小学数学现实问题解决中的“思维断点”：成因及对策

摘要：小学生的思维能力发展尚处在较低水平，在解决现实问题的过程中经常会出现“思维断点”。例如，已有的生活现实无法顺利连接概念、已有的知识经验无法顺利提取应用、现有的知识体系无法顺利拓展延伸，导致抽象化、概念化、同化与顺应时思维发生断裂。多维度贯通理解、结构化整体联结、跨领域高通路迁移，可以有效化解这些“思维断点”。

关键词：小学数学；现实问题解决；思维断点

《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出，义务教育阶段的数学学习要聚焦“现实世界”中的问题，“引导学生在探索真实情境所蕴含的关系中，发现问题和提出问题，运用数学与其他学科的知识与方法分析问题和解决问题”［1］。小学生的思维能力尚处在初级阶段，解决相关现实问题时经常会出现“思维断点”。

一、三种“思维断点”现象

（一）已有的生活现实无法顺利连接概念，抽象化时思维发生断裂

小学阶段，很多数学概念的学习都是由现实问题引出，进而在学生丰富的感性经验基础上展开的：通过实物操作和剪、折、画、描等，获得具身体验，然后进一步形式化和抽象化，对概念形成初步理解。但是，学生有时并不能把丰富的具身体验有效转化为理解概念的支架，更不能在多种表征方式和概念内部元素之间建立相应的联系，具体的形象思维与抽象的逻辑思维产生断裂。

例如，《分数的初步认识》一课，面对“一个蛋糕平均分给两个小朋友，用‘数学的方式’表示每个小朋友分得多少个蛋糕”的现实问题，学生通过切蛋糕、说过程，对“每个小朋友分得‘半个’蛋糕”很快就达成共识，但只有极个别学生提出可以用“12（或21）”来表示每个小朋友分得的蛋糕，且这种表示方式受到了大多数学生的质疑和否定，有的学生甚至认为 “这不是数学的方式，因为12（或21）不是‘一个’数”。从学生的回答中不难看出，课堂上具体、形象的操作过程，并没有内化为具有数学特质的活动经验，当然也就无法成为数学概念理解的“触发器”。

（二）已有的知识经验无法顺利提取应用，概念化时思维发生断裂

从认知的角度来看，问题的解决需要学生具备与之相关的知识和技能，并与他们的生活经验息息相关，但小学生已有的知识和经验往往与“现实世界”问题对接不上。

例如，《认识面积》一课，教学了面积概念后，教师让学生解决现实问题：比较一个长方形和一个正方形面积的大小。不少学生先现场测量长方形和正方形纸片，发现长方形的长是6厘米、宽是4厘米，正方形的边长是5厘米，再通过计算（6+4）×2=20、5×4=20，得出两个图形的面积相等的结论。很明显，学生将周长当成了面积，刚刚抽象出的面积概念并没有形成现实性理解，面对问题时思维产生了断裂——仍然囿于一维空间（周长）范围内，而没有发展到二维空间（面积）。

（三）现有的知识体系无法顺利拓展延伸，同化与顺应时思维发生断裂

有意义的数学学习主要通过同化和顺应两种方式展开，在这个过程中，思维也会出现断裂，具体表现为已有的知识体系无法“同化”新的学习内容或者现有的知识无法“顺应”发展到更高层面。

例如，教学小数的数位顺序，教师呈现学生以前见过的自然数计数器实物模型，让学生思考：利用计数器能否表示出小数？如果可以，该怎么表示？大部分学生认为不可以，少部分学生认为可以把个位上的一个算珠平均分为10份，个别学生能想到个位往右还可以继续添加数位，而在这些“新”数位上的算珠应该越来越小。作为十进制核心概念的现实模型，计数器中所反映的位值原理学生早已掌握牢固，并已经形成了结构模型（整数数位顺序表和计数器）。但是，他们的思考只停留在具体形象阶段，把算珠当作“物”来均分表示小数，而不能从计数器表征的十进制、位值制的角度自然推衍，导致自然数模型无法顺利拓展，从而正确表示出小数。

二、“思维断点”的成因分析

思维发展是一个纵向深入、横向扩展的复杂过程，其发展过程不是一条完全不间断（逐渐量变）的线，而是包含从旧内容到新内容转化（渐进过程存在中断）的线，既有量变，也有质变，所以思维发展既有连续性，也有阶段性。［2］纵观学生面对数学现实问题时的种种思维断点现象，不难看出思维断点主要出现在不同层级思维转换的节点上。究其背后的成因，可以从思维的转换性、整体性和自调性三个方面来分析。

（一）思维转换性不强，导致问题数学化过程不畅

思维转换性是指从不同角度去观察同一现象或思考同一问题，以获得对研究对象更全面的认识，寻求更完满的解决方案。解决“现实世界”问题，更强调代入具身动作与情感体验。其间，形象思维和抽象思维在不停地切换。为此，需要借助皮亚杰提出的“群”观念，将不同方式表征的“小群”统整在更大的“群”之下，并建立“小群”与“小群”内部的一一对应关系，才能顺利完成思维方式的转化。这对于小学生来说具有不小的难度，带来的直接结果就是无法将现实问题“数学化”，后续的问题解决也就无从谈起。

（二）思维整体性不强，导致解决问题时站位不高

思维整体性是指在研究问题时，全方位地去观察和思考问题所涉及知识的整体及局部的内在结构。“现实世界”问题所蕴含的知识大多呈现为多样、零散和内隐的状态，这就需要学生脱离具体情境的束缚，从问题本质出发进行整体思考，将零散知识围绕一定的原则和标准组织形成新的结构，在更大范围内和更高层次上迁移应用，进而顺利地解决问题。小学生大多缺乏对知识进行高位的整体化、结构化的意识和经验，由此导致获得的大多是无意义的“惰性知识”，即当他们面对复杂的现实问题时，往往只能根据问题本身呈现的现实信息，去关联可能和问题相关的单个知识点，“惰性知识”难以“活化”，无法在问题解决中发挥作用。

（三）思维自调性不强，导致解决问题时难以实现迁移

思维自调性是指存在于思维之中的自我意识，常常表现为个体认知过程中的一种元认知能力。解决“现实世界”问题的每一个阶段，都需要进行深入的分析和理解，需要元认知的持续参与，对知识不断进行动态筛选，对方法不断进行调整优化，对过程不断进行回顾检验，实现知识与方法的近迁移与远迁移。“元认知能力不足”的学生大多采用“一遍遍记忆以达到闭着眼睛就能做”的学习方法，对所学知识不知如何应用于生活，面对新问题时常常无法和其他知识建立联系，不会开拓新的通道和新的方法，也就无法顺利地解决问题。［3］

三、“思维断点”的化解之策

“现实世界”问题的顺利解决，有赖于学生思维的转换性、整体性和自调性的高水平发展。教学实践中，可以通过开展多维度贯通理解、结构化整体关联、跨领域高通路迁移的学习活动，有效化解思维断点。

（一）多维度贯通理解

小学数学的学段知识内容相互关联，由浅入深，层层递进，这样的特点决定了学生的学习活动也要以有序的方式展开。在教师引导下开展有序的学习活动，可以促进思维连续性的一般发展。但是，想要针对性地破解思维断点问题，还要特别关注不同思维转换的内在逻辑，提升学生不同类型、层次思维方式的转化能力，这就需要经常开展围绕一个知识点的多维度贯通理解学习活动。

1.贯通表征与意义

有研究表明，学生常常可以处理好单纯的表征活动，而在需要兼顾意义和表征时就会出现困难。［4］表征与意义的贯通，首先要以丰富的表征为基础，引导学生用不同的具体方式呈现出对知识的理解，从不同的角度获得对知识的具身体验。然后，要进行意义凝练，提供适当的教学支持，以激发学生对多重表征开展有效对比，发现其中的共同结构。

例如，前文提到的对“12”的理解，就可以围绕“一个蛋糕平均分给两人，每人分得多少？”这个问题展开，让学生用喜欢的方式表达自己的想法。学生可以用动作（操作）表征“一个蛋糕等分两份、一人分得一份”的过程，用图像表征“一个圆对折后其中一份涂上阴影”，用文字表征“每人分得半个”，用数学符号表征“每人分得12个”等。然后聚焦“12”，让学生思考：“用这样的数表达是否合理？从其他的表达方式中能否体会到为什么要用12表达？”学生展开合理联想，操作中的 “均分”“2份”“每人1份”就对应着分数的三个部分——“分数线”“分母”“分子”，所以用12表示，有理有据，意在其中，从数中体现分的过程。除此之外，还有学生说，“12”就可以理解为“一分为二”，所以分得的结果就是“半个”。至此，多种表征建立了密切的联系，学生形成了关于分数概念的丰富理解。这是一个从同一性角度探寻本质的过程，有效修复了表征与意义之间的思维断裂。

2.贯通过程与对象

数学内容可以分为“过程”和“对象”两个方面，“过程”指向动态的、可操作性的法则、公式、原理等，而“对象”指的是静态的数学定义的结构和关系。概念的过程和对象存在紧密的依赖关系，将动态过程转变为静态认知，要将过程和对象之间的元素建立一一对应关系。

例如，小学阶段三角形的概念“三条线段首尾相接围成的图形叫作三角形；三角形有三个顶点、三条边和三个角”，其定义方式就是“过程操作+对象结构”。但是，学生在经历一系列观察三角形、拼搭三角形的过程后，仅能指出静态的对象结构，却无法概括出动态的形成过程，过程与对象产生了“断裂”。对此，可以引导学生将拼搭时用到的三条线段对应三角形的三条边，每两条线段之间的连接处对应三角形的三个顶点，每两条线段张开的部分对应三角形的三个角，实现“动静结合、自如转换”。

（二）结构化整体联结

解决数学现实问题的过程可以理解为“数学化”的过程，需要建立现实问题和解决问题的数学结构之间的通路。“数学化”的过程能否顺利开展与思维的抽象、推理和建模等能力息息相关，从中反映出了个体思维的深刻程度。通过结构化整体联结，促进抽象能力、推理能力和建模能力的发展，将现实生活与数学知识顺利勾连，进而顺利解决问题。

首先，任何现实问题的解决都要经历知识提取和应用的环节。事实上，只有经过结构化整体联结的知识，才能顺利地被提取并应用。通过学习，刚开始获得的知识都是以零散的“点”的状态存在的，很容易被遗忘。当这样的“点”足够丰富并经过“再组织”的方式联结起来，就能形成网络状的知识体系。网络状的知识体系不断缩减，就能以“元”的状态长时间储存在脑海里。当面对相关的新问题时，长时储存的“元”状态知识会以“线”的方式顺利提取出来，并可以灵活地加以应用。就算知识结构中的部分知识记忆丧失了，也会有线索重新把相关知识组织起来。

例如，对于“面积”概念，可以如下页图1所示对知识进行分析和“再组织”，形成内涵丰富的网络状知识体系。

其次，现实问题中存在的日常数学概念需要转化为科学数学概念。结构化整体联结的方式为日常概念到科学概念建立了一条通路。日常概念表现出概念最原始、最基本的方面，并因为与生活联系紧密而显示出“活力”；科学概念则是对事物本质属性概括、抽象的表达，它以一种相对稳定的方式出现。

可见，日常概念和科学概念是基于相同对象的不同概念表现形式，存在本体上的一致性，所以要利用整体、联系的思维方式，打通不同

体系之间的壁垒，将日常概念和科学概念融通——既能根据需要将原始、基本的日常概

念“上升”到高级、抽象的科学概念，也可以由纯数学的科学概念“复归”到现实生活中的日常概念。这种上升与复归的活动，伴随着思维经历“具体—抽象—具体”的联结、互通的过程，由“零碎的认识”发展到“整体性把握”，增强了思维的深刻性。

例如，学生经常将数学概念中的“角”理解为日常生活中的桌角、墙角等。基于这样的认知起点，在“认识角”的过程中，让学生找一找桌角、墙角的共同之处，发现“它们都有尖尖的点，点都连接着一些直直的线”。之后，引导学生抓住这些共同特征，思考并尝试概括“角是什么样子的？它包括哪些部分？”，促进学生形成结构化整体认识，对于角的理解自然而然从日常概念上升到数学概念。最后，让学生带着对概念的理解回头看生活中的实物，剖析其中“隐藏”的各种不同的角，从数学概念成功“复归”到现实生活。

（三）跨领域高通路迁移

数学现实问题顺利解决的内在机制是正向迁移。依据新旧任务之间相似程度的高低，正向迁移又分为低通路迁移和高通路迁移：低通路迁移，只能达成相似的“具体与具体”之间的简单关联，如让学生“刷题”熟悉各种题型；高通路迁移，则不断形成“具体与抽象”以及“抽象与抽象”交错的复杂认知结构，从而能够联结不相似的“具体与具体”。［5］问题解决需要围绕问题重新组织已有的知识，建立全新的联系，形成全新的结构，创造性地开拓出一条全新的通路。高通路迁移能否发生，取决于学生的思维是否达到高级水平。不同于一般思维只需要机械应用先前获得的经验，高阶思维需要将独立的经验联系到一起去寻找解决方案，并且这种联系从未发生过。这种新的联系一旦无法建立，思维也就囿于原有水平，无法发展至高阶思维的层次，思维断点就此产生。