思政元素融入高等数学课程的研究

［摘           要］  实现立德树人这一根本任务的主要举措是课程思政的建设。高等数学是一门非常重要且是理工科必修的公共基础课程，是后续专业课程的数学根本。通过深入分析和挖掘高等数学教学中的思政元素，建立了高等数学课堂挖掘和融入思政元素的方式，并阐述了作为教师能较好地开展高等数学思政教育的对策和要求，使学生的世界观、人生观、价值观在专业课程传授过程中潜滋暗长，实现优质的教育效果。分析了高等数学目前面临的问题及拟采取的措施。

［关    键   词］  高等数学；课程思政；数学知识；数学之美

［中图分类号］  G642                   ［文献标志码］  A                   ［文章编号］  2096-0603（2023）27-0129-04

作者简介：崔静静（1989—），女，汉族，河南焦作人，博士，讲师，研究方向：数值代数。

黄政阁（1989—），男，壮族，广西南宁人，博士，副教授，研究方向：数值代数。

一、引言

习近平总书记在全国高校思想政治工作会议上指出：“做好高校思政工作，就是要用好课堂教学这个主渠道，各门课都守好一段渠，种好责任田，使各类课程与思想政治理论课同向同行，形成协同效应。”[1]这说明在课程教学时对学生进行相应的思政教育的重要性。从德育入手，引导学生做学问先做人，并培养学生的理想、抱负、意志和坚定性等，使学生成为德才兼备、全面发展的人才。

广西民族大学位于广西壮族自治区南宁市，其人才培养对全国的经济社会发展起到较好的促进作用，其中一部分已成为各领域的佼佼者。自然科学的发展离不开数学的发展，因此，广西民族大学的理工科专业均开设公共数学课：高等数学。高等数学既是一门重要的基础课程，又是理工科专业大一新生的数学公共课程。大一新生在步入大学之前遇到的很多事情均有父母的陪伴和开导，但步入大学之后，父母不在身边，遇到问题时可以寻求教师的帮助，因此在学时长、人数多、开设范围广的高等数学课程中教师传授知识的同时担任着培养学生分析、解决问题能力和思想教育的重任[2]。但由于高等数学内容多、比较抽象复杂且时间紧等特点，使学生感到枯燥无味，且教师把大部分精力投入概念、定理的理解和大量习题运算中，这种传统的高等数学课堂无法使学生产生浓厚的学习兴趣，因此，通过在高等数学中融入思政元素，让学生感受数学之美，在数学学科中树立正确的世界观、人生观、价值观，激发学生学习的积极性。此外，由于高等数学开设范围广，涉及人数多，在课程中科学、合理地融入思政教育可以使学校在大范围内提高学生的思想觉悟。

思政教育不能以枯燥、单调、生硬的方式展示给学生，而是在专业课程传授过程中使学生的世界观、人生观、价值观潜滋暗长，实现优质的教育效果。本文分析和挖掘高等数学知识点的思政元素，讨论如何将思政课程有效融入教学之中。

二、思政元素融入高等数学课程的途径

（一）融入我国数学发展史培养学生的爱国情怀

中国数学在世界数学发展中占有重要的地位，中国数学对世界数学的发展做出很大的贡献。在讲授高等数学课程时引入我国数学家的成就，不仅可以拓展学生的知识面，提升学生的学习兴趣，还可以激发学生的爱国情怀，潜移默化地培养学生的科学精神。如在讲授极限思想时，可以向学生介绍我国数学家刘徽的割圆术思想：当边数无限增多时，圆内接正多边形的面积就无限接近于圆的面积。这里告诉学生，虽然刘徽的割圆术思想比古希腊人晚了几百年，但它在割圆术思想基础上取得的成绩超过了和他同代的数学家。比如刘徽用圆内接三千零七十二边形的面积估计出的圆周率的近似值更为精确[3]；在引入级数概念时向学生解释古代这句话“一尺之锤，日取其半，万世不竭”的意思，告诉学生，在很久之前我们的祖先就意识到了级数。并且介绍我国数学家生活的时代背景，揭示即使在不富裕的年代，我国数学家也没有计较物资是否充足，是否有回报，而是忍着饥饿一头扎入研究中，我们应该以他们为榜样，学习他们不怕吃苦的精神。由此可见，在讲授课程内容时，向学生介绍中国数学史，理解数学家生活背景，让学生深深地被科学家的精神所震撼，培养学生的爱国情操。并且科学家敢于创新的精神告诉学生不要拘于一格，要大胆去想、大胆去实施，这种精神影响学生遇到数学问题敢于去想解题方法，不会怯而止步，而是在以后生活中遇到任何问题都可以冷静对待，想办法解决。

（二）挖掘高等数学知识蕴含的哲理，引领学生健康成长

不仅思政课有辩证法，数学学科的知识点也体现了辩证法。教师应在充分理解知识点的基础上，挖掘其所蕴含的辩证法，使学生看到事物的两面性[4]。从这些思想方法中挖掘隐含的思政元素，方便学生更好地理解数学知识，掌握数学思想，也可以润物细无声地帮助学生树立正确的世界观、人生观、价值观[5]。例如：

1.我国古代数学家刘徽利用圆内接多边形来近似计算圆的面积，经过大量的研究，随着边数的增加，正多边形的面积对圆的面积就有一个更好的逼近。也就是说，随着内接多边形的边数趋于无穷时，用其面积逼近圆面积的误差可以任意小，可以小于给定的任意小的正数。在此就可以引入思政元素是量变引起质变：学生学习必须扎扎实实地进行积累，每天进步一点点，做好自己的一点一滴，日积月累，最终离我们的目标梦想越来越近。反之，如果一个人花在学习上的时间较少，平时不注意日积月累，怎么可能在该收获的时候拿出成绩，取得成功呢？

2.又如从数列极限的定义“ε-δ ”可知，一个数列是否无限接近于一个有限数，是从某一项以后开始，数列与这个有限数的距离是否可以任意小。也就是说，数列的敛散性取决于数列的后无穷多项，与前有限项无关。通过数列的定义告诉学生：一个人最终是否能成功和前面走过的路和遇到的挫折没有直接的影响，人生有很多坎要迈，很多路口可选择，不要因为自己一次失误就放弃自己，就断言自己不会成功，自暴自弃，我们一定要重拾信心，继续努力学习工作和生活，要坚信一切都会过去，绚丽的彩虹总是在风雨后。

3.学习一阶微分形式的不变形：u不管是中间变量还是自变量，函数y=f（u）的一阶微分形式是相同的。其反映了对立统一的思想。借此告诉学生，在我们生活中，既有美丽的风景，又有不尽如人意的事情，我们不能单单看到它好的或者不好的一面。对于的确无法改变将要发生的事情，能做的是把坏的一面尽量向好的一面转化，做好对立中找统一，在统一中看到对立。

4.计算曲边梯形面积的方法“分割，以直代曲，近似求和，取极限”来引入定积分的概念时告诉学生：当我们在人生道路中遇到困难或者想到达某个目标时，可以将困难或者目标划分成若干个小阶段，在每个小阶段以正确、有效的方法克服困难和达成小目标，经过时间的积累，也就是对应定积分概念中的“取极限”，让我们离目标越来越近，无限趋近目标，最终克服困难和达到我们想要的结果。此外，学习利用等价无穷小计算函数极限时，通过例题展示给学生利用等价无穷小可以简单地计算一些函数的极限，但是有前提条件的。通过这个数学知识告诉学生，在生活中遇到困难时，父母和朋友可以帮助我们快速地解决问题，但是他们帮忙是有条件限制的，不是什么都可以帮忙，也不是随叫随到，并且在力所能及的范围内帮助我们时，我们要感恩。

5.在讲授反常积分概念并如何计算反常积分后，有一个重要的课程设计就是教学生如何判断给定的积分是常义积分还是反常积分以及计算时两者的区别时，用一个例子=0是否正确？答案是不对的，计算上述反常积分时不能想当然用“偶倍积零”的性质得出结果为0，原因是这个反常积分是发散的。通过这个例子告诉学生：反常积分使用“偶倍积零”这一性质的前提是反常积分必须收敛。借此可以教育学生学习和做学问不能抱着想当然的态度，要有严谨的学习态度，并在生活中遇到问题时要有自己的见解，不能人与亦云，不要轻易下结论，要有事实依据，不然很容易与机遇失之交臂，也容易引起不必要的麻烦。

（三）揭示数学之美，激发学生学习的兴趣和积极性

高等数学课程往往是每届学生最怕的一门课，因为高等数学逻辑性强、内容多，且与其他课程相比，它是比较枯燥的，学生往往提不起兴趣或者知难而退。这时教师应该起到指路人的作用，带领学生体会到数学学科独特的美，让他们感叹数学学科的神奇，由此衷心喜欢上这门课，这样他们才会自主地投入学习。体现数学美的知识点有很多，下面介绍以下几个。

1.和谐美：隐函数求导是多元函数微分很重要的内容，在讲隐函数求导之前先学习了多元函数的偏导数。给定一个方程或方程组，学生自然而然想把隐函数显化，从方程中解出这个函数，然后再对函数求偏导。这种方法在很多情况下是比较困难的，因为隐函数的显化有时并不能实施，由此引出隐函数求导。函数F（ｘ，ｙ，ｚ）＝０满足隐函数存在定理的条件下，有

这种“负交叉”的形式和谐美便于形成记忆规律，加深学生的掌握。

2.严谨美：数学学科的基本特点是严谨美。在讲授高等数学的定义、定理或推导证明过程时带领学生体会其严谨美，让学生从心里被数学学科所折服。如在学习平面点集的相关概念——内点、外点、边界点时，对于图1，按照内点、外点、边界点的定义可知，在集合Ｅ内部的点（阴影部分）就是内点，集合Ｅ外部的点就是外点，集合Ｅ的边界的点就是边界点。此时有学生提出疑问，刚才的描述通俗易懂，为什么还要用书上这么复杂的概念去定义内点、外点和边界点呢？再看一个例子，集合Ｆ＝Ｅ∪Ｐ，如图2，仅根据刚才的理解，P点是外面的点，所以是外点，这个结论是不对的。实际上P点是外界点。所以在数学中有时直观性理解不能代替精确定义，让学生感受数学的严谨美，激发学生对数学知识的崇敬感。

3.简洁美：如求定积分x2dx，即使被积函数是简单的幂函数，但直接按定义来计算已是不容易的，更何况被积函数是其他复杂函数f（x），其难度更大。在引入变限积分之后，带领学生推导“微积分基本定理”，随后向学生解释原来复杂的定积分或者不规则平面图像的面积竟然可以用原函数在区间上的增量来计算

其中F（x）为f（x）的原函数。牛顿——莱布尼兹公式形式简单且方便计算定积分，反映了数学的简洁美。

4.对称美：对称是高等数学中常见的现象。比如，在讲授双曲线、星形线等对称的几何图形时，告诉学生正是因为这些曲线既是中心对称又是轴对称，所以才会有这个漂亮的图案，世界才会五彩斑斓。此外，利用对称性可以帮助我们简化高等数学中一些问题的计算，比如在计算定积分、重积分、曲线积分和曲面积分时，若能合理利用对称性，将能简化这些问题的计算。高等数学中还有很多对称现象，如有限与无限、无穷小与无穷大、连续与间断、原函数与反函数等前后呼应、成对出现，这些都反映了对称美。

5.对立与统一美：定积分、重积分、曲线积分及面积分是属于不同类型的积分，但其均具有线性、积分区域可加性的共同性质，其体现了数学的统一美。但由于第二类曲线积分和第二类曲面积分是向量函数定义在有向曲线和有向曲面上的，其与前面提到的积分有本质的区别，因此当积分曲线（积分曲面）的方向改变时，第二类曲线（曲面）积分前面就会多出来一个符号。这是前面几种积分不具备的性质，体现了数学的对立、统一美。

6.奇异美：数学的奇异美是数学学科奇特的地方之一，学生会从中体会到和常规认知相悖的地方，但却又是正确的。如在学习周期函数时，人们往往认为每个周期函数都有最小正周期的，而周期函数Dirichlet函数