高考数学“新定义”题型研究

摘   要：“新定义”题是在高考数学中新出现的一种问题类型，此类问题可以更好地考查学生自主学习能力、综合运用知识分析问题、解决问题的能力和创新思维。通过例题分析总结新定义题型的特征，展现其结构和功能，并结合实例探讨新定义题型的解题策略，明晰新定义题型的本质，提高解题能力。

关键词：高中数学;新高考;新题型;新定义

中图分类号：G633.6    文献标识码：A    文章编号：1009-010X（2024）29-0009-05

2019年教育部提出了由“一核”“四层”“四翼”构成的高考评价体系，强调对学生综合素质的发展要求，由此推动了高考评价改革在考试内容、要求上的进一步深化和探索，以“能力立意”为特点的“新定义”问题应运而生。它突出对学生创新能力、迁移能力、自主学习能力等各方面能力的全面考查，因此分析、研究新定义题型的特点及其解题策略很有必要。

一、新定义题型的概念

在不同的文献中对“新定义”题型的名称和定义有着不同的说法，比如：新定义题、新信息题、信息迁移题、新定义型问题、定义型创新题以及定义型信息题。虽然各位学者对其表述不一，但是对其本质有着一致的看法，也就是创设一个复杂且真实的情境（可以是现实情境，也可以是科学研究情境、数学情境等），将情境信息与学生之前所学相关知识进行交叉融合，通过再抽象，形成一个新定义，最后提出系列问题，要求学生运用新定义分析问题、解决问题。

例1 “数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设q是非零实数，对任意n∈N*，定义“q-数”（n）q=1+q+…qn-1.利用“q-数”可定义“q-阶乘”（n）！q=（1）q（2）q…（n）q.和“q-组合数”，即对任意k∈N，n∈N*，k≤n，（）q=

（1）计算：（）2;

（2）证明：对于任意k，n∈N*，k+1≤n，（）q=（）q+qk （）q;

（3）证明：对于任意k，m∈N，n∈N*，k+1≤n，（）q-（）q=∑ qn-k+i（）q.

本题以量子代数这一现代数学热点研究为背景，在已有“数”的概念基础上引发学生新的数学思考：在对“q-数”这一概念进行定义后，借助“q-数”继续给予“q-阶乘”以及“q-组合数”相应的表达形式;在对每一个概念的涵义进行充分说明之后向学生提出具有内在逻辑性的三个问题，考查学生在不同水平的解题能力。

第一问通过一道计算题考查学生对“q-数”的理解程度以及计算能力;第二问更多体现对学生逻辑推理能力的考查，需要在对（）q的涵义进行深刻解析之后，根据（）q的定义找到其变式（）q以及（）q的表达方式，最后验证等式两边的结果是否一致;最后一问不仅对学生的运算能力、逻辑推理能力以及阅读能力提出要求，还体现出对其迁移能力的考查：解题的关键思想即借助第二问获得的结论，将等式的两边进行相加再经化简得到所求结果。

通过上述例题我们可以看出，虽然三个新定义以三个新的名称呈现，但它们实际上离不开已学知识的本源。比如“q-数”是建立在等比数列前n项和这一知识的基础之上的，“q-阶乘”则更是突出对阶乘思想的灵活运用。因此新定义题型并不是空中楼阁，它是以所学知识为地基，通过逐级抽象而获得。

二、“新定义”题型的结构与功能

（一）新定义题型的结构

每一种题型都有其独特的组成结构，因此要想解决新定义题型首先要清楚它的具体组成结构，做到“知己知彼，百战不殆”。一般来说，新定义题型通常以一种新颖的情境出现，通过对其中的相关概念或结构进行全新的定义，向学生提出具有联系性的系列问题，考查学生通过推理运算、类比迁移等方式解决问题的能力，其具体结构组成如下图：

例2 “信息熵”是信息论之父香农定义的一个重要概念。香农在1984年发表的论文《通信的数学理论》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算信息熵的数学表达式：设随机变量X所有可能的取值为1，2，3，…，n（n∈N* ），且P（x=i）=pi>0（i=1，2，3，…，n），∑ pi=1，定义X的信息熵H（X）=-∑ pilog2pi.

（1）当n=1，计算H（X）;

（2）若pi=（i=1，2，3，…，n），判断并证明当n增大时，H（X）的变化趋势;

（3）若n=2m（m∈N*），随机变量Y所有可能的取值为1，2，3，…，m，且P（Y=j）=Pj+P2m+1-j （j=1，2，3，…，m），证明：H（X）>H（Y）.

上述例题以“信息熵”这一信息领域的情境展开话题，体现出新定义题型的跨学科性。在解释完何为“信息熵”之后，又对其表达形式进行定义，并提出相关的系列问题，学生需要借助给出的相关概念，经理解—转化过程来解决问题。

学生在解决（1）题时需要在读懂信息熵表达形式的基础上经过推理得到n=1时的表达式，进而通过计算得到正确结果。（2）题则要求学生在正确代入pi=的基础之上掌握求取函数单调性的方法。学生在解决前两问之后对“信息熵”的表达式已经有了比较全面的认知。（3）题考查学生的类比迁移能力，即P（Y=j）=Pj+P2m+1-j时H（Y）的表达形式，此外还需熟练运用对数函数的运算法则来简化解题过程。

（二）新定义题型的功能

作为备受关注的新题型之一的新定义题型，在对学生发出挑战的同时也锻炼其各方面的能力，使得学生在迁移、创新、自主学习等方面的能力得到了彰显和提升。

1.考查学生的迁移创新能力。喻平教授指出，知识是发展学科关键能力的本源，可将其分为知识理解、知识迁移与知识创新三个维度，其中知识理解为关键能力一级水平，知识迁移为关键能力二级水平，知识创新则属于关键能力三级水平，因此学生的发展不能仅停留在知识理解层面，还要加强解决综合问题的能力，将已学知识进行交叉融合进而解决问题，这就需要学生具备较强的迁移能力。优秀的学生往往能够在迁移过程中自主思考所学知识之间的内在联系，并且通过这些联系得出新的理解，使其创新能力得到提升，也就是通常所说的“无师自通”。新定义题型作为一种综合性题目，可以更准确地对学生的迁移、创新能力进行考量和评价。

例3 若各项为正的无穷数列an满足：对于   x∈N+，a2n+1-a2n=d，其中d为非零常数，则称数列an为D数列，记bn=an+1-an.

（1）判断无穷数列an=和an=2n是否是D数列，并说明理由;

（2）若an为D数列，证明：数列bn中存在小于1的项;

上述题目中提到D数列这一新的概念，但是深入思考之后则可发现，其实质上是由等差数列演变而成的，故在解决（1）题时将等差数列的证明思想迁移至D数列的证明即可;（2）题则需要学生融入创新思维，在意识到a2n为等差数列后，将bn以an+1+an的形式表达出来，进而得到需证明的结论。

2.考查学生的思维品质。良好的思维品质包括思维的深刻性、准确性、灵活性、创新性等。新定义题型具有良好的区分度，对考查学生思维品质具有独到作用。以灵活性为例，于解题过程相当于机器运转的润滑油，若是没有润滑剂机器难以持续高效完成任务。在解题过程中学生要保持思维的灵活性，要善于多角度地认识问题、理解问题，在复杂的数学情境中找到最合适的解题方法，彰显其思维的创新性和独特性。

例4 设集合A，B是有限集，定义d（A，B）=card（A∪B）-card（A∩B），其中card（A）表示有限集合A中元素的个数。

命题1对于任意有限集合A，B，“A≠B”是“d（A，B）>0”的充分必要条件;命题2对于任意有限集合A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）.

A.命题1和命题2都成立

B.命题1和命题2都不成立

C.命题1成立，命题2不成立

D.命题1不成立，命题2成立

在解决该问题时，学生需通过直接推理的方法根据题目中d（A，B）的定义对提出的两个命题的真假进行判断，也可以借助维恩图直观地了解d（A，C）与d（A，B）+d（B，C）所包含元素个数的大小关系;此题很好地考查学生解决问题的灵活性，不仅可以通过逻辑推理解决问题，还可以利用图像直观简洁高效地解决问题。

3.考查学生的自主学习能力。自主学习能力是信息化社会公民应该具备的基本素养。其中阅读理解能力是基础，其次还需要学生具备完善的信息加工能力。除此之外，抽象思考能力也是提升自主学习能力必不可少的要素。“新定义”题型往往是以抽象的形式出现在学生的视野中，这时就需要学生经过思考将题目中定义的抽象概念转化为具体的已学知识并加以理解加工，从而让新定义对自己来说不再“新”。

例5 拓扑学是研究几何图形（或集合）整体结构和性质的一门几何学，以抽象而严谨的数学语言将集合与几何联系起来。

已知平面E2=（x，y）∣  x，y∈R，对于其上的任意两点m（x1，y1），n（x2，y2），定义度量（距离）：d（m，n）=，并称（E2，d）为一度量平面。设x0∈（E2，d），ε∈R+，称平面区域B（x0，ε）=x∈（E2，d）∣d（x0，x）ε为以x0为“球心”的“球形”邻域，简称邻域（称x∈（E2，d）∣d（x0，x）=ε为这个邻域的“球面”边界，简称边界）。

（1）试用集合语言描述（E2，d）上两个邻域的交集;

（2）证明：（E2，d）上任意两个邻域的交集可以写成若干个邻域的并集;

上述例题中谈及到高等数学中“拓扑”这一概念，这就需要学生不拘泥于已学知识，而是主动探寻更广阔的知识海洋。（1）题中要求用集合的语言来描述（E2，d）上两个邻域的交集，体现出对学生阅读理解能力以及数学语言表达能力的考查;由于此题是建立在三维空间上的，所以其本身就需要学生具备深厚的空间想象能力来构思出与之对应的集合图像，在做出图像后又需构造出一个新的球形邻域来解决（2）题，因此新定义题型考查学生深度学习的成果。

三、新定义题型的解题策略

（一）追本溯源，探寻“题型之母”

每一道数学题目都不是凭空编造的，而是以学生平时所练习的基础题型演变过来的，因此学生在解题时要善于将要解决的题目与已有解题经验进行联结，寻找二者的共同之处，找到其母题，进而转化化归。

例6 设A，B，C是非空集合，定义：

A×B×C=x∣x∈A且x∈B且x∈C，已知A=x∣y=

，B=y∣y=3x+1，C=x∣log2x3则A×B×C=（   ）。

A.（1，8）   B.（0，8）

C.（0，1）   D.（-∞，-4））∪[0，+∞]

评析：此题对集合的运算引入了一个新的定义，但是做题需做的是透过现象看本质，上述题目的“母题”即集合交集的求取，学生看破这一层之后便可以游刃有余地解决问题。

解析：对于集合A而言，元素由方程y=中x的取值范围组成，由x2+4x≥0，解得x≤4或x≥0，集合A=x∣x≤4或x≥0.对于集合B而言，元素由方程y=3x+1中y的取值范围组成，由3x>0可知，y>1，集合B=y∣y>1.对于集合C而言，f（x）=log2x在定义域内单调递增，因此当log2x<3时，0<x<8，所以集合C=x∣0<x<8，因此A×B×C=（0，8）.

“追本溯源”中的“本”，一是相应函数定义域以及值域的求取方法，二是掌握集合交集的求取方法，掌握这两点本质之后便可以解答出此题。

（二）抽丝剥茧，把握“解题关键”

“解题关键”可以是解题过程中的解题策略，也可以是构成题目的关键信息，还可以是解题的类比对象。解题关键的成功选取可以帮助做题者明确解题方向，达到“柳暗花明又一村”的效果，因此在解决问题时要找到解题的关键之处。