用思维塑造人：重新理解数学教育
作者：徐菁菁
“如何在琳琅满目的外卖折扣中发现最优折扣，‘薅最多的羊毛’？”
2020年底，北京十一龙樾实验中学的初中数学老师马积良参加第六届未来学校大会，带上了这个问题。未来学校大会由中国教育科学研究院等机构主办，这一届的主题为“课堂革命中的教师蝶变”。马积良参与的环节是“数学建模主题论坛”。来自全国各地的数百名一线数学教师要在这里接受专家的指导，设计数学建模课程，经历三轮选拔。
“数学建模”对于马积良来说既熟悉又陌生。在成为一名初中数学教师之前，他本科毕业于清华大学计算机系。“建模”在计算机领域是一个常见的词汇。他记得，在大学的时候，有很多同学参加建模比赛，用计算机程序解决问题。
后来，马积良开始对高中数学建模有所耳闻。2017年，教育部颁发新一版《普通高中数学课程标准》，在2020年发布的修订版中，确定了数学建模为高中数学六大核心素养之一，也是高中数学课程的主线之一。其实《义务教育数学课程标准（2011年版）》也提出了应该发展学生包括模型思想在内的8种能力。尽管如此，数学建模对于很多义务教育阶段的老师而言都还是陌生的。
未来学校大会举行了6届，设立“数学建模主题论坛”还是第一次。特别让马积良好奇的是，这次论坛不但涉及高中，也邀请小学和初中老师参加。初中孩子掌握的数学知识非常基础，足以让他们进入“建模”这样听上去颇为高深的领域吗？论坛上，马积良一边学，一边设计和完善自己的数学建模课程，三轮选拔下来，拿下了初中组第一名。
我对数学建模的理解就是从马积良的课程设计开始的。为了研究在外卖折扣中“薅羊毛”的最优解，他设计了2课时的课程。在第一节课，他让学生研究一家卖汉堡包的店铺，引导学生使用表格进行数据的分析和整理。他让学生思考：优惠价格都是10元的情况下，每个套餐的折扣是否就真的一样多？如何快速发现哪个套餐的折扣率最高，哪个最低？除了直接的打折，还有哪些条件在影响折扣率？如果考虑包装配送费和满减优惠这两个条件，选择套餐的最优解是不是发生了变化？如果搭配一点低价位的商品，使一些原本不能参加满减的套餐进入满减范围，情况是否又不一样了？
在第二节课里，马积良抛出问题：如果需要点多人餐，应该凑到哪个档次的满减，更为合算呢？在课堂讨论中将实际问题进一步转化为抽象的数学问题，运用的是一次函数和二元一次方程整数解的相关知识。
未来学校大会上的“尝鲜”激发了马积良的热情。他感到，数学原来“还可以这么玩”，这么“玩”对孩子们是有帮助的。
做老师，让马积良感到最棘手的不是课程教学，而是一个更基础的问题：孩子们不明白学习是为了什么。有学生直接问他：学习有什么用？我学习好了又能如何？马积良拿自己当例子，说他当年如何学习好，如何考上清华。“孩子马上丢出一句话‘你学习这么好还来当老师，一个月工资多少钱？’，或者说‘我爸妈都没考上清华，你这么厉害，怎么还不如我父母赚得多？’。这样的问题很现实，也很本质，你无法回避。”
相对其他学科，数学高度抽象，学习的价值和意义更难以被呈现。绝大多数学生不会走向数学专业，大部分人未来从事的岗位和行业也不见得需要那么多数学知识。到底为什么学数学？马积良一直在探究这个问题。他理解，数学最本质的属性是语言性，描述的是这个客观存在的世界，学数学就是为了帮助孩子建立对客观世界的认识，“如果这一点能够在教学中体现出来，那就非常棒了”。数学建模的出现好像让他看到了一个途径，“与传统的教学方式相比，这种基于真实问题进行项目式学习更容易拉近学生与数学的距离。数学建模正是从真实问题到数学问题的桥梁”。
马积良开始在学校开设数学建模选修课。在课上，孩子们研究的都是生活中一些非常现实的问题。其中一个课题的诞生是因为大家感到学校的监控摄像头不合理：虽然安装了不少，但同学们丢东西的时候，想通过摄像头找一找，却总会发现“盲区”。于是，他们先在课堂上讨论，建立数学模型，然后使用各种工具仔细测量现有摄像头的高度、角度，通过计算去“绘制”现有的监控范围，最后再根据先前假设的模型，提出了关于监控摄像头安装位置的优化方案。
马积良很看重这种“真实的任务”。他不喜欢那种传统数学题的情景设置。“小明买了三头蒜花了多少钱，小华买了三个苹果多少钱”。“真实的问题不会这么简单，它会涉及很多的因素。”马积良说，“在建立数学模型的过程中，既需要将错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构，也需要通过调查、收集数据资料，研究实际对象的固有特征和内在规律，更需要从纷纭的关系中抓住问题的主要矛盾，建立起反映问题本质的数量关系，这样才能利用数学的理论和方法去分析和解决问题。”更重要的是，评价一个数学模型更多地是看它是否符合科学的逻辑推理，是不是合理的预测和估计，并不存在一个统一的标准答案，“正如生活没有标准答案，科学研究也没有标准答案”。
我对马积良和他的数学建模教学产生兴趣，是因为这和我印象中的数学学习有很大的差别。
小学三年级，作为一名“双百分”学生，我开始学奥数。那是上世纪90年代初。在湖北大学的两三百人的阶梯教室里，一位头发花白、表情严肃的大学数学老师带着孩子和家长们一起演算。白色的粉笔划过黑板，吱呀作响，没有在我心头激起任何波澜。我所牢记的，是炎热的夏天，屁股下的汗水，不绝于耳的蝉鸣，以及每次上完课都会有的考试。上节课考试成绩最好的40名学生，将获得在大班下课后继续上提高班课程的资格。提高班也要考试。8道题，不要求写演算过程，只要求填答案。每题10分，得到40分的同学就会被认为有在竞赛中拿奖的潜质。有一次，我稀里糊涂地进了提高班，又在提高班考试里稀里糊涂地蒙对了4道题。我至今还记得，批改完的试卷发下来，父母喜形于色。但这一切就是我对数学的最深刻的记忆了。
此后，我的数学学习经历都可以用“稀里糊涂”来概括。上初中以后，我开始越来越不能理解那些字母、代数式和符号。它们好像是遥远异国的语言。我不知道它们之间有何联系，究竟在讲述什么样的故事。于是，我的数学成绩一路下滑，全靠牢记概念公式和解题办法维持卷面的基本体面。学不懂的背后，更深层次的原因是，我根本缺乏弄明白这种语言的动力和兴致。我从未从中品尝到乐趣。而且，在奥数班，我已经见识过那些最有天赋的孩子。我想，我不是学数学的那块料，在这场寻求标准答案的竞逐游戏里，差不多就得了。
离开校园以后，我正式和数学分道扬镳，迅速清空了头脑中的概念、公式和定理。偶尔，数学会出现在梦里：有时候是突然听说第二天要数学考试，更多时候是收卷的铃声响起，试卷还有大片空白。偶尔，我也会有些遗憾。几年前，我读西蒙·辛格的数学史著作《费马大定理》，心潮澎湃。我想，吸引一个又一个人物孜孜以求的是什么？传说中的数学之美又是什么？我隐约感到，在我没有打开的数学大门背后，有我所不了解的智慧。
打开手机点外卖的时候，能够用函数来做决定，这是一种智慧吗？我不知道，但至少，这很有趣。
马积良发现，数学模型对孩子是有吸引力的。今年，第八届国际数学建模挑战赛（IM2C 2022）第一次设了初中组的比赛。马积良把比赛的信息在学校线上平台做了简要介绍。他没想到，这项不和升学挂钩的比赛，却让很多学生跃跃欲试。学习成绩比较好的孩子想试一试自己数学到底学明白没有，到了什么水平；成绩一般的孩子，想通过这个方式去理解数学的现象和知识。在研究建模的时候，孩子们会在马积良面前恍然大悟：“哎呀，原来当时学的这个东西还能这么用！”
数学知识并不是数学建模考查的最重要的东西。评审们关注的是孩子们如何运用学段已经掌握的知识。数学能力和知识的多寡并不直接相关。后来十一龙樾中学有7支队伍参加了IM2C 2022国际数学建模大赛。在这场大多数参赛队都是高中生的比赛里，初三年级的一支队伍获得了国际赛二等奖、中华赛区特等奖，还有一支初一年级团队获得了国际赛入围奖、中华赛区一等奖。拿到中华赛区一等奖的团队，孩子们才刚上初一，“实际上他们只是在运用小学数学和一点点初中数学的知识”，但“背后体现出来的逻辑思维是很厉害的”。
在获得中华赛区特等奖的团队里，也并不是每个人都是传统意义上“数学成绩很好”的孩子。其中，一个孩子的成绩很好；一个孩子对数学“很有感觉”，但是考试的时候容易粗心出错，成绩倒不是很好；一个孩子电脑玩得溜，特别擅长查找资料和数据；一个孩子写作功底强，能够迅速把研究整理成文；还有一个孩子哪方面都不是特别突出，但是个多面手，什么工作都能做一部分。马积良观察学校的这些参赛队伍，发现这其实是一个“比较合理的团队架构”。
数学建模受到的关注越来越多，逐渐从大学走向高中、初中甚至于进入小学教育的视野，背后的真实问题其实正是我长久的疑惑：“学数学到底为什么？数学到底学什么？”
《中国大百科全书·数学卷》对数学的定义是：“数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的，简单地说，是研究数和形的科学。”作为“数学科学”，这个概念是确凿的，但在基础教育领域，作为学科的数学一直在调整自己的目标。
新世纪以后，我国的基础教育改革发布了三版课程标准。2001年版课标提出了“双基”：基础知识（主要是概念和法则的记忆）扎实，基本技能（主要是计算和证明的能力）熟练。这是我国数学教育的传统。从2005年开始，东北师范大学校长史宁中担任义务教育数学课程标准修订组的组长，他认为，这个目标定位影响到了整个基础教育。它所带来的教学形式是教师讲授概念和法则，学生通过大量反复的练习，达到记忆扎实、熟能生巧。对于考试而言，效果是明显的，但学生并不能理解数学的思想，无法应用于生活实践，更不利于培养创新意识和思维。
2011年版课标在“双基”的基础上增加了基本思想和基本活动经验，希望学生能够除了知晓概念和法则，还能经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程，以知其所以然。
这次课标的改革让数学教育的方向开始强调“知”的过程，从“知”走向“想”。史宁中认为：“世界上有很多东西是不可传递的，只能靠亲身经历。智慧并不完全依赖知识的多少，而是依赖知识的运用、依赖经验，教师只能让学生在实际操作中磨炼。”
2011年版课标还提出要在数学和其他学科之间、和生活之间建立联系。北京师范大学国家教材委员会专家委员会委员、2022年版义务教育数学课程标准修订组组长曹一鸣告诉我，上个世纪，人们对数学这门科学曾经有一种流行的看法，认为相比应用，纯数学才是更高级的数学，但本世纪，当大数据、人工智能成为经济发展的引擎，这种观念逐渐被扭转，因为这些技术背后的核心就是数学。于是，在教育领域，强调数学学习是为了应用，为了解决问题，开始被世界各国所公认。而这个时代应用也不再是简单的运算，是以“想”为基础的应用。正如计算机承担了运算的工作，人们的任务是找到算法。这也是数学建模进入基础教育视野的原因。
如果数学要以应用为目标，要让人会“想”，那么具体地说，数学的“想”到底包含什么？史宁中在《基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题》这本书里提到，2011年版课标发布后，他就在思考一个问题：数学的基本思想是什么？他认为，判定这个原则的标准有两条：一是数学的产生与发展所必须依赖的思想，二是学过数学的人和没有学过数学的人应该具有哪些思维差异。他最后总结了六个字：抽象、推理和模型。
就在今年4月末，IM2C 2022国际数学建模大赛落下帷幕的时候，教育部发布了《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》。新的课程标准在“课程目标”里开宗明义地讲到，数学课程的目标是培养学生的三个核心素养：会用数学的眼光观察现实世界；会用数学的思维思考现实世界；会用数学的语言表达现实世界。史宁中教授总结说，概括地说，这三句话对应的就是数学的三条基本素养——数学抽象、逻辑推理和数学模型，是“数学教育的终极目标”。
在很多不同的场合和文章中，史宁中解释过这三条素养提出的理由。数学研究的对象是数量与数量的关系、图形与图形的关系，它们都是通过抽象获得的。抽象使得现实世界的事情到了数学学科内部。
数学自身的发展和数学的结论则是通过推理而得到的。推理主要分成归纳推理和演绎推理。归纳推理是一种从特殊到一般的推理。人们借助归纳推理，从经验过的东西出发推断未曾经验的东西。比如，锐角三角形和钝角三角形内角和分别都是180度，这说明“一切三角形内角和都是180度”。归纳推理得出的结论并不一定成立。
演绎推理是从一般到特殊的推理。人们借助演绎推理，按照假设的前提和法则来验证那些通过归纳推理得到的结论，也就是数学里的“证明”。
而数学模型则通过构建数学通往现实世界的桥梁，抽象的数学又通过模型返回了现实世界。
“当我们只把数学定义为‘知识’的时候，那么有些数学知识就可学可不学，但是如果我们把它理解为一种‘能力’，学与不学是不一样的，它就会影响学习者的素质。”北京赫德学校初中部学术校长胡赵云说。胡赵云是数学特级教师、全国中考评估专家组成员、北师大版教材《初中数学》的核心编写成员。“比如，初中时学习证明两个三角形全等，在现实生活或者工作中，对于大多数人都没有用处，但是通过学习证明的过程，可以学会推理；明白分辨一些事情是真是假，是应该讲道理的；知道要从公理、从大家共同认识的道理出发，以逻辑的方式讲明白为什么对，为什么错。”
胡赵云喜欢拿《几何原本》举例：“如果我们把数学教育，从教知识的价值升级到教数学学科建构方法论的价值上，你就会发现它的意义非常巨大。”公元前300年左右，古希腊数学家欧几里得的这本书被视为历史上最伟大的著作之一。在《几何原本》的第一卷里，欧几里得给出了23个定义、5条公设、5条公理。这些定义、公理和公设都可以说是简单明了，不证自明的，比如：“钝角大于直角”（定义），“从任一点到任一点可作一条直线”（公设），“等量加等量，其和相等”（公理）。然而从这些定义、公理和公设出发，欧几里得推导出了465个命题，形成了一个严密的逻辑体系——几何学。
《几何原本》被誉为科学的“圣经”。这并不是因为它证明的几何命题，而是因为它体现的数学演绎被认为是西方思想中最能体现理性的思维方式。这种思维方式不仅启发了哥白尼、开普勒、伽利略等科学家，影响牛顿写出了《自然哲学的数学原理》，也启发了霍布斯、斯宾诺莎、罗素等哲学家，影响了康德的《纯粹理性批判》。《人口论》《国富论》《独立宣言》的写法也都受到了《几何原本》的影响。
数学素养的养成到底应该蕴藏在怎样的数学教育里？
《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》里的很多调整是针对小学阶段的。从知识掌握的意义上看，小学数学似乎变得更简单了。比如，小学阶段负数和方程的学习移到初中阶段。再比如，原本小学数学分为1～3年级、3～6年级两个学段，现在改为1～2年级、3～4年级、5～6年级三个学段，要求减少1～2年级数学的课时安排。
这样的调整并不是因为小学数学不重要，可以说，这恰恰是因为它太重要。素养养成，就像万丈高楼起于平地，必须让学习“慢下来”。曹一鸣指出，负数的调整是因为小学阶段负数学习仅仅停留在认识层面，学生一旦理解不好，就会对初中学习负数产生负面影响。而方程由小学移到了初中，主要是鉴于小学数学中的问题情境不复杂，数量关系也相对简单，用等量关系建立方程反而会使得思考过程变得繁琐，学生感受不到掌握这种新方法的需要，其结果是不能建立用代数解决问题的恰当思维方式。
知识掌握得多，记得牢，并不意味着学好了数学。人们总说：小学学得好，未必初中学得好。为什么会有这样的分水岭？一种常见的解释是天资和个人思维发展的差异。但也存在另一种可能：人们评价好与不好，依据的是卷面成绩的变化。一个小学数学成绩很好的孩子，在初中的数学学习中遇到困难，更可能说明小学的成绩是一种假象，因为卷面考查的大多是数学知识和技能的熟练程度，并不意味着孩子真的“懂”数学。
作为初中数学老师，马积良有一个观察：“进入初中以后，一个学生小学数学知识上的优势只能持续半年，但小学掌握的数学方法和初中是一脉相承的，会极大地影响学习的速度。在课堂上，一个孩子在回答课堂提问的时候，他所表达出来的观察、感觉、思考就能深刻体现出他是如何理解数学问题的。”
和一般的理解不同，小学数学知识的特征并不是“简单”，而是“本质”。史宁中在他主编的《基本概念与运算法则》这本书的前言里提到，参与编写这本书的东北师范大学教育科学部教授马云鹏曾经用一个学期的时间为东北师大小学教育本科专业三年级的学生开设了一门课，专门讲这本书里的内容。史宁中后来和这些学生开了一次讨论课，他发现，在重新学习了这些小学知识以后，这些大学生对数学内容的理解也比过去更深刻了。
小学数学的基础知识背后蕴藏着数学最深刻的思想。以对自然数的认识为例，人们不难让一个3岁的孩子从“1”一直背到“100”，但孩子并不真正理解数字的意义。他知道，3个苹果比2个苹果多，但并不明白为什么数字3就比2大。因为，在现实的世界里，抽象了的数是不存在的。
同样，对于一个刚刚入小学的孩子，我们可以告诉他，3在2的后面，所以3比2大，以此类推。他能够记住数字，也能够记住这样的规则，但并不明白为什么要这样规定，背后的逻辑是什么。
北京市实验二小副校长李雪峰说，认识数字6，在小学一年级要讲一节课。老师们需要先呈现最具体的物品，6个杯子、6块糖，然后引导孩子用画方块或者三角形来代表它们，最后再把这些方块和三角形转化为数字6。之所以有这样看似“笨拙”的教学设计，是因为教学目的不只是让孩子记住6，而是让他们体会从杯子、糖块到小方块，正是数学的抽象，从小方块对应到数字，是更进一步的抽象。而小方块代表具体事物蕴含符号化思想，对于整个数学学习都至关重要。
这些数学思维的建立只有不断深入概念的背后，反复体验才能获得，这并不容易。北京师范大学附属实验中学老师吴勇告诉我，他刚刚当老师的时候教初中一年级，让他非常费解的一件事是，“一杯水是a元，3杯水的总价写成3a”，很多学生都接受不了，无法从自然语言过渡到符号语言。“这就是中学数学的第一个门槛。”
“用字母表示数”就是符号化，也是小学阶段的数学知识之一。过去，各个版本的教材只有1节课到半节课的时间留给这个知识点，新课标则要求用6～8节课。教字母表示数为什么要用这么长时间？
字母意味着什么？如果你头脑中的答案是“未知数”，那么，和我一样，你也需要补上小学数学课。数学中，人们约定俗成，t表示时间，r表示半径；拉丁字母的前几个a、b、c表示已知的量，拉丁字母的后几个x、y、z表示未知量。字母可以表示数、数量关系和变化规律，也可以运算和推理。比如，要表示两个自然数的和为10，可以一一列举具体的数字（0，10）、（1，9），也可以把它们写成（a，10-a)。加法交换律可以用具体的数字表示：2+3=5，3+2=5，因此2+3=3+2；我们也可以用字母表示为a+b=b+a。字母对数字进一步抽象，它们可以代表任意两个数，于是算式的表达就具有了一般性，更加清晰明确地展示了思想。这既是数学思维的过程，也展现了数学语言的独特和优美。
数学里的“=”需要怎么教？看到等号，我的第一反应是应该在后面填上某个答案。2+3=5，等号似乎无需解释。但实际上，对等号的理解关乎两种思维。算术思维里，等号意味着2和3经过运算得到了结果5。而在代数思维里，等号代表着相等的关系。在很多教科书里，对方程的定义是：含有未知数的等式。史宁中指出，这其实只是一个形式上的描述，方程的核心就是等号，它的本质是描述现实世界中的等量关系，描述的是现实世界中与数量有关的两个故事。
李雪峰告诉我，一个老师在讲解简单的运算时就可以启发孩子们的这个思维：“当我们说3+2=5的时候，我们就在表达一个结果，但我们也可以说，3代表3个1，2代表2个1，5代表5个1，等式两边代表的数量是相等的。孩子们的理解就会不同。”
除了概念、符号，小学的孩子们还会接触到很多数学的规则。南京师范大学附属小学数学特级教师贲友林观察课堂，有时候，孩子会把老师问到哑口无言：“0.28为什么要读作零点二八，而不是零点二十八？”“为什么小数部分有十分位、百分位、千分位，没有个分位？”“这些问题老师都太容易用‘这是规定’来解释。但实际上，数学的每一个规定背后都有其道理，这些问题的探究都是体会数学思想的机会。” 贲友林说。
小学课堂讲授图形的放大和缩小：长方形长3厘米、宽2厘米，放大后的长方形长6厘米、宽4厘米。按照放大缩小的概念，长方形是按边长的1∶2放大。就会有学生问：“放大后的长方形的面积是原来长方形的4倍，那为什么不能说是按面积的1∶4放大的？”“在这个疑问之下，老师引导学生去发现，如果我们用边长的1∶2放大来描述长方形的变化，那么这个变化是唯一的。原来的长方形只能变成一种长方形。而如果用面积作为标准，那么其实会有多种多样的长方形产生。”贲友林说，“学生能够体会到规定是合理的，数学具有精确性，而数学的美妙就在这里。”
运算法则是小学数学学习的重要内容。“先乘除，后加减，它到底是什么？如果课堂上能有这样的讨论，那么数学就不是一个结论，而是活人的思考。”贲友林说。史宁中在《基本概念与运算法则》里解释，小学阶段数学的一切概念和法则都是从现实世界中抽象出来的，“所有的混合运算都是在讲述两个或两个以上的故事”。
一个例子是：操场上原来有3名同学，又来了一队同学，这队同学每排有2名同学，共有4排，问现在操场上有多少名同学？在这个问题里就包含了两个故事——原来的同学数和后来的同学数，表现为算式就是：同学总数=原来的同学数+后来的同学数=3+2×4。混合运算中，可能有大故事包含小故事，用括号表示；也可能是几个故事的并列，用加号表示。这正是数学史上运算规则产生的思路。
学数学总需要做题。一道题目不仅需要知道怎么做，还需要知道为何做。胡赵云有一次听一位领导谈减轻学生负担，他提到一些数学题目脱离实际，没有必要让学生学习，比如水池问题：“进水管往池子里放水，出水管往池子外放水，生活里面谁会这么干？”“听到这样的说法，我只能说是我们数学老师没有教好，”胡赵云说，“一个现实中的市长，他是不是要考虑财政的收与支，人口的流入和流出？如果我们无法和小孩讨论这些，也可以引发他们把思考延伸到现实：家庭的收入和开支是如何动态变化的？”
这个数学题其实就是“模型思想”。在小学还有一类常见的模型是“植树模型”：在一条道路上按照一定规律种树，问可以植树多少棵，或是确定了棵数，反过来讨论植树的规律。类似的问题还可能以折小棍、爬楼梯的形式出现。这类问题在现实中其实有广泛的应用，比如在道路上设立加油站、在居民住宅区设立商业点等等。
小学数学最知名的数学题莫过于“鸡兔同笼”问题。在我开始采访的时候，我听到的关于这个题的第一个解法是抬腿法：让所有动物都先抬起一条腿，再抬起一条腿，那么鸡都落地了，剩下的腿都是兔子的。我觉得这种讲法非常形象有趣，也很好理解。但是几位数学老师却并不这么认为，在他们看来，这并不是一种好的解题方式。李雪峰认为，这道题最本质的意义应该由表格法来呈现，让学生逐一计算有1、2、3……只鸡的情况。
如果鸡和兔子一共有35个头，94只脚，那么有几只鸡、几只兔子？
鸡的数量 兔子的数量 脚的数量
34 1 72
33 2 74
32 3 76
……
在填写表格的过程里，学生会从中逐渐找到规律：鸡每少一只，脚多2只，然后可以自己推导出公式，最后完成验证。这个过程就是归纳推理，它也包含着数学重要的思维方法的实践：假设。
在《欢乐数学：一本充满“烂插画”的快乐数学启蒙书》里，作者里本·奥尔林说，当他从耶鲁大学数学系毕业，成为一名中学老师时，他很快明白了数学为什么是一门不受欢迎的学科：数学本是一门瑰丽的、充满想象力和逻辑的艺术，而学校里的数学课则把这门艺术撕成一大碗碎纸屑，然后给学生布置了一项几乎不可能完成又乏味十足的任务——把这碗碎纸屑拼回去。
我第一次感受到数学不是“纸屑”，而是应该用一种整体、联系的方式认识它是在大学。中国人民大学新闻学院所有专业必修统计学基础，这对很多同学来说都是一个“噩梦”。在统计学考试的前几天，为了备考，大家自发组织了一场特殊的统计学课——一位以统计学得好闻名的师兄来帮我们复习。这是前一届学生发明的办法。在这一堂课里，这位师兄并没有讲具体的例题，我印象中他只做了一件事：梳理了我们学过的每个章节，告诉我们它们之间的联系在哪里，为什么要从一种统计学工具，用到另一种统计学工具。上完课时，那种脑子仿佛被疏通了一遍，对考试突然不再恐惧的感受深刻地印在脑海里。
不久前，我和任其然聊了聊他学习数学的经验。他的父亲是数学家，华罗庚的学生。他毕业于北京大学数学系和哥伦比亚大学数学系。任其然读书的时候，曾连续10年获得北京奥数第一名。现在他开办了一家机构，做数学思维启蒙课程。任其然告诉我，他印象非常深刻的是，父亲老说一句话：“当你学透一个东西，你是能给3岁小孩讲清楚，能够演示出来的。”在他的学习过程里，掌握新的知识不费力，是他常常会有一种“这个方法我曾经用过，曾经遇到过，只是呈现的形式不同”的感受。
他给我举了两个例子。小学里会讲到数学家高斯小的时候如何用巧妙的办法计算“1+2+3+4……100”，其背后是等差数列求和。“高斯那么小的时候找到了这种方法，他可能是怎么想到的呢？”任其然用积木给我做了演示：如果用小方块搭建出一个“阶梯”，这个阶梯其实就是一个等差数列。两个一模一样的“阶梯”，可以通过首位相拼接，变成一个长方形（或正方形）。通过长方形的长乘以宽，可以计算出所有小方块的数量。这个数量再除以2就是一个阶梯里的小方块数量，即一个数列的和（如下图，图中的“阶梯”就是数列1，2，3……10）。
初中数学学习平方差公式：a²-b²=（a+b）（a-b）。任其然发现，这还是小时候他玩的积木。比如用小木块组成一个4×4的正方形，从中拿走一个2×2的小正方形，其实就是4²-2²。要计算剩下的小方块的数量，可以把它们重新组成一个长方形。长方形的长就是大正方形边长加小正方形边长，即4+2；宽就是大正方形边长减小正方形边长，即4-2。这个长方形的面积就是（4+2）×（4-2）。（如下图）
从前学数学的时候，我从来都是直接记忆公式，从未想过原来它还能用平面几何的基本知识去理解。
既然数学知识之间有千丝万缕的联系，它们如何体现在教育中，让数学课堂不再是“一碗碎纸屑”？曹一鸣指出，2022年版课标的一个变化就是对课程内容进行了结构化处理。其中的表现之一是内容的整合，比如，在小学阶段，数与代数领域由原来的6个主题整合为“数与运算”“数量关系”两个主题；图形与几何领域由原来的4个主题整合为“图形的认识与测量”“图形的位置与运动”两个主题。在内容整合的形式之下，更重要的是以数学核心内容和基本思想为主线循序渐进，强调单元的整体性，突出数学知识在不同学段的螺旋上升。
要实现这一点，对“一致性”的强调非常重要。小学中，孩子们会学习很多不同种类的数：整数、小数、分数。李雪峰告诉我，老师们常常用不同的方式来帮助孩子们理解这些数。比如，整数是从现实生活“1个梨、2个苹果”里抽象出来的；在生活里，小数可以用“3角钱就是0.3元”来理解；分数的1/3就是一个物体被分成3份，我们拿其中的一份。这些解释并没有错，但是这不够，因为“同样都是数，你会发现它们彼此之间没有发生联系”。
要建立联系，需要在教学中引入“计数单位”这个概念。李雪峰解释，对计数单位的认识从数数就开始了。当我们按照1、2、3、4、5……的方式数数的时候，就是在以1为计数单位计数。如果10为计数单位，数数就会变成10、20、30、40、50……那么对于一个具体的数字而言，你可以把2理解为2个1，20理解为2个10。
那么在讲解小数和分数的时候，除了结合生活情景，也应当让孩子认识到，它们也是按照计数单位“生长”的。0.3的计数单位是0.1，3/10的计数单位是1/10。
这样的“一致”除了会联系起数的认识，还会影响到对运算的认识。过去，一种数有一种数的计算方法，是数学教学的一个普遍问题。这些方法往往也没有能够解释运算的道理。当计数单位概念建立起来以后，数的运算也是相通的。比如，2+3就是2个1加3个1，而0.2+0.3就是2个0.1加3个0.1。曹一鸣经常看到有人讲分数的加减法，让孩子背“交叉线相乘”的口诀。孩子们背了口诀，不太理解这是在通分，知道要通分，也不太理解通分的道理。其实2/3和2/4无法直接相加就是因为2/3的计数单位为1/3，2/4的计数单位为1/4，计数单位不同的数字不能直接相加，通分的本质就是让计数单位相同。
在教育中展示出“一致性”，既能让孩子学会知识的迁移，学得更快，更重要的，这也是他们逐渐体悟基本的数学思维的路径。
曹一鸣给我举了个例子。小学数学有一道算筷子的题。一开始，孩子们会认识到一双筷子有两支，10个人吃饭要用10双筷子。题目会问：5双筷子加4支筷子等于多少呢？孩子可以说7双，也可以说14支。有人觉得这是在玩概念游戏，为难孩子。曹一鸣说，其实算筷子的活动也是把计数单位抽象出来的过程。小学时候的5双筷子，和中学的5a、5b、和运算中的合并同类项，背后的思想是一致的。
“数学思维蕴含在核心概念之中，”李雪峰说，“计数单位其实就是重要的核心概念，它们体现着数学最关键的部分。核心概念贯穿在整个学习的过程里，让孩子不断去加深认识和理解，从而也就加深了对数学的理解，获得一种基本的方法。”
作为一个没学明白的人，我一直很好奇，那些不需要靠刷题就拿高分的数学学霸到底是通过什么窍门学懂了数学。
寇奇是北京一家儿童教育机构的创始人。他的机构主推“问题式学习”（PBL）。有的孩子看到冬天公园流浪猫的水碗里结了冰，想设计一个不结冰的饮水装置。他们就带着孩子们一起做。有的孩子好奇“奥特曼和核弹到底谁厉害”，他们就引导孩子寻找比较两者实力的办法。当然，这些问题背后，都有数学。
寇奇是典型的海淀娃，妈妈是典型的海淀妈。小学的时候，寇奇对数学的最深刻印象是他被送到巨人学校读奥数，全班40个人，他考了倒数第一，妈妈气得把他扔在大街上，自己回了家。初中，他在课外培训班遇到了一位特殊的老师。寇奇记得，第一节课，老师说，数学就是一根棉线。出题的人把棉线揉成一团，所谓解题就是找到棉线的一端，慢慢去整理，直到把另一端也找出来。别的老师一节课布置N道题，以量取胜。这位老师只布置一道题。题目很难。老师不讲，让大家自己做，可以互相讨论。他在课堂上巡视，学生也可以随时和他讨论。经过一段时间，寇奇的数学开了窍。从此以后的数学考试，寇奇都从最后一道大题做起。那种抽丝剥茧的感觉让他愉悦。
朱雯琪现在是牛津大学数学博士生。她15岁被牛津大学数学系录取，2019年，从牛津大学数学建模专业硕士毕业的时候，她是全年级的第一名。她的数学学习经历和绝大多数人都不同。
2004年，10岁的时候，因为“调皮”、不是好学生交不到朋友，朱雯琪经常旷课，于是干脆从小学退学了。在那以前，她的数学考过45分。朱雯琪对数学没有什么特殊的兴趣，只对一位三年级的时候短暂教过她的数学老师有好感。她曾经问这位老师：“到底什么是自然数？”老师回答：“自然中存在的数就是自然数。”朱雯琪说：“不对，我根本没有在自然里看到过数。”她又问：“如果这样说，那为什么负数不是自然数？银行账户上就有负数。”其实后来回忆起来，老师并没有能够解答她的疑问，但至少，她表现出了关注与赞赏。而过去，几乎所有数学老师都漠然对待她那些千奇百怪的问题。
朱雯琪的妈妈16岁考上科大少年班，走的是一条非常规的教育路径。爸爸是计算机博士。回家自学以后，他们以教学大纲为基础，安排朱雯琪的学习。但这种学，很多时候都不是在“教”。妈妈会给她找书和资料，告诉她这个东西不错，让她自己看。父母会和她一起天马行空地讨论一些问题。让朱雯琪印象很深的是，妈妈问她：“有一根棍子，你把它从中间截断，然后再从中间截断，一直这样截下去，你最后会得到0吗？”朱雯琪被这个问题迷住了，她隐约感到数学是与现实世界不同的精妙世界。
学圆的面积时，父母让她自己找办法去测量一个圆。朱雯琪想到可以用已经学过的图形去覆盖这个圆。正方形能够覆盖大部分区域，但覆盖不了的地方还很大。于是就会想到用正N边形去覆盖，当这个N越大的时候，这个N边形就会越接近完全覆盖这个圆。而把这个N边形的每个顶点和圆心相连，就能够把它切割成N个完全相同的三角形。通过计算这些三角形的面积就能得到圆的面积。这正是微积分的思想。
父母又会问朱雯琪，还有什么其他方法也可以获得圆的面积？如果一个图形很不规则，像个乌龟，那该怎么算呢？父母告诉她，古人会用撒豆子的方式。撒下一把豆子，计算单位面积内豆子的数量。那么就可以用数豆子数的方式来估算任何一种形状的面积。这个问题的背后是统计学的思想与原理。
还有一次，爸爸兴致来了，给朱雯琪讲了他很喜欢的拉格朗日中值定理。这是微分学中的基本定理之一。爸爸一边讲一边写，写了十多页稿纸。讲完，朱雯琪只听懂了一小部分。爸爸看她不懂，也觉得内容太深，不必细究。但朱雯琪被爸爸的讲解过程震撼了，就开始按自己的理解重新推导证明过程。每天，她都把已经推导出来的部分给爸爸看。爸爸只说对不对，不会告诉她应该怎么样。她连续写了30多天，终于把证明过程完整地写了出来。接下来的几天，朱雯琪又重新写了好几次。她觉得这太有意思了，就像一场通关游戏。
在寇奇和朱雯琪的经历里，我感到，他们学好数学的关键是愿不愿“想”，会不会“想”。
数学特级教师、北京赫德学校初中部学术校长胡赵云经常到全国各地和老师们交流，他常常问老师们一个问题：“数学和语文一样吗？”老师们肯定会说：“当然不一样？”他又问：“那你们的数学课和语文课上得一样吗？”有人会领悟到：“想想还真差不多。”“大多数学校的所有课都是一个模板：给一个导学案，然后让学生根据导学案去看课本，看完以后把概念原理法则抄下来，看看是否记住了。”
导学单会让胡赵云想到自己刚当老师的那些年。那时候，大家都强调培养学生的自学能力。于是，胡赵云每节课都要求学生预习。他兢兢业业刻钢板，给学生印预习题。他考虑，通过让学生阅读课本和做预习题，学会自己提炼出课本里核心的数学知识和内容。学生记住了这些知识，能够用来正确解题，那么就可以认为他们已经掌握这些知识。可是时间一长，他感到，学生的数学学得“不对”：他们能够讲出课本里的结论，但答不上来为什么得出来这样的结论。一旦遇到新的问题，就无从下手。
胡赵云看来，导学单和预习题的本质都在用“阅读的方式”学数学，通过阅读而学到的数学，学的是数学的知识、概念、原理，而不是推理、逻辑、模型这些思维方式。要学会思考，只能通过不断的思考来实现。
有一类常见的数学题：A、B两位工人一起刷墙。如果A单独工作，5小时可以完工。如果B单独工作，3小时可以完工。问：A和B一起工作，几小时可以完工？
胡赵云观察，一般老师们遵循这样的思路：A工人5小时完工，说明他一小时可以做1/5的工作。同理，B一小时可以做1/3的工作。1/5加上1/3等于8/15，那么1除以8/15就是答案。“在实际的教学里面，要让小学生都能想明白这套逻辑，其实是很难的。于是，在一些教培机构里，就会让孩子们记住一个套路：（5+3）÷（5×3）。以后有同样的题目就照着这个办法做。”
有一次，胡赵云看到了一个国外老师的教学视频，对他的触动很大。视频里，老师问孩子这道题怎么做。有小孩回答：两个人一起做，3+5=8，所以要8小时。这是孩子的直觉。但很快就有孩子提出来，这个答案不对，因为两个人一起干活，怎么可能比一个人还干得慢？
有孩子说，那就取平均数：（3+5）÷2=4。再想想，孩子们又发现不对了：B一个人干活3小时可以完工，怎么有了A的帮助，他还变慢了呢？
接下来，老师引导孩子们继续思考：A工人5小时刷完一面墙，10小时就可以刷完两面墙，15小时刷完3面。B工人3小时刷完1面，6小时刷完2面……15小时刷完5面。在15个小时内，A和B一共刷完了8面墙，那么他们刷完一面墙的时间就是15÷8。
“从表面上看，这样的教学，效率降低了，”胡赵云说，“但实际上，这道题目的讲解是让孩子们从已有的能力出发，让他们通过思考找到一条通往下一个层次知识的路径。在这个思考的过程里，他们不断地提出想法，又发现问题，进行修正。他们从中获得的思维能力和智慧，远远超过老师直接教授一个方法。积累了这样的训练，当他们遇到一个新的问题，他们会懂得如何找答案，如何判断自己的方向正确与否。”
数学学习是一种经验的积累。南京师范大学附属小学数学特级教师贲友林喜欢把一个班的孩子从一年级一直带到六年级。这样教孩子，“一开始会很累，但到后面会越来越轻松”。一开始的“累”是因为要把孩子们带入思考的大门是不容易的。
要让学生掌握正确的思维方法，建立良好的思维习惯，需要老师细致入微的教学设计。
小学一年级有一节课是讲“2+4=6”。教材用一幅画来引导孩子，画上有几个男孩女孩在植树。一般来说，老师可以直接描述图上的内容：这几个小朋友种了2棵树，另外几个小朋友种了4棵树，请问他们一共种了几棵树？贲友林则是花了大量时间让孩子们用“三句话”（两个条件与一个问题）说说他们看到了什么。为什么要这样做？一次，一个孩子说：“先来了4个小朋友，又来了2个小朋友，一共种了多少棵树？”
这个孩子犯的错误，其实正是这个阶段学生对数学问题条件与问题应有联系缺乏认识的真实体现。因为还没有经过学科学习以及训练，孩子们就是用自然语言说出自己所看到的，教学，就是让学生慢慢实现从自然语言到学科语言的过渡。
“学习过程中，一些问题的答案，对于教师来说，就是一句话的事，但对于学生而言，却需要一段时间的思与悟。教师，倘若满怀‘好心’说出来，恰恰‘坏’了学生学习的事。”贲友林指出，“蚕蛹破茧而出，都要经历一番痛苦。如果用剪刀剪破茧壳使之早点出来，结果是帮了倒忙。”
鸡兔同笼的问题在几个版本的小学数学教材中都出现在高年级。而在贲友林的班上，对这样一道题目，他至少要讲2次。第一次是在二年级。
在低年级讲鸡兔同笼，贲友林的核心目的只有一个：让孩子们不惧怕思考，建立思考的信心。对于二年级的孩子来说，鸡兔同笼是很难的题目，但其实他们已经具备了解答这道题的最基本的数学能力，那就是两位数乘法。孩子们想到的主要办法之一是画图，把鸡和兔子一只只画出来。
其实，这里面老师也有功夫可做。孩子们画的鸡和兔子是非常具体的。他们会画上眼睛、翅膀、耳朵……这个时候贲友林会引导他们思考，数学的画图和美术画图是有区别的。数学的画图只关注和问题有关的条件。于是，鸡可以画成一个圈加两条线段，兔子可以画成一个圈加四条线段。这也是数学的抽象。
二年级的这堂课结束的时候，贲友林会问孩子：这个问题为什么要叫鸡兔同笼？孩子们都知道：“因为鸡和兔关在一个笼子里。”贲友林留下来了一个问题：“鸡兔同笼在书里已经有1000多年了，为什么我们要把鸡兔一起关那么长时间呢？”
小学六年级的时候，贲友林会重新讲这道题。这一次，他会请孩子想出尽可能多的解题方法。这些五花八门的解题方法呈现在课堂上之后，贲友林会让孩子们思考，它们之间的共性是什么，有什么联系。“孩子们最终意识到，他们用的这些方法其实都源自一种假设的思想。”
获得这个最终的答案为什么要经历这样漫长的旅程？“当我们直接在教学中告诉孩子，假设笼子里全是鸡或者全是兔的时候，很多孩子会说：‘老师，你很高明，这个办法很好，可是，你是怎么想到这个办法的呢？’”贲友林说，“要真正地学会思考，一定得让孩子们亲身经历从一到多、从多到一过程。”
数学的思考应该从何开始，又走向何处？胡赵云告诉我，早年，数学教学强调结果性的知识，后来开始重视过程性的知识，也就是说，学生不仅应当知道一条定理，还应该知道定理是如何证明出来的。但他认为，这样的思考还是不够。“以证明三角形内角和为180度为例。我们可以教给孩子，让他们明白要添一条辅助线，如何一步一步证明，得到这个结论。但真正关键的问题是：怎样想到在这里要画一条辅助线？为什么会画平行的辅助线？数学教师能引导孩子想出这些，孩子们才可能发展解决其他问题的能力。”
2017年胡赵云辞去在公立中学的职位，进入上海赫德学校。他希望在没有压力的环境下，尝试一种“发现数学”的教育方式。
上数学课前，学生会得到一份学习单。里面有几个板块，分别是“我知道”“我思考”“我发现”“我提问”。在“我知道”部分，设计的问题是为了回顾过往的学习和学生已有的认知，为研究新问题做准备；“我思考”部分，是一系列层层深入的情境与问题，启发学生自主研究和探索；在“我发现”部分则要求学生尝试回答自己研究发现的观点。这时，孩子形成了个体理解的数学。在课堂上，老师的任务是组织学生以小组的方式，分主题一个个地讨论，通过分享、讨论、质疑、修正逐步形成了共同理解的数学，基本就是课本上的数学。每一个单元上完，学生还需要编制自己的认知结构图，给爸爸妈妈讲数学课，写数学文章。“一个孩子如果能把别人讲懂了，他也就真的懂了。”
比如学习平行四边形，学生需要先回顾：关于三角形，你研究了哪些方面的内容？怎么研究的？关于等腰三角形，你研究了哪些方面的内容？等腰三角形的性质是如何研究发现的？
接着，学生需要思考：仿照三角形研究的内容，猜想四边形会研究哪些内容？仿照等腰三角形，平行四边形又会研究什么？如何研究？然后学生会尝试总结平行四边形的定义、性质定理、判定定理。最后学生要写上在这个研究过程里，他们感兴趣的问题是什么。
“学生通过自己的讨论发现，形成了整个数学的概念、原理、法则，然后再通过认知结构图、讲数学、写数学文章等方式，内化成这一个单元或这一章学习的数学，形成经验、积累方法，这是我们基本的课堂教学方式，”胡赵云说，“教师的工作就是让学生感到数学是他们自己研究发现的。关键是要教会孩子思考数学的方法，让孩子真正地经历思考数学的过程，形成思考数学的能力，孩子真的就会发现数学了。”
这日复一日的思考中，有苦有甜，有成功有失败，但不思考，也就无法体悟数学的魅力。上海赫德的第一届初一学生入学的时候，很多学生的基础都弱。家长曾经有很多顾虑。数学课程内容和常规课程差别大。孩子做的题也不一样。家长辅导不了，网上找不到正确答案。他们到学校找到胡赵云，问：这样下去，孩子中考的话能比得过其他学校吗？胡赵云回答，现在肯定考不过，将来不一定。后来这届孩子毕业进入高中，高中老师普遍反映孩子们明显表现出了较强的数学能力。
让胡赵云印象特别深刻的是，学校鼓励孩子写数学文章，有个孩子一写写到半夜，父母叫睡觉都叫不动。有个孩子的一个主题的数学文章写了3万字，分了上中下三篇。还有一个女孩，刚入学的时候因为小学数学成绩差，父母表达过这样的想法：来这个学校，是希望孩子能够开开心心，他们知道孩子数学基础不好，以后也不会让她去搞数学。不到一年以后，女孩对他说：“爸爸，我将来一定要考数学系。”这让胡赵云很欣慰：“不管她将来是否能考数学系，这句话至少表明，她对数学不会像小学那样感到恐惧了。”
每次上数学课，贲友林也会给他教授的小学的孩子们发放一份“小研究”，让他们提前思考：我会做这道题吗？我的分析和解答是什么？我尝试了什么？解决这个问题，我的体会和疑问是什么？我如果要编一道类似的题，会怎么编？我有什么新的发现？
6年的时间，在这样的思考中成长，足以让孩子们对所学的知识产生许多奇妙的想法。六年级，一个孩子在研究鸡兔同笼后写下了一句话：“鸡兔同笼问题不是字面上的鸡和兔，还有许多。”复习平面图形的面积的时候，孩子们突然感慨，所有图形的面积其实都可以视作单位面积小方块的堆积，所有的面积公式都有乘法，“面积”之所以有个“积”字果然有它的道理。
有时候，孩子们会自己写小研究。一个孩子提出了一个问题：三加四等于五吗？他发现，假设一个楼梯形高为3，底边为4，周长就是（3+4）×2=14。阶梯部分的长度和其实就是为3+4=7。如果把这个楼梯的每个阶梯都分成两个，楼梯形的周长并不会变。如果不断地分下去，它就会变成一个无限接近三角形的图形。问题出现了：楼梯形的周长不变，无数个阶梯的长度和依然为3+4=7。而通过勾股定理可知，这个楼梯形无限接近的三角形的斜边长为5。3+4到底等于7还是5？这个孩子总结说，出现这样的悖论是因为，楼梯形状的无论如何都不能变成一条真正的直线。（如下图）
贲友林把收到这样一份研究称作一场“狂欢”。但他并没有和孩子讲解这个发现背后更深层次的数学问题。他说，教学中有留白的艺术。教师并不一定要即时解决孩子的一切疑惑。让他们带着些许问题走上未来的数学之路，未尝不是一种更好的选择。
从牛津数学系本科毕业后，朱雯琪进入金融行业工作。2017年，因为工作需要，她查阅金融数学的论文，数学这门学科又重新回到了她的生活里。有一段时间，因为工作压力很大，朱雯琪经常在家里哭。一次，她正在抹眼泪，看到桌子上的草稿纸和她解了一半的几道数学题，突然间感到有了思路。她捡起题目开始做，内心的沮丧和不安瞬间被抛诸脑后，整个人沉浸在了一种心流状态里。此后的两年，她白天上班，晚上9点以后开始学习数学，直到夜里一两点。
2019年，朱雯琪拿到了牛津大学数学系硕士学位。她决定辞去收入丰厚的工作，留在大学，从事数学优化的研究。在数学面前，她还是当年那个对“折小棍”背后的奥秘好奇不已的小女孩。“我没有太多宏大的理想，数学对我来说是一个自成一体、充满乐趣的大型游戏。生命是有限的，夜以继日地凋零，但当我将它投入到数学这场无穷无尽的游戏中时，我觉得自己不再会害怕衰老和有限，在数学面前，我永远是一个小学生。”
在电视剧《天才基本法》里，热爱数学的学校会计林兆生，坐在星空下的红薯地里，和孩子们说起数学起源自何处，古人如何用数学理解未知的宇宙。他说，数学的妙处就是在遇到困难的时候放弃复杂的工具，用突破性的思维解决问题，就像一个人，拥有了用小木棍斗恶龙的勇气和能力。
2019年，寇奇回到北京，和一些同样毕业于藤校的伙伴一起，开办自己的教育企业的时候，这个“冒险”的决定遭遇了来自父母的强烈反对。在拿到第一笔投资之前，团队成员“吃了几个月的酱拌饭”。很快，“新冠”来了，“双减”也来了。我和寇奇在一间用作“仓库”的办公室里聊天。四面堆满了各种材料，是用来制作各种教具的。我问寇奇，数学对他产生了什么影响。他环顾四周笑了：“我现在每天都有很多的问题需要处理，我想要做的事情找不到一个业已存在的模板可供复制。可我总会想，既然我曾经想出过那么多难题，兴许我也可以搞定这一个。”
今年6月，小学毕业考试的前一天，贲友林上了他带的班级从一年级到六年级的最后一节数学课。这节课讲什么？他考虑再三。
3月的时候，贲友林教“图形的放大与缩小”。将一个长方形放大或者缩小，新长方形的长宽比应和原长方形的长宽比一致。课上，贲友林举了一个例子。他将一张A4纸对折，问学生是否为“缩小”。对折后，A4纸的长由a变成了½ a，宽为b不变。因此不符合缩小的定义。如果把对折的A4纸再对折一边，长变成了½ a，宽变成了½ b，新的长方形的长宽比还是a/b，和原长方形一致，因此才能说，新的长方形是原有长方形按1∶2缩小得来的。
课堂上，孩子们很快得出了“正确”的结论。可是课后没两天，学生何知远给贲友林交来了一份“小研究”。他指出，根据他查到的资料，A类纸张根据大小不同有A0到A8共8种。A0纸张尺寸为841毫米×1189毫米，将A0纸张对折产生的就是A1纸（594毫米×841毫米），再对折就是A2纸，以此类推。然而，这些纸张的长方形有一个非常特殊的地方，那就是它们的长和宽之比为√2∶1。假设原长方形的长为√2，宽为1，那么对折后新的长方形长变成了1（原来的宽），宽变成了½√2 。在新的长方形内，长和宽的比仍然还是√2∶1，符合缩小的定义。
在最后一节数学课上，贲友林分享了这份“小研究”，感谢何知远指出了自己的错误。他说，他一直想着要讲这件事，但是疫情让课堂变成了线上教学，这件事就拖了下来。最终，他决定“把这个问题留在我们小学数学的最后一堂课来讲”。“同学们，数学要我们学会什么呀？”贲友林问。孩子们稚气未脱的声音在教室里响起：“求真。”贲友林转身，在黑板上写下了这两个字。
（参考书籍：史宁中主编，《基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题》） 数学