

反比例函数与一次函数关系及简单应用
作者: 黄朝宗
摘要:如果反比例函数(k≠0)与直线()相切时,并且直线与x轴、y轴围成面积等于2;反之亦然。
关键词: 函数 切线 面积 定值
在初中数学教材中,我们已经研究了反比例函数的图象、性质和解析式,尤其对反比例函数中的k的符号直接决定了图象的位置和相应的函数变化规律,过反比例函数图象上的任意一点作横轴或纵轴的垂线,这点、垂足和原点构成的三角形面积为的一半的讨论,给我们留下了深刻的印象,在此基础上,我在教学中逐步发现了一个关于反比例函数与一次函数的有趣关系问题,现提供给读者参考。
命题1 如果反比例函数(k≠0)与直线()相切,并且,直线与x轴、y轴相交于A、B两点,那么⊿AOB的面积等于2。
证明:∵反比例函数(k≠0)与直线()相切,∴方程组有唯一解,由方程组得,∴,且这个一元二次方程有相等实数根⊿=0,即,,又∵ 直线与 X轴、Y轴分别交于A(,0)、B(0,b),∴S⊿AOB = 命题1说明,反比例函数(k≠0)与直线()相切时,⊿AOB的面积为定值2,并且它与反比例函数与直线的切点位置无关。
根据命题1我们可以得到命题1的逆命题:命题2如果P(a,b)是反比例函数(k≠0)图象上的一点,A、B两点分别在x轴、y上,且A(2a,0),B(0,2b),那么直线与反比例函数相切。
证明:∵A(2a,0),B(0,2a),∴OA=2,OB=2,S⊿AOB= ,设直线是经过P(a,b)且与反比例函数的直线交x轴于、Y轴于,则()(0,),S⊿A’OB’= ,∵直线是经过P(a,b),∴S⊿A’OB’=2,∴S⊿AOB= S⊿A‘OB‘ 即 ,∴,。
解得:,(不符合题意舍去),∴ 故直线AB与反比例函数相切于点P,从反比例函数(k≠0)与直线()相切的关系中启示我们直线与X轴、Y轴的交点和原点组成的三角形面积等于2中,我们可以利用这一几何关系判定直线AB与反比例函数的位置关系。