巧用齐次化　妙解圆锥曲线斜率问题

摘   要：在高三复习备考中，很多学生在处理从一点出发的两条直线的斜率之和或斜率之积的问题时，常采用将方程齐次化的方式巧妙解决问题，但也不是绝对的，也有优缺点，在此从定值、定点等几个方面进行浅析。

关键词：斜率之和；斜率之积；齐次化；一元二次方程；韦达定理

中图分类号：G633.6  文献标识码：A  文章编号：1009-010X（2023）20/23-0075-04

2022年普通高等学校招生全国统一考试新高考数学1卷的第21题，有不少学生抓住题干中有“直线AP，AQ的斜率之和为0”这一条件，采用了将方程齐次化的方法巧妙解决第一问的直线斜率问题。回顾我们的高三备考，常有学生利用平移图象，然后联立方程实现齐次化，即在方程两边同除x2后，再利用韦达定理巧妙解决一类圆锥曲线遇到斜率之和或斜率之积的问题。下面笔者结合2022年的高考题及备考复习中遇到的几道题，介绍这种方法的优点和注意事项，以为高三备考的学子们提供一点经验之谈。

比较例4的两种处理方法我们不难看出，用齐次化联立反而比传统联立计算量要大一些，因为齐次化联立势必要进行平移，平移后的椭圆方程不是很简洁，常数项需要利用“1”的平方来升幂以达到齐次的目的。同时直接用传统联立已经很简单了，所以像这类题型，使用齐次化联立就有点得不偿失。

关于直线与圆锥曲线方程的传统联立与齐次化联立，虽然都是解决问题的一种方法，但各自有各自的优点，因此必然会有其局限性。其实齐次化能解决的问题，传统联立也同样能解决，所以每种方法都不是万能的。希望师生们在具体的解题实践中，不断积累解题经验，具体情况具体分析，以选择出最适合的方法。

【责任编辑 韩梁彦】