笔支数的比？（2）4颗智慧星换3支铅笔，求智慧星数量与铅笔支数的比？在解答过程中，学生会发现不论是同类量之比（4支∶3支）还是非同类量之比（4颗∶3支），去掉单位后都可以抽象为数的比（4∶3），从而感受到虽然在结果中前者无量纲，后者有量纲，但最终都是将“量”的比抽象为“数”的比。

2.问题分析

（1）任务1中产生的复习效果不明显

虽然教师勾起了学生对比的回忆，但有些学生只能浅层次地描述一两句，或简单地举一个用比解决的问题。这都没有涉及同类量比和不同类量比的联系，使得整体复习效果仍不够显著。

（2）任务2中的情境容易限制学生的思维

大部分学生会利用数量关系式“路程÷时间=速度”来解决问题，而写比和分数形式的人数并不多，其原因可能在于该情境限制了学生的思维。并且，该任务要求学生厘清三者的区别，这对学生而言存在一定的难度，不利于后续教学的开展。

（3）任务3中选取的实例不够典型，无法体现学习比的必要性

此任务的设计意图是让学生感悟比既能表示多个量之间的关系，又能具体显示每一个量的多少。但在实际操作时，由于学生认知中对除法的深刻印象和广泛应用，使得他们首先会想到用除法分别表示两个量之间的关系，如用45÷30、30÷25、45÷25分别描述三个量之间的关系。此外，三个量之间的比对学生来说是较特殊的情况，不利于学生从中体会比的必要性。

（4）任务4中引发的学习方式不够开放

教师一直在试图牵引学生搭建比的知识框架。在从“量”到“数”的比这一抽象过程中，教师参与过多，学生只能被动接受所学知识，并没有很好地体现“以学生为中心”的理念，也不利于学生对比本质的理解。

3.修改建议