多向打开：寻求知识间的内在联系

摘要：“分数的基本性质”在数学知识序列中属于具有承上启下作用的核心知识。教学时如果既关注分数的意义，又联通度量单位变化的意义，可以使原来略显单薄的知识变得丰富且生动，还能够串联起多个知识之间的内在联系。基于此，《分数的基本性质》一课教学展现了规律教学的特点，让学生经历规律的探索过程;展现了核心知识的意义和价值，让学生经历知识的构建过程。

关键词：《分数的基本性质》;探索规律;构建知识

本文系全国教育科学“十三五”规划2020年度教育部重点课题“小学数学核心知识建构的教学研究”（编号：DHA200370）的阶段性研究成果。“分数的基本性质”在数学知识序列中属于具有承上启下作用的核心知识，在学生后继学习中应用颇多。如何培养学生从现象中发现规律的眼光？如何培养学生验证猜想和运用规律的意识？让学生经历知识“再创造”过程，具有重要的教学意义，也是数学核心知识教学的常用策略。同时，这一知识与之前学习的分数、除法等知识，与今后将要学习的比的基本性质等知识，都有着密切的联系。所以，教学时需要将这些知识进行前后勾连。另外，从分数单位的角度来看，它与单位转化的方法是一致的，教学时如果既关注分数的意义，又联通度量单位变化的意义，可以使原来略显单薄的知识变得丰富且生动，还能够串联起多个知识之间的内在联系。

《分数的基本性质》一课的教学内容是苏教版小学数学五年级下册第66—67页的例11、例12、“练一练”和第69页的练习十第1—2题。教学目标确定为：（1）自主探究、全面理解分数的基本性质，能借助分数的基本性质进行分数的改写;（2）学会多角度思考，能充分运用新旧知识之间的内在联系解决问题;（3）发展初步的归纳、类比能力，养成严谨细致的学习态度。教学重难点是：探究和理解分数的基本性质，感悟分数的基本性质与分数单位的关系。教学过程及评析如下：

一、教学过程

（一）基于旧知，感知规律

师（出示图1）在前面的《动手做》中，我们认识了“分数墙”。你能在这个“分数墙”上看到哪些分数？

生12、13、14……

师想一想，什么在变？什么没变？

生分母逐渐变大，分子都是1。

生分数的大小也变了，变得越来越小。

师（指第4行）再看这一行，你能看到哪些分数？

生我看到了14、24、34、44。

师屏幕显示：14、24、34、44再看看这些分数，说说你的发现。

生分母没有变化，分子越来越大，分数也变得越来越大。

师看来分数的分母变化或分子变化都会引起分数的大小变化。

师在“分数墙”上找一找，有与12相等的分数吗？

生24=36=48=12。

师虽然它们的分子与分母都发生了变化，但是从“分数墙”上，我们一眼就可以看出它们是相等的。想一想，与12相等的分数可能还有哪些？

生816、1020……

师看来还真不少，但大家说这些分数和12相等，光靠直觉是不行的，还需要验证一下。如果不借助“分数墙”，你有什么办法来确定它们与12是否相等呢？

生我想通过画图或折纸来比一比。

生我想化成小数后比较大小。

生我想到了商不变的规律。

师有这么多办法，你们真会思考！

[思考：从分数的意义出发，学生一般能发现分数的大小变化与分子、分母的变化有联系;在发现分子或分母有规律的变化中，能初步感悟函数思想，并对等值分数有了初步的直觉判断。其中，在变化中发现分数大小不变的特例是本环节的要点。]

（二）初步探索，发现规律

1.自主探究，提出猜想

师请先选择一个分数，用你刚才说的方法，比如折一折、画一画或者算一算，来验证它和12是相等的。

（在学生操作之后，组织交流。教师相机板书。）

生我用的是折长方形纸的方法。先对折，就是把它平均分成了2份;然后涂出1份，涂色部分就是这个长方形的12。继续对折3次，我把它平均分成了16份，这时涂色部分就是这个长方形的816。所以，12=816。

师用折纸的方法来验证，比较直观。

生我是画图来验证12和510是否相等的。先画10个小正方形，再把它们平均分成2份，涂出它们的12，就是5个;再把它们平均分成10份，这时涂色部分就是它们的510，还是5个。所以，12和510是相等的。

师用画示意图的方法来验证，看上去很清晰，也验证了结果是相等的。

生我是化小数来验证的。12=1÷2=0.5，1020=10÷20=0.5，所以12和1020是相等的。

师化成小数再比较大小，很简洁。

生我是用商不变的规律来验证的。根据分数与除法的关系，先把这几个分数改写为除法算式，12=1÷2，1224=12÷24，依据商不变的规律，可以发现1÷2=12÷24，两道算式相等，所以两个分数也是相等的。

师能联系以前学习过的知识来验证，你真会思考！通过同学们的探索，我们可以发现12的分子和分母都变了，但是大小却可以不变。（指向板书区域）这里的12的分子和分母是随便变化的吗？你能发现这些分数变化有什么规律吗？

生12=1×22×2=24。

生12=1×32×3=36。

……

师结合刚才验证的过程，再看一看这些分数，你能概括一下它们的变化规律吗？先想一想，再和同桌说一说。

生12的分子和分母同时乘一个相同的数，分数的大小不变。

生分数的分子和分母同时乘一个相同的数，分数的大小不变。

师比一比这两位同学的说法，哪一种更准确？

生第一种。

师用由12发现的结论来概括所有分数，显然是不行的，但是我们可以把它先当作一个猜想。有了猜想就必然要验证，你认为可以怎样验证？

生我觉得可以多举一些不同分数的例子试一试。

生我觉得乘相同的数时也要多试几个数。

师既要选择不同的分数，又要考虑乘相同的数时多试几个，你们真会思考！请大家每人再举一个例子来验证这个猜想。

[思考：基于分数的意义，借助画图、折纸等方式直观呈现，将分数转化为小数，或者通过商不变的规律进行推理，多角度地说明这些分数与12相等，有利于学生得出科学的数学结论，形成严谨的思维习惯。]

2.丰富素材，验证猜想

师我们来交流一下大家验证猜想的过程。

生我选的是一个真分数。45=0.8，分子、分母同时乘2后是810，也等于0.8，说明这个猜想是对的。

生我选的是一个假分数。1110=11÷10，110100=110÷100，根据商不变的规律，它们的商是相等的，都是1.1。

师考虑了两种不同类型的分数，你们的想法比较全面。还有特别的例子吗？

生有。我选择的是66，分子、分母同时乘5，得到3030，它们都等于1。

师这个例子是有点特别。有不符合这一规律的例子吗？

生没有。

师既然找不到反例，我们就基本上可以说前面发现的这个规律是正确的。

[思考：举出更多的例子，且这些例子尽可能包含所有的类型，以此进一步验证先前的猜想。同时，变换思考的角度，引导学生寻找猜想的反例，来说明这个猜想是正确的。本环节，带领学生经历“验证猜想—得出结论”的过程，以形成科学、严谨的学习态度。]

（三）全面探索，揭示规律

1.回顾方法，拓展猜想

师刚才，我们在“分数墙”上发现了许多与12相等的分数，然后猜想、验证，得到结论。你能由这个结论出发继续猜想吗？先自己想一想，再和大家交流一下。

生我猜想，分数的分子和分母同时除以一个相同的数，分数的大小不会发生变化。

生如果分数的分子和分母同时加上一个相同的数，分数的大小也可能不变。

生我们还可以试试分数的分子和分母同时减去一个相同的数，看看分数的大小会不会发生变化。

师一个结论引发了我们这么多的猜想，你们很会思考！

[思考：规律的发现离不开猜想，而猜想不是凭空产生的，变换已有结论中的部分要素是猜想的常用方法。这里，让学生提出有价值的新猜想，旨在打开学生的思路，为全面探索分数的基本性质做准备。]

2.自主验证，集体交流

师请每个小组任选一个猜想，举几个例子验证一下。

（在学生分组验证之后，组织交流。教师相机板书。）

生我验证的是第一个猜想。我把1025的分子与分母同时除以5，得到25。1025等于0.4，25也等于0.4，它们是相等的。

生我举的例子也可以说明这个猜想是对的。我把1812的分子和分母同时除以6，得到32，化成小数都等于1.5。

师这两个例子说明了第一个猜想是正确的。有说明这个猜想不正确的吗？

生没有。它应当是正确的。

生我的例子验证了第二个猜想是不正确的。我先写23，把它的分子、分母同时加上1，得到34。23等于0.666…，而34等于0.75，两个分数不相等。

师只要举出一个反例，就可以推翻一个结论。第二个猜想被我们否定了，那第三个猜想呢？

生我把59的分子、分母同时减去4，得到15，这两个分数不相等。

生老师，我找到了一个特例：55的分子和分母同时加上1，得到66，还是相等的;同时减去1，也相等。

师这个例子还真的相等。对于这个例子，你有什么想说的？

生这只是一个特例，可其他的分数都不行，照样不能说明后两个猜想成立。

[思考：通过从正、反两个方面验证猜想，引导学生学会全面地思考问题，养成良好的思维习惯。]

3.总结规律，沟通联系

师通过刚才动手动脑，举例验证，我们知道：分数的分子和分母同时除以一个相同的数，分数的大小也不变。与之前的结论合起来，可以怎样说？

生分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的数，分数的大小不变。

师这里，“相同的数”是否要考虑特殊情况？

生“相同的数”不能为0。

师现在谁能用简洁、准确的语言把我们发现的规律说一说？

生分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。

师这是分数知识中的重要规律，叫作分数的基本性质。（板书课题）你是否有一种与它似曾相识的感觉？

生有点像除法中商不变的规律。

师是的，一起来看。（出示四年级教材中的“商不变的规律”）小声地读一读。想一想它们之间的联系，然后同桌说一说。

生根据分数与除法的关系，分子可以看成被除数，分母可以看成除数，那么，分子和分母同时乘或除以相同的数，就相当于被除数和除数同时乘或除以相同的数。

师找到了这样的联系，可以帮助我们更加深刻地理解新知识。学习了分数的基本性质，我们可以用它进行一些简单的判断，解决一些简单的实际问题。

[思考：借助分数与除法的关系，使“商不变的规律”与“分数的基本性质”前后勾连，帮助学生从不同的角度理解新知识。]

（四）练习运用，理解规律

1.判断等式正误

师下面的等式成立吗？成立的在后面画“√”，不成立的画“×”。