4×5在什么情况下等于12？

你是愿意要一只每年只准一次的钟，还是一只每天准两次的钟？你本能地会选择后者。但假定你有一只压根儿不走的钟，还有一只每天慢一分钟的钟，这两个你会选哪个？很自然地，你会选那只还会走，虽然走得慢的。

再琢磨琢磨。一只不走的钟每天会准两次，而那个每天慢一分钟的钟再一次准确之前要慢12小时，即720分钟，这意味着它要720天，即差不多两年才能再准一次。回到开头的问题，虽然听上去很荒唐，但你真正想要的是那只每年只准一次的钟。

这类问题和悖论让聪明的查尔斯·勒特威奇·道奇森为之着迷。他在逻辑和数学方面的天分使他得以进入牛津大学的基督教堂学院做一名老师，在那里他从18岁一直待到去世。

在空余时间，他写诗、模仿诗文和短篇小说。他认为这些东西不适合用他发表数学论文的名字来发表，所以他用了一个笔名。“查尔斯”是拉丁语中的“卡洛尔”，他对他的编辑解释说，Lutwidge（勒特威奇）=Ludovic=Louis，所以他的笔名就成了“刘易斯·卡洛尔”——《爱丽丝漫游奇境记》的作者。

牛津大学数学系讲师、英国前首相哈罗德·威尔逊之子罗宾·威尔逊（Robin Wilson）在《刘易斯·卡洛尔漫游数学奇境记》一书中向普通读者普及道奇森的数学作品，即使是数学很差的人在这本书的引导下也能走过“驴桥”——欧几里得《几何原本》第一册的第五命题“等腰三角形两底角相等，两底角的外角也相等”，中世纪时欧洲人的数学水平很低，学生初读《几何原本》，学到命题五，觉得线和角很多，一时很难领会，因此这个命题被戏称为“驴桥”（Pons Asinorum，ass’s Bridge，意思是“笨蛋的难关”）。

深入阅读此书，读者甚至可以弄懂威尔逊对道奇森创造性地用对数求解联立方程的解释，这是道奇森一本专著的主题。曾有报纸报道说，维多利亚女王非常喜欢《爱丽丝漫游奇境记》，她向卡洛尔索要一本他的新作，但得知他的下一本书叫《对数在联立方程和代数几何学方面的运用》。

《爱丽丝漫游奇境记》中所有的角色和情节都令人过目不忘，兔子洞、眼泪池、红心国王和王后等等，没有几个人能一下子说出7个小矮人各自的名字，但都记得爱丽丝的全部故事。可是按照国际学术标准，查尔斯·道奇森在他的本职工作数学研究上并没有做出什么成绩。他的专业论文也像他的谐趣诗和小说那样谐谑、古怪，这也许是他在数学史上仅仅是一个脚注的一个原因。在欧洲大陆，19世纪给数学的每个分支都带来了重大突破，匈牙利的波尔约和俄国的罗巴切夫斯基分别独立地发展出了非欧几何，集合论的创始人、德国的康托尔已经开始构造无穷的等级顺序。道奇森所在的牛津大学却是一潭死水，他还在修补已有2000年历史的《几何原本》。

在逻辑学方面的严肃著述中，卡洛尔也会忍不住举这样的例子：“化石不会为情所困，牡蛎会为情所困，所以牡蛎不是化石。”他曾计划写一本叫《闪电般对数计算》的书，解释他的计算技巧，用这种技巧他能只用9分钟就在脑子里算出87654327的13次方根。卡洛尔好像特别喜欢42这个数。《爱丽丝漫游奇境记》有42幅插图，第二章中她错误地背诵的乘法表“四五一十二、四六一十三”在一个以42作结的代表进制的数列为基础时是正确的（4×5=12，18进制；4×6=24，21进制；4×7=14，24进制；直至4×13=1A，42进制）。

《经济学家》上的书评说，道奇森的著作中有一部分令社会科学家们非常关注，那就是他对投票的数学分析。他对这个问题感兴趣是因为，他在基督教堂学院的同事们深入研究如何选择一个新的钟塔。道奇森关于投票的论文直到1958年才被英国经济学家邓肯·布莱克注意到，他说自从法国大革命之后，对这个问题的研究再也没有别的像道奇森写的这么杰出的东西了。1984年，牛津一位逻辑学教授迈克尔·达米特对道奇森没能完成他计划要写的投票方面的著作感到遗憾，他断言，如果他出版了这部著作，英国政治史将大为不同。威尔逊引用了这句惊人的评论，但他和达米特都没有详加解释。他们的意思或许是说，道奇森的提议可能会说服英国采取比例代表制，这样的话，罗宾·威尔逊的父亲可能就当不上英国首相了。■（文 / 小贝） 道奇威尔逊几何原本数学