2022年新高考Ⅱ卷数学试题评析

摘   要：2022年新高考Ⅱ卷以《普通高中数学课程标准》（2017年版2020年修订本）和《中国高考评价体系》为依据，着重考查了考生对高中数学必备知识、基本方法和基本技能的掌握情况，突出考查考生的独立思考能力、阅读理解能力、运算求解能力、逻辑思维能力、空间想象能力、数学建模能力、创新能力、分析问题和解决问题的能力。试题涉及的高中数学必备知识面广，保持了2021年新高考Ⅱ卷突出对函数与导数、三角函数与解三角形、解析几何、立体几何、概率与统计和数列等高中数学主干知识重点考查的特色，彰显基础性、综合性、创新性和选拔性，整套试卷落实了《中国高考评价体系》中的“一核、四层、四翼”的考查要求，落实了立德树人的根本任务，有利于高校选拔优秀人才，对中学素质教育的实施具有积极的导向作用，对中学数学开展教育教学改革具有很好的促进作用。

关键词：高考;评析;素养

中图分类号：G633.6    文献标识码：A    文章编号：1009-010X（2022）26-0009-08

一、整体评价

2022年使用教育部考试院命制的新高考Ⅱ卷的省市有海南、辽宁和重庆。2022年新高考Ⅱ卷以《普通高中数学课程标准》（2017年版2020年修订本）和《中国高考评价体系》为依据，着重考查了考生对高中数学必备知识、基本方法和基本技能的掌握情况，突出考查考生的独立思考能力、阅读理解能力、运算求解能力、逻辑思维能力、空间想象能力、数学建模能力、创新能力、分析问题和解决问题的能力。试题涉及的高中数学必备知识面广，保持了2021年新高考Ⅱ卷突出对函数与导数、三角函数与解三角形、解析几何、立体几何、概率与统计和数列等高中数学主干知识重点考查的特色，彰显基础性、综合性、创新性和选拔性，整套试卷落实了《中国高考评价体系》中的“一核、四层、四翼”的考查要求，落实了立德树人的根本任务，有利于高校选拔优秀人才，对中学素质教育的实施具有积极的导向作用，对中学数学开展教育教学改革具有很好的促进作用。

二、数学卷试题布局及特征分析

从附表可以看出，2022年新高考Ⅱ卷共有8道单项选择题、4道多项选择题、4道填空题和6道解答题。选择题第1、2、4、5、6、9、11题，填空题第13题，解答题第18题、第19题源于课本或者历年高考真题，注重基础，注重对基本方法的考查。第3题、7题、8题、9题、10题、12题、15题、16题、17题、18题、20题、21题、22题都考到了函数与方程思想。第3题、7题、10题、11题、15题、16题、20题和21题都考查了数形结合思想。第6题、7题、8题、9题、12题、15题、17题、18题、21题和22题都考查了化归与转化思想。第14题、17题、21题和22题都考查了分类讨论思想。解答题的考查内容和顺序有所调整，2021年新高考Ⅱ卷解答题的顺序为第17题数列、18题解三角形、19题立体几何、20题解析几何、21题概率与统计、22题函数与导数，2022年新高考Ⅱ卷解答题的顺序为第17题数列、18题解三角形、19题概率与统计、20题立体几何、21题解析几何、22题函数与导数，调整了立体几何、解析几何和概率与统计试题的顺序。

三、部分试题赏析

例1（3题）图1是中国古代建筑中的举架结构AA′、BB′、CC′、DD′，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1、CC1、BB1、AA1是举，OD1、DC1、CB1、BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为■=0.5，■=k1，■=k2，■=k3，已知k1、k2、k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3=（   ）

A.0.75     B.0.8     C.0.85     D.0.9

解：由题设OD1=DC1=CB1=BA1=d，由题设CC1=k1DC1=k1d=（k3-0.2）d，BB1=k2CB1=（k3-0.1）d，AA1=k3BA1=k3d，又因为，

kOA=■

=■=0.725

解得k3=0.9，故选答案D.

【赏析】本题以中国古代建筑中的举架结构为背景，以探索创新情境为载体，考查了等差数列的定义、直线斜率的定义和解直角三角形，考生在读懂题目的基础上，抓住题目中的关键信息，设这些相等的步的数值为d，再根据举步之比把举用步表示，运用等差数列的定义把k1和k2都用k3表示，再根据直线的斜率定义表示出直线OA的斜率，最后通过运算可以求出k3的值。本题以中国建筑艺术文化为情境，以举架结构为载体，设计新颖，面向全体考生，重基础、重创新、重生产和生活实际，考查了考生的直观想象、数学运算、逻辑推理和数学建模的核心素养。试题的设计让考生感受到我国古代建筑文化的博大精深，体会到中国古建筑的对称美与和谐美以及其中蕴含的“注重现实和天人合一”的哲学思想。本题还可以引导考生通过了解中国古代建筑文化，体会数学知识方法在认识改造现实世界中的重要作用，体现了理性思维、数学文化的学科素养和数学的人文价值，落实了应用性和创新性的考查要求，落实了数学文化内涵的整体育人功能，落实了立德树人的根本任务。

例2（7题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3■和4■，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（   ）

A.100π B.128π C.144π D.192π

解：由题意得，上底面所在平面截球所得圆的半径为■=3，下底面所在平面截球所得圆的半径为■=4，如图3，

设球的半径为R，则轴截面中由几何知识可得■+■=1或■-■=1，解得R=5，所以该球的表面积为4πR2=4π×25=100π.

故选：A.

【赏析】试题以正三棱台的外接球为背景，以课程学习情境为载体，棱台的外接球问题在近五年的全国各省市高考题中均没出现过，因此说本题背景具有一定的新颖性，需要考生将学过的处理棱锥的外接球的方法迁移过来，即将空间问题转化为平面几何问题，最后将几何量集中在一个梯形中。本题考查了正弦定理、正三棱台的几何性质、球的几何性质以及球的表面积公式，体现了高考试题注重在知识交汇处命题的特点，难度比较大。本题以课程学习情境为载体，对考生分析问题和解决问题的能力有比较高的要求，具有很好的区分度和选拔功能。

例3（8题）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+y）+f（x-y）=f（x）f（y），f（1）=1，则■f（k）

A.-3     B.-2    C.0     D.1

解：令y=1，则f（x+1）+f（x-1）=f（x），

即f（x+1）=f（x）-f（x-1），

f（x+2）=f（x-1）-f（x），

f（x+3）=f（x+2）-f（x+1），

f（x+3）=f（x），

则f（x+6）=-f（x+3）=f（x），f（x）的周期为6，

令x=1，y=0得f（1）+f（1）=f（1）×f（0），

解得f（0）=2，又f（x+1）=f（x）-f（x-1），

f（2）=f（1）-f（0）=-1，f（3）=f（2）-f（1）=-2，

f（4）=f（3）-f（2）=-1，f（5）=f（4）-f（3）=1，

f（6）=f（5）-f（4）=2，

■f（k）=1-1-2-1+1+2=0，

■f（k）3×0+f（19）+f（20）+f（21）+f（22）

=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=-3.故选：A.

【赏析】本题是一道抽象函数问题，以探索创新情境为载体，要求考生在读懂题目的基础上，通过推理论证得出函数f（x）的周期，计算出该抽象函数的部分函数值，从而得出解答.本题考查了考生的逻辑思维能力与运算求解能力，具有很好的区分度。

例4（10题）已知O为坐标原点，过抛物线C：y2=2px（p>0）焦点F的直线与C交于A、B两点，其中A在第一象限，点M（p，0）.若AF=AM，则（  ）

A.直线AB的斜率为2■

B.OB=OF

C.AB>4OF

D.∠OAM+∠OBM<180°

解法1：如图4，

∵F（■，0），M（p，0），且AF=AM，

由题设可得xA=■=■，

∴A（■，■），

由抛物线焦点弦的性质可得xA·xB=■，

则xB=■，则B（■，-■），

∴kAB=kAF=■2■，故A正确;

OB=■=■，

OF=■，OB≠OF，

故B错误;

AB=■+■+p=■>2p=4OF，

故C正确;

因为■（-■p，-■p），

■（■p，-■p），

■·■=-■+■>0

所以∠OAM为锐角，

■=（-■p，■p），

■=（■p-，■p），

■·■=-■+■>0

∠OAM，∠OBM均为锐角，

可得∠OAM+∠OBM<180°，故D正确.

故选：ACD.

解法2：同解法1可得，xA=■，

由抛物线焦半径公式可得，

AF=xA+■=■+■=■，

由抛物线焦点弦性质，■+■=■，

可得■+■=■，

所以解得BF=■，

所以AB=AF+BF

=■+■=■，4OF=2p，

所以AB>4OF，

故答案C正确;

设直线AB的倾斜角为α，由题设0<α<■，由抛物线焦半径公式可得

AF=■=■，

解得cosα=■，

所以k=tanα=■=■2■，

故答案A正确;

在△OBF，由余弦定理可得，

OB=■

=■≠OF，

故答案B错误;

在△OAF中，由余弦定理可得，

OA2=AF2+

OF2-2AFOFcos（π-α）=■，

在△BFM中，由余弦定理可得，

BM2=BF2+FM2-2BFFMcos（π-α）=■，

OA2+OB2-AB2

=■+■-■<0，

故∠AOB>■，

AM2+BM2-AB2

=■+■-■<0，

故∠AMB>■，

所以∠AOB+∠AMB>π，

所以∠OAM+∠OBM<π，

故答案D正确.

【赏析】试题考查了抛物线的焦点弦和焦半径的性质，以课程学习情境为载体，考查了考生对直线与抛物线的通性通法的掌握情况;考查了数形结合思想及化归与转化思想;考查了运算求解能力、逻辑思维能力;考查了考生分析问题和解决问题的能力。抛物线的焦点弦问题在课本中有相关例子，本题立足于对基础知识和基本方法的考查，注重对关键能力的考查，突出对数学运算、逻辑推理和直观想象等数学核心素养的培养，试题解法多样，有利于不同学习程度的考生作答，试题具有很好的区分度和选拔功能。