理解就意味着最深刻的理解

法国科学院院士、数学家米歇尔·塔拉格兰（Michel Talagrand）的研究领域主要在于泛函分析和概率论及其应用。塔拉格兰在2019年获得了邵逸夫奖。随后在2024年3月20日，他又因为“对概率论和泛函分析的开创性贡献，以及在数学物理和统计学方面有杰出的应用”，获得了被称为“数学界的诺贝尔奖”的阿贝尔奖（Abel Prize）。2024年5月21日，他将在奥斯陆从挪威国王手中领取阿贝尔奖以及750万挪威克朗奖金。

塔拉格兰自幼一只眼睛失去了视力。怀着对完全失明的恐惧，他全身心地投入到了数学学习中。他自认为并不属于天才型数学家，在进入学术界之后花费了十年时间才找到自己真正感兴趣和擅长的领域。在获得阿贝尔奖之后，他在巴黎家中接受了本刊的专访，畅谈自己的数学人生。概率论已经是一个重要的数学领域

三联生活周刊：作为一个数学家，你会如何定义数学？或者说，是否存在这样的一个概念？

塔拉格兰：这属于一个哲学问题。实际上我并不会经常思考这样的问题。当我发现一个问题，我自然能够分辨出它是否属于数学问题。就像是该如何分辨艺术和色情？当你看到它，你自然就可以分辨出来了。数学有很多不同的领域，所以很难给出一个严格的定义。当我在读一本关于物理学的书时，我会意识到这是关于物理学，而不是关于数学的。因为物理学中的证明较少，而在数学中到处都需要证明，数学论述是非常严格的。在物理学中的一些论述则不是那么令人信服，甚至可能是错误的。

在理论上，只要推导过程没有错误，数学就不可能犯错。数论、随机过程、微分几何，它们的研究方法都完全不同，但共同点是都需要严格的证明。从有明确定义的对象，或是某个公理出发，建立起一个推理的链条。因此数学的基础是坚实的，数学的推导过程也是坚实的——这是所有数学分支的共同特征。

数学是通过共识进行证明的。当大多数数学家都同意一个问题已经被证明，那么这个问题就被证明了。据说现在有了专门用于检查数学证明是否完整的软件，已经被应用到了一些非常困难的问题上。我自己的研究用不到这样的软件。不过当一个证明有几百页长的时候，人们通常很难知道它是对是错。如果有这样一个机器可以对每一步推导进行检查，将是一个很好的事情。法国科学院院士、数学家米歇尔·塔拉格兰与他的著作《什么是量子场论》

三联生活周刊：这个问题你可能被问过很多次了：如何用简单的语言向普通人介绍你的研究领域？

塔拉格兰：实际上，（用简单的语言介绍我的研究）这是做不到的，我只能给出一种半哲学性的回答：概率和随机过程支配着我们的生活。我们需要使用概率来建立数学模型。我们在很多方面都需要概率论，我们也在很多方面都需要用到统计学来做出决定。我的研究，让人们对于概率学一些方面的理解更加清晰，也因此可以建立更准确的统计学模型。可以说，我的研究对于日常生活的方方面面都有影响，但又很难举出某个具体的例子。

三联生活周刊：你是从何时开始对概率论和随机过程感兴趣的？

塔拉格兰：我从未在学校里学过概率论。当我还是一个学生的时候，概率论在数学领域根本不受重视。有个流传甚广的故事，说法国出色的概率学家保罗·莱维（Paul Lévy，1886～1971）因为在法国根本找不到工作，只能远走美国。在当时，研究概率论的重要性被认为和研究烹饪差不多。现在情况已经完全不同了，菲尔茨奖授予了好几位研究概率论的数学家，如今阿贝尔奖也授予了这个领域。这在40年前是无法想象的，说明概率论已经是一个重要的数学领域。

从国际数学家大会（International Congress of Mathematicians）的情况也可以看出概率论的地位。现在关于概率论的发言比其他任何领域都要多，因为人们已经认为它是数学研究中重要的一部分。我在大学里学过测量理论（measure theory），它是概率论基础的一部分，但我转做概率论研究是受到了同事的影响。

实际上，我从来没有在学校里学过概率论是一个巨大的优势。我因此对它有了不同的视角，这也是我在这个领域取得成功的关键因素。在巴黎那些最好的学校里，（概率论研究者们）都在研究相同的问题：布朗运动、随机积分（stochastic integration）。而我从来都没有加入他们的队伍，我在做完全不同的研究。如果你和其他人都做同样的事情，那么就很难取得成功。取得成功的最佳办法是去探索那些还没被探索过的领域。

三联生活周刊：概率论和随机过程领域最吸引你的东西是什么？

塔拉格兰：就像是食物一样，你会喜欢某些特殊的味道。在数学中，我喜欢研究某些特殊的结构。我并不喜欢，也很难理解那些大理论。我喜欢研究简单的对象，并且能够对其有深刻的理解，这很重要。

对我来说并没有所谓一知半解这种事情，理解就意味着最深刻的理解。就像是军队里那些士兵被蒙住眼睛依然可以熟练地组装起枪支，我认为对数学对象的理解也应该达到这种程度。你需要对一个简单对象的每个方面、每个步骤、每个联系都完全理解。这是我研究数学的方法。有些人的风格则完全不一样，他们会从更高的角度去分析一个问题。可以说不同数学家的研究风格都各有不同。

三联生活周刊：作为一个研究概率论和随机过程的数学家，你如何看待这个客观世界？它是由确定性所支配，还是由随机性所支配，或者是两者的结合？

塔拉格兰：有什么东西是完全可以被预测的吗？

三联生活周刊：比如在牛顿力学中描述的世界，一切都是可被预测的。

塔拉格兰：在牛顿力学中当然并不存在概率，一切都是严格的。不过我并不是一个哲学家，我研究自然界中存在的高斯过程，而且研究这些对象有很重要的意义，因为其中包含了很多极限。我们在生活中经常会遇到这样的情况，我们必须去理解它。我从上世纪80年代开始就在研究这些被严格定义的问题，并且取得了一些别人没有取得的成功。你必须在研究中找到那个真正影响问题的核心变量，找到正确的表达式，然后做出正确的证明。实际上，做出证明并不是最难的部分。有些时候，找出真正合适的表达式才是最难的，比进行证明更难。所有这些结合在一起构成了数学研究。

三联生活周刊：有人介绍你的工作，说你让人们可以做出更加精确的预测。

塔拉格兰：我想这是一种恭维。我的一部分工作证明了一些不等式。这些不等式确保了一些随机变量与预期值之间差别的限值，将它们限定在一定的区域内。这对于理论学家来说是一种很好的估算。因为当你在证明一些估算时，结果总是显得过于悲观，最后呈现出的结果经常好于预期。我和一些物理学家谈过这个问题，物理学家们并不做非常严格的预测，但是他们凭借直觉总是能够对事物有良好的预测。所以说，我证明的这些不等式，对于一些理论工作来说非常不错，但我并不认为它们有太多实际的用处。所谓实际的用处，在于当你明确了一个理论之后，你会了解如何在此之上制造出坚实的工具。三联生活周刊：作为一个数学家，你对于物理学也有很大的兴趣。

塔拉格兰：我从中学开始就非常喜欢物理学，在大学的前两年我也在学习物理学，理解了狭义相对论和电磁学理论等。我认为麦克斯韦方程以及一些物理学理论非常优美。但是在之后我必须做出选择，到底是选择数学还是物理学。所以我去拜访了我的物理学教授。教授告诉我，在物理学领域就业非常困难，可能在10年之内都没有工作机会，于是我就选择了数学。

在选择了数学之后，我仍然需要为生活而奋斗。我也通过一些科学期刊了解物理学的最新进展。不过当一个数学家到了60岁之后，他的职业生涯就正式完结了。很多数学家希望自己在50岁之后还能做出杰出的工作，但我认为这纯粹是幻想。美好的想法只属于年轻人。我认为在60岁之后再进行数学研究没有太大的意义，而我又希望能获得（智力上的）乐趣，于是就试着理解一些此前没有学过的物理学知识。我花了几年时间学习经典力学和广义相对论，这些科目我学得还算不错，不过量子力学学得并不算好，量子场论看上去并不太有趣。

三联生活周刊：但你写了一本关于量子场论的书。

塔拉格兰：我之所以写一本关于量子场论的书，是因为我想要通过这个方式学习量子场论。在我的书里并没有任何的新理论，其中的内容人们在70年代就已经都了解了，但它是用一种数学家们容易理解的语言写的。尽管其中的一些部分并没有提供证明，我仍然解释了这些部分的意义，又在其中做出一些估算。在很多讲述物理学的书里，作者只是写我们这样做或那样做（却不提供任何证明），就像是上帝在写书一样。作为数学家，我看到这样的论述会感到非常迷惑。这与不同学科的文化有关。我写了这本书，对于数学家来说更容易理解。我花了将近十年时间才完成这本书。

三联生活周刊：步入老年的数学家就没有做出重大突破的机会了吗？

塔拉格兰：当我还是学生时，有一天我正在自己的办公室工作，我的导师忽然过来问我：“你今年多大岁数了？”我回答说29岁。导师说：“你要抓紧了，你只剩下一年时间还能做出重要的工作。”要知道，很多菲尔茨奖得主都是在30岁之前做出了自己最重要的工作。进行研究最好的年纪是在25～27岁。在这个年纪你已经完成了学业，有时间对知识进行消化，头脑清晰且开放——这正是做出重大发现的最好机会。随后，一切都会开始走下坡路。对于我来说，当我有了非常好的想法，我能够清晰地认识到这一点。这是一种非常美好的感觉。但是这种感觉出现得越来越少，直到最后一次出现，此后便再也没有了。这就是我关于逐渐变老的数学家的哲学。当然，并非每个人都同意这个观点。

三联生活周刊：你最好的工作是在什么年纪做出来的？

塔拉格兰：我认为自己很幸运。我做出自己最后一个不错的工作是在52岁，这已经是一个相对很大的年纪了。我在很年轻的时候并没有做研究，因为我浪费了好几年时间才找到自己真正喜欢的领域。我当时对数学并不理解，所以就随便选择了一个研究领域。我随意地去听课，去听讲座，希望理解别人在做什么，但是这并不符合我的品位。我花了好几年的时间才明白我最擅长证明不等式。一旦我发现了这一点，我就能做出比以前更出色的工作。我做数学研究最好的时光是在1985年到1992年、1993年之间。我产生出一些非常棒的想法，随后就开始走下坡路了。这也是自然现象，每个人都是这样的。一旦你意识到这一点，就不会太过于难过。

三联生活周刊：数学家过了全盛时期之后又该如何工作？

塔拉格兰：我证明我的最后一个定理时已经接近70岁了。这个定理看起来并不算难，但这终于结束了一项我持续了30年的工作。关键在于，之前我从未能问出那个正确的问题——在某种意义上，我早就完全理解了它，解决它的所有想法我也都已经了解，我所缺少的是敢于提出关键问题的勇气，并且有雄心真正能够解决困难。

我很幸运在接近70岁时终于完成了这项工作。并不是每个人都能做到这一点，我对此感到满意，但它并不涉及创造性。我最后的创造力是在52岁时，把很多的碎片巧妙地拼凑到一起，这是一种很高的技巧。

三联生活周刊：你的研究也帮助人们理解自旋玻璃（spin galss）的性质。

塔拉格兰：自旋玻璃是一项关于“控制测量问题”（control measure problem）的研究。我在2007年发表的一篇论文里讨论了这个问题。这个问题大约可以追溯到冯·诺依曼。能够解决这样一个困扰了人们30多年的问题当然会很开心。实际上（解决这个问题）并没有太多的实际应用，它也不是一个人们可以在未来加以利用的工具。只不过现在这个问题已经不存在了。

三联生活周刊：作为一个对物理学感兴趣的数学家，你如何理解物理学和数学之间的区别？

塔拉格兰：物理学和数学之间存在着巨大的差异。因为这两个学科的目标是不一样的。研究物理学的目标在于理解这个宇宙。只要能实现这个目标，用任何方法都是可以的。而数学研究的规则完全不一样。

令人惊讶的是，数学有着惊人的能力来解释物理学。哲学家们已经对此原因思考了很久。诺贝尔奖得主，物理学家尤金·维格纳将其形容为“数学在自然科学中不合理的有效性”。为什么数学可以帮助我们理解物理世界？没有人知道。我们可以看到广义相对论是基于非常优美的数学理论，同时又可以完美地描述世界。数学看起来只是人类大脑中的创造。为什么它可以解释整个宇宙？没有人知道。我只是感到惊奇。这完全无法理解。如果一个人有神秘主义倾向，那么他可能会说这说明是上帝创造了世界，因为它使这个世界充满秩序。有意思的是，我在一些社会学研究中读到，相比于物理学家，有更多的数学家信仰上帝。

三联生活周刊：当你在进行数学研究的时候，你认为自己在进行创造还是做出发现？

塔拉格兰：这是一个永无止境的问题。每个人都在讨论这个问题。当你将一生都奉献给了数学，你必须相信它具有某种实在性，否则你不可能花费一生去研究一些根本不存在的东西。在我的内心里，我相信数学对象是真实存在的。

事实上，我不相信是我创造了它们，我相信它们真实存在。但它们是存在于一个多维度的复杂宇宙中，想在那里找到它们非常困难，因为需要考虑的因素太多了，就像是在干草堆里找一根针一样。它们不是被构造出来的，它们太美了，我无法构造它们。它们必须是之前就已经存在的。当然这是当我完成出色的数学研究时的一种本能感觉，并不是一个关于数学的哲学理论。

三联生活周刊：你是概率论的专家……

塔拉格兰：不，我只是概率论其中某一小方面的专家。我可以向你解释随机积分和布朗运动。不过在巴黎的那些学校里研究的数学和金融数学等内容，我一无所知。我理解的是另一种类型的概率，即一种抽象的概率，我在很大程度上推动并证明了它们的重要性。

三联生活周刊：量子力学也会给出概率性的答案，你对此有何解释？

塔拉格兰：我对此没有任何解释。在我关于量子场论的书中，我不得不稍微解释一下量子力学。量子力学有一套数学规则，应用这些规则，就可以得到一个结果。你可以在实验中去检验。不知道为什么，这些数学规则虽然看起来非常普通，但是它们非常有效，已经被经验证明是非常精确的，可以说这是一个伟大的奇迹。我们讨论为什么整个宇宙可以被解释。我不知道。量子力学是一个完全的谜。

我读了一些哲学家写的关于量子力学的书。要想对量子力学进行哲学讨论，你必须首先掌握这个理论，否则都是无稽之谈。我明白关于量子力学的巨大谜团仍然存在，但我可以接受这一点。宇宙中有如此之多令人难以置信的美丽谜团，这只是其中之一。在过去100年里，在物理学领域最聪明的头脑一直在面对量子力学，并试图更好地理解它。而我又能做些什么呢？数学传统非常重要

三联生活周刊：进行数学研究是否需要认识许多的数学家？

塔拉格兰：我是个孤独的人，并不认识太多的数学家。有几个数学家对我产生过很大影响，包括以色列人、俄罗斯人和美国人。他们都有不同的文化背景，但这并不是问题，因为我们都从事数学工作，数学是一种通用语言。

三联生活周刊：那么如何看待不同数学家的不同研究风格？

塔拉格兰：风格并非文化。比如说我和隔壁好朋友之间的风格差异很大，这只是个性的问题。文化背景当然会对人有所影响，但个体的差异要更加重要。每个人都有不同的方式，不同的才能。在体育运动中也体现出不同的才能：有的人跑得快，有的人会跳远，他们不是一样的。数学研究也是一样：有的人擅长某种类型的问题，有的人有宏大的视野，他们的才能完全不同。

做研究的一个难点在于你必须找到自己所擅长的东西。如果你什么都不擅长，那么你的研究就会失败；如果你擅长某一方面，想要找出你擅长的领域也并非易事。我最初浪费了几年时间去研究我并不擅长的领域，什么成就也没有。我为此感到很难过，因为如果我当时就知道自己所擅长的领域，也许我会证明出更多的定理。但是在你尝试之前，根本没有办法知道自己究竟擅长哪个领域。这就是问题之所在。在数学中进行尝试，你不能只维持一个小时。在一个问题上我们至少要花费半年时间。

三联生活周刊：你对现在还在寻找自己研究领域的年轻数学家有什么建议？

塔拉格兰：可悲的事实在于，你需要忍受很多痛苦，浪费很多时间，才能找到自己喜欢和擅长的领域。我不知道该如何回答这个问题。因为发生在我身上的所有好事都是由于随机事件、随机的机会而发生的。我探索过许多事情，然后我做出了一些发现，但我发现并没有一个算法能保证自己职业生涯的成功。

比如说我获得的奖项是以挪威数学家尼尔斯·阿贝尔（Niels Abel）命名的。阿贝尔的一生非常悲惨，他在26岁时就因为贫病交加而去世。而当他的工作最终被法国科学院所接受时，人们才意识到阿贝尔的成果相当于别人500年的工作量，因为他太超前了。阿贝尔非常孤独。在他的头脑里所出现的东西，甚至是比量子力学更伟大的奇迹。这就是人类大脑的力量。你可能不知道自己是否拥有这种力量，除非你真正尝试过。我们应该相信，人类具有巨大的潜力。

三联生活周刊：你提到了“直觉”。作为一个数学家，你如何解释“直觉”？

塔拉格兰：并不需要去理解直觉，只需要遵守从简单到复杂的规律。在遇到一个复杂的问题时，你完全不明白，于是只能先从一个更简单的问题开始。如果你还是没法解决这个问题，就进行迭代，直到找到一个足够简单、能够真正进行分析的对象。你会对这个问题有更好的理解，然后再进入到更高层次的复杂性——这就是我一直以来所做的。

我证明过一些著名的不等式，首先我会分析其中最简单的情况，然后再从特殊情况推导出普通情况的证明。所以说真正重要的是走出第一步，而找出证明并不总是最困难的。一切都不是凭空而来的。你首先研究最简单的对象。在有了经验之后，你可以向不同的方向拓展，然后才会产生出所谓的“直觉”。

我喜欢欣赏画作。我能够辨别出一些画家和一些时期的作品，我也不知道自己是怎么做到的。数学研究也是如此。在研究了很多不同的情况后，你就会明白接下来该怎么做。但是在这之前需要做大量的工作。

三联生活周刊：你是一个法国人。回顾历史，会发现法国出现了众多伟大的数学家。为什么法国有产生数学家的传统？

塔拉格兰：除非你是一位顶尖数学家的学生，否则想成为一名顶尖数学家是极其困难的——这也是为什么中国的数学研究花了很长时间才开始起步的原因，因为在之前中国没有很多顶级的数学家。在法国有很多非常优秀的数学家，他们可以直接指导学生，也会通过谈话等方式对别人产生巨大的影响。

要理解数学传统的重要性，可以看看德国的历史。在希特勒出现之前，德国是进行数学研究最出色的国家。但是由于当时有很多德国数学家是犹太人，（这个数学传统）被希特勒完全摧毁了。（因为担心被迫害）那些犹太人离开了德国。尽管第二次世界大战已经结束了很长时间，但德国的数学传统仍没有恢复。

现在法国的数学研究要比德国的数学研究更好。德国有一些非常杰出的数学家，但如果对比数量，仍然无法和法国相比。所以说数学研究的传统非常重要。此外，法国还有一个精英教育制度。想要进入法国最好的学校比如巴黎高师学习数学，学生需要进行竞争，进入特殊的中学进行准备。这样的中学里有最好的教授和最好的学生。我们有两所这样的中学。法国的菲尔茨奖章得主，其中有一半来自这两个地方之一。如果你是一个有数学天赋的法国学生，你的父母会尽一切努力让你进入这两所学校。从这里毕业之后，很多学生会选择进入巴黎高师学习，随后学习数学的道路就变得宽阔了。

这是一个为顶尖的精英人才建立的非常有效的系统。但是对于普通人来说，则是完全不同的情况了。不过对我来说，则是有着完全不同的经历。我想如果我进入到这样的精英学校里进行学习，遇到那些天才学生，和那些解决问题总是比自己快的学生坐在一起，我会感到灰心丧气，感觉自己是个白痴。或许我就不会成为数学家了。

三联生活周刊：数学是一门只适合于天才的学科吗？

塔拉格兰：这取决于你如何理解数学。如果你把数学当作一个工具，那么你不必是个天才，你只需要学习这些工具。如果你想证明一个定理，那么显然你需要具有一些特别的才能。你也可以是一名高中教师，或是一名大学教授——你不必是一个天才就能成为大学教授，你只需要熟练地掌握自己的领域。

当然，想要获得菲尔茨奖是非常困难的。你必须在40岁之前解决一个重大的数学问题。但是就像社会中其他领域一样，每个人都可以有自己的位置——只是你不要试着在自家的厨房里证明黎曼猜想，这样做成功的机会会很低。 数学塔拉格兰