数学建模融入应用数理统计中的案例教学研究

［摘           要］  应用数理统计是工科研究生培养过程中一门重要的应用类数学公共课程。针对应用数理统计课程教学中存在的教学模式单一、工程实践能力不强等问题，探讨了新工科背景下数学建模融入应用数理统计课程中的递进式案例教学，以数学建模赛题为基础，按照课程知识点将其设计成多个部分组成的螺旋递进式案例，并与传统教学的效果进行对比，结果显示，案例教学组的课程成绩、满意度要显著优于传统教学组。数学建模融入应用数理统计的递进式案例教学有助于培养研究生统计思维和工程实践能力，推动应用型创新人才的培养。

［关    键   词］  应用数理统计；数学建模；新工科；递进式案例

［中图分类号］  G642                    ［文献标志码］  A                  ［文章编号］  2096-0603（2023）35-0033-04

一、引言

“新工科”概念自2016年提出以来，迅速受到学术界和业界的广泛关注。新工科教育注重产业需求导向、跨界交叉融合和支撑服务，注重培养学生的创新能力和工程实践能力[1]。应用数理统计课程是工科研究生公共基础必修课程，是研究生培养过程中一门重要的应用类数学公共课程，所有尝试科学试验的自然科学、社会科学领域都需要掌握统计学的知识。大数据时代下，研究生的数据统计分析能力与数学建模水平是应用型研究生综合素养、统计分析能力和创新能力的根基，更是能否真正成为高层次创新型应用人才所应具有的数学理论准备[2]。如何在新工科背景下深化应用数理统计课程教学改革，助力提升研究生培养质量，是研究生教育面临的极具挑战性的问题。

不同于本科阶段，研究生阶段的教育会更加注重培养学生的创新能力。目前大多数研究生一方面没有机会直接进到企业接触实际应用场景；另一方面从书中获得的理论知识稍显浅薄。而综合数理知识与实际应用场景的数学建模竞赛赛题涉及的覆盖面广泛[3]，大多是与国家战略需求、社会热点等相关的问题，或是贴近科学研究前沿的有待解决或完善的问题。通过数学建模竞赛赛题的训练，能够培养研究生综合运用数学模型、统计分析的思想及方法解决实际问题的能力，同时有助于培养他们的创新能力及团队协作精神。而新工科建设中卓越工程师的核心秘诀就是其创新意识、团队协作精神和工程实践环境。因此，在应用数理统计课程教学中，适当引入数学建模竞赛的相关内容作为教学案例，为研究生提供一个可触达实际需求和场景的“练兵场”，是实战的重要方式，将使研究生从全新的角度对课程的意义产生新的认识。因此，开展新工科背景下数学建模融入应用数理统计课程的案例教学研究对提高研究生工程教育质量和培养卓越工程师具有重要的实践意义。

二、应用数理统计课程教学现状

应用数理统计是数据统计分析的重要基础课程。一些高校理工科专业开设这门课程的主要目的是培养学生数据统计分析能力，这也是研究生后续从事科研的主要数学工具。由于课程学时少、学生数学基础参差不齐等原因，应用数理统计课程在传统教学中仍存在一些问题。

（一）教学模式单一，教学内容与行业前沿相脱节

首先，应用数理统计课程教学大多沿用传统的数学课程教学方式，偏重于统计理论传授和公式推导，使得任课教师成为传授知识的主动者，研究生被动地接受知识，大大削弱了其积极性和主动性，导致学生只能死记硬背和套用数学公式，而无法领悟其中的数学思想[4]。其次，教学内容大多是课程驱动，以知识为导向，课堂上一些研究生缺乏批判思维，不敢挑战或质疑权威，主动创新不足，难以促成课程的高阶性学习。最后，应用数理统计课程虽然是面向理工科不同专业开设，但没有针对不同专业进行个性化内容设计，导致教学内容无法有效衔接后续核心专业课程，更与行业前沿相脱节，使得研究生难以将所学知识应用于实践。

（二）课程工程实践能力培养弱，学生有效参与度低

人工智能和大数据时代，新兴学科与传统学科、工程教育与传统科学人文教育的有机融合，推动科技发展走向高度融合。新工科建设也要求不同学科之间的渗透交叉融合，全面提升研究生的工程实践能力与综合素养。然而，在应用数理统计课程教学过程中，缺少实践应用环节，而且不同学科知识之间交叉融合得不多，仅依赖单一学科的知识实际上很难产出有创新性的成果。大数据AI融合发展背景下，学术界与产业界边界的模糊化，使得研究生现有的工程实践能力无法满足产业界实际工程问题的需求[5]。而研究生与导师之间的单向知识灌输，又使得学科交叉关联性不强，无法满足研究生的个性化培养，更无法让研究生意识到团队协作的重要性。

三、数学建模融入的递进式案例教学设计

要把理论知识转化为实践能力和创新创业能力，最根本的途径仍然是加强实践环节。教育部更是明确将学科竞赛作为实践教学与人才培养改革的重要环节[6]。全国研究生数学建模竞赛（NPMCM）最早于2003年举办，自2013年起成为全国研究生创新实践系列活动之一。数学建模是对工程领域或社会热点等实际问题进行研究，要求将其转化为数学模型加以求解并不断优化的过程。数学建模竞赛赛题通常是具有实际工程背景或是具有广泛应用前景的问题，是联系数学理论知识与实际问题的桥梁，更是培养研究生创新意识和实践创新能力很重要的一个实践环节[7]。对于研究生来说，不仅要学会在合适的情境选择相匹配的数据分析技术和统计方法解决实际问题，还要学会如何优化、迭代所构建的数学模型。

因此，针对不同专业特色，将数学建模融入应用数理统计课程的教学过程中，把数学建模竞赛赛题转化为递进式教学案例，将建模思想贯穿整个教学过程，有机融合“理论教学”与“实践教学”，实现课程教学与专业学科交叉融合，提升应用数理统计课程内容的高阶性、先进性与创新性，有助于解决现有教学中存在的问题，全面提升研究生运用数学统计知识与建模方法解决复杂工程问题的能力。

（一）重塑课程教学内容，贯穿创新链

根据不同专业特色和后续课程的需求，课程教学内容安排应有所侧重。新工科建设背景下，基于建构主义理论，重塑课程教学内容，包括概率论基础、统计基础、参数估计、假设检验、方差分析、回归分析、主成分分析、正交试验等章节理论知识。有效衔接不同行业前沿和社会热点，设计层次递进式模块的教学案例资源，使创新链和思政要素贯穿整个教学过程，提高研究生学习统计建模方法解决实际问题的兴趣与能力。同时，以OBE理念为先导，定期开展课程建设内容集体备课，针对学生学习情况反馈进行复盘，研讨课程内容设计，组织说课、赛课，同时聘请校内外课程建设与课堂教学改革经验丰富的专家开展课程能力提升常态化培训，达到“显性”作用。

（二）构建课内课外一体化教学体系，形成能力链

以满足研究生发展需求为核心，坚持“知识、能力、素质”融合的教育理念，以“理论—实践—创新”为框架，通过课堂教学与建模类竞赛实战进行课堂研究性教学和持续性的课外创新活动，构建课内课外一体化教学体系，实施递进式案例教学，用“项目链”覆盖“能力链”，强化训练研究生创新实践能力，培养解决复杂工程问题的能力。充分利用现有建模类公开教学资源，延伸课程广度与深度，实现全过程学习，起到“隐性”成效。

（三）开展多层次课程教学方法的创新研究，以赛促学

实施分层次教学，开展基础理论教育、研究性学习等特色教学模式。建立课程讨论群，与学生实时沟通，针对统计建模与求解过程中存在的问题，利用讨论群进行精准辅导。利用讨论群提供统计建模类竞赛相关的内容，便于学生进行延伸阅读与拓宽视野。鼓励研究生参加各类数学建模竞赛，形成课内课外的闭环转化，实现以赛促学的目的，提升学业挑战度。

四、数学建模融入的递进式案例教学实践

采用案例教学法有助于提升研究生的创新能力和实践能力[8]。案例选取时应考虑理论知识上要具有典型性和递进性，应用上要结合不同专业特色具有可操作性和实践性。因此，在设计教学案例时应明确与该案例相联系的是哪些知识点、知识点递进顺序以及为哪些教学章节服务。选取适当的研究生数学建模竞赛赛题，结合应用数理统计课程的相关知识点，在此基础上将竞赛赛题转化为递进式教学案例。案例教学时要注重讲解统计建模技术、计算机编程求解以及综合应用等。

课程教学团队以全国研究生数学建模竞赛真题为基础，进行递进式案例教学设计，完成案例的数据采集和数据清洗，并根据课程知识点和PBL教学要求编制递进式案例的具体子案例。同时，每个子案例挖掘出相应知识点的教学问题，如每个子案例的关键点、需要重点解决的问题、主要的参考资料以及统计软件操作。以全球变暖与气候变化为例，该案例涉及数据获取与预处理、描述性统计分析、相关性分析、回归分析、主成分分析以及预测分析等统计知识点。因此，教学团队在该赛题的基础上设计递进式案例教学，将其分解为案例引入、案例递进和案例总结三个部分。

首先，案例引入部分强调全球气候变化问题是由多个复杂因素引起的，需要大量时空数据进行分析。这可以训练学生数据获取与预处理的能力，引导他们正确对待数据误差，培养其辩证思维。其次，在案例递进部分，将整个案例按照课程知识点分解为5个问题。（1）基于空间和时间的地区温度变化趋势研究：主要训练时空数据分析能力和数据可视化处理能力，能更直观地表现数据的趋势特征。（2）极寒天气与全球气候的相关关系研究：主要训练学生理解散点图，熟练掌握变量间相互关系的判断。（3）海洋表面温度的影响因素分析研究：让学生根据海洋表面温度特点预判可能的影响因素，掌握回归分析方法，培养批判思维和科学思维能力以巩固对统计知识的理解。（4）全球气候变化的指标筛选研究：使学生理解降维的思想，掌握主成分分析方法，能够从众多变量中筛选出少数综合变量来描述，培养学生简化复杂系统，抓住主要矛盾的哲学思想。（5）全球气候变化趋势的预测研究：让学生熟悉各类预测方法，培养严谨的治学态度。这5个问题按照知识点的逻辑顺序和案例内容的延续性，从易到难，螺旋递进。最后是案例总结部分，组织小组讨论如何对模型或指标进行优化或拓展分析。通过递进式案例教学，可以将所学知识应用于实际问题，有助于学生主动探索，形成系统性思考，提升思维的高阶性和创新性。这种集知识、能力和素质培养为一体的递进式案例教学，必将切实推动高层次创新型应用人才的培养。

五、数学建模融入的递进式案例教学成效分析

课程教学团队在面向不同专业的应用数理统计课程教学过程中进行了递进式案例教学实践。经过多年的课程教学改革，实践结果表明相较于其他专业，采用案例教学的专业研究生在对知识点的理解和掌握程度、对统计模型的实践应用以及统计软件操作的熟练程度方面，均有了显著提升。采用案例教学的专业课程成绩平均分为85.89，高于传统教学组；标准差为9.37，低于传统教学组的标准差11.11，说明两组课程成绩存在显著差异。这进一步说明由于案例教学组中学生课堂表现更活跃、小组讨论参与度更高更积极，使得学生课程成绩总体表现更优。

课程结束后，发放课程满意度调查问卷，包括课程教学内容、课程互动、数据分析能力培养、统计建模能力培养、逻辑思维能力培养五方面满意度调查。每个方面均设置5个问题，每个问题0～10分，其中非常不同意为0分，非常同意为10分。将每个方面的5个问题得分加总并转换为百分制。案例教学组共发放223份调查问卷，回收220份，问卷有效回收率为98.65%；传统教学组共发放180份调查问卷，回收180份，问卷有效回收率为100%。

根据调查结果，两组学生总体对应用数理统计课程均比较满意，如表1所示。从课程内容教学满意度来看，案例教学组和传统教学组的总体满意度分别为91.47%和84.87%，标准差为4.13%和4.88%，存在显著差异。从课程互动满意度来看，案例教学组的总体满意度为90.39%，高于传统教学组的83.40%，两组差异具有显著的统计学意义。从能力培养满意度来看，两组总体的满意度均高于80分，但存在显著差异。无论是数据分析能力培养、统计建模能力培养，还是逻辑思维能力培养方面，案例教学组都显著高于传统教学组。这主要体现在采用案例教学时学生可以全程参与数据的收集和清洗、统计模型的构建、SPSS软件分析以及结果讨论。整个参与过程，注重统计素养的培养，对学生的数据分析能力、统计建模能力以及逻辑思维能力的培养都有了进一步提升，这些也越来越受到不同专业研究生的青睐。最明显的是近几年学生参加数学建模竞赛等创新实践类活动的积极性大幅增加，获奖队伍数也在大幅提升。可见，数学建模与应用数理统计课程有机融合的方式和递进式教学案例大大充实了教学内容，改进了满堂灌的教学模式，成功地把工程实践教学引入课程教学中，激发了研究生的学习主动性，有效提高了研究生的统计思维和建模实践能力。

六、结论

为了顺应大数据时代发展和新工科建设需求，课程教学团队以学生发展为中心，从应用数理统计课程的教学资源、教学内容以及教学模式等方面进行了改革，既有递进式教学案例库、自编习题册，又充分利用现有公开课等在线教学资源。针对课程教学改革的初步成效，课程教学团队计划在课程后续的教学改革过程中，借助网络教学平台，开展线上线下相结合的课程教学，增加教学活动中课前、课中和课后的师生互动性，进一步提高学生对应用数理统计课程的学习兴趣和统计思维的培养。根据学生反馈的意见，继续完善课程内容设计，编制更多与学生专业相关的递进式教学案例，切实提高应用数理统计课程的教学质量。数学建模融入应用数理统计课程的递进式案例教学的改革实践，为其他公共数学研究生课程教学改革提供了实践支撑。

参考文献：

［1］路朝阳，赵宁，张志萍.新工科建设背景下能源与动力工程类专业“四年制科创法”教学创新［J］.中国大学教学，2022（Z1）：52-57.

［2］杨卫，王孙禺，吴小林，等.改革工科研究生教育 着力培养卓越工程师［J］.学位与研究生教育，2023（1）：1-15.

［3］彭鹏.将数学软件和建模融入教学的全过程：评《中国大学生数学建模竞赛》（第四版）［J］.中国高校科技，2020（Z1）：149.

［4］葛文杰.“双一流”建设背景下的高等工程教育重塑与课程教学深度改革［J］.中国大学教学，2021（9）：53-61.

［5］李伟，闫广芬.我国专业学位研究生教育发展的回溯与前瞻［J］.高校教育管理，2021，15（3）：92-103.

［6］李海廷.“赛教融合”视角下新商科人才培养模式研究［J］.中国大学教学，2023（5）：22-27，41.

［7］赵丁选，王敏，卢辉斌.多主体协同的工程专业学位研究生培养模式探索与实践［J］.学位与研究生教育，2021（12）：9-19.

［8］郭丛斌，方晨晨，祝军.案例教学是否促进了专业学位研究生实践能力的发展：基于全国公共管理硕士毕业生调查数据的实证分析［J］.学位与研究生教育，2022 （9）：44-53.