数学猜想的缘起、作用与危机

我非数学科班出身，对数学的了解仅仅限于化学系大一的《普通高等数学》的启蒙知识，照说我是没有资格谈论数学猜想这样高深的学问。但是，作为一个教育工作者，我只是想从教育的角度，回顾数学猜想发展的简况，也许能够说明人才培养的的重要性。

什么是数学？这是一个涵盖十分广泛的概念，要给数学下一个永恒的定义，几乎是不可能的。数学是随着时代的变迁而变化的，因此行家们认为，只能从历史的角度说明什么是数学的问题。公元前6世纪时，数学主要是关于数的研究，主要是计数。关于数学的定义，多得不胜枚举，但比较认同的是19世纪恩格斯给出的定义，即“数学是研究现实空间形式与数量关系的科学”。

数学猜想的缘起

在人类尚处于蒙昧状态下，他们对于自己生存的地球、宇宙和自身的认识，都是从猜想或者假设出发的。广义上说，一切科学都需要假设，但数学猜想可能是其独特的现象，因为它们是不能通过实验予以证明的假设，而是纯数学的演算，也即思维活动的推理。

数学猜想究竟是怎么出现的呢？从科学史发展来看，数学猜想与数学产生是密切相联系的，它们几乎是同时出现的。第一个数学猜想是公元前3世纪的欧式第五公设想，它是由古希腊数学家、几何学之父欧几里得（Ouclid，公元前330-前275）提出的，这一猜想产生了非欧式几何理论。

数学猜想的缘起，大致有三个因素：第一是好奇心，许多数学猜想大都与“数”有关，它是数学起源之一。毕达哥拉斯是公元前6世纪古希腊的哲学家、数学家，毕达哥拉斯主义的创立者。他认为数理解世界上的一切事物，反映了他对数的好奇、痴迷与崇拜。在数学界，富有好奇心与怪癖的数学家比比皆是，正是这些特点，使他们登上一座又一座的数学顶峰。

第二是兴趣与爱好，这使他们执着地去专研数学，以超级想象力和洞察力提出诱惑数学家或数学爱好者去求证的猜想。皮耶·德·费马是17世纪法国业余数学家，他的主业是律师，在业余时间他全部精力都投入到数学之中，被称为业余数学玩家。他最喜欢的是古希腊数学家丢番图的《算术》一书，不仅看而且还在空白处留下了大量的评注。1637年，他提出了一个被称为费马大定律的数学猜想，它是留在《算术》空白处的一条评注：“不可能将一个立方数写成两个立方数之和，或者将一个四次幂写成两个四次幂之和。总的来说，不可能将一个n=2次幂写成两个同样次幂的和。我有一个对这个命题的十分美妙的证明，这里空白太小，写不下。”

他死后，儿子用5年的时间整理和出版了带有他评注的《算术》这本书，结果他的评注很快引起了数学界的广泛关注，而且纷纷投入到求证这一猜想之中。这是一个接力的数学求证，在数百年期间，证明的高潮迭起，传奇不断，真真假假。功夫不负有心人，在经过了358年以后，这道耗费了十代数学家精力的数学难题，终于在1994年由美国普林斯顿高等研究院安德鲁·怀尔斯（英国人）获得完全证明。信息传出后，美国《纽约时报》在头版报道称：“终于欢呼：我发现了！永久数学之谜获解。”

第三，应用催生出数学猜想。从创造学的角度来看，引起创造的动因是多方面的，其中出于应用目的的发明创造多得不胜枚举，例如电脑、手机、汽车、火车、直升飞机、核潜艇、导弹、宇宙飞船、机器人，等等。在诸多的数学猜想中，四色定理的提出，就是典型的出于应用的目的。英国数学家弗朗西斯·格斯里（Francis Guthrie），于1852年从伦敦大学毕业，来到一个科研单位搞地图着色工作，他发现每张地图都可以只用四种颜色，这个现象能否从数学上予以证明？这就是四色定理（或猜想）最初的提出。

他就这个问题与其在伦敦大学学习的弟弟讨论，但无法解决。随后，他们又先后向多位著名的数学家请教，这些教授认真地研究了他的问题，但也不能给予证明。于是，1872年，他们将这一问题正式提到伦敦数学学会上，这就成了世界关注的数学难题，许多著名的数学家纷纷参与了四色定理证明的大会战。在此后的两年中，有几位数学家发表提交论文，宣布证明了四色定理，但经过其他人核实，他们并没有证明，并且指出了他们求证中的漏洞。

时隔124年以后，即1976年美国伊利诺大学的沃尔夫·哈肯（W·Haken，1928-）和凯尼斯·阿佩尔（K·Appel，1932-），借用电子计算机的帮助，用了1200个小时编制了一个程序，最终完成了四色定理的证明。为此，他们荣获了由美国数学学会颁发的富尔克森奖。

数学猜想的作用

数学的发展与数学猜想是互相紧密联系在一起的，数学猜想源于数学的诞生，没有数学猜想就不可能使数学得到蓬勃的发展。夏茹冰先生是中国著名的楹联专家，他于上世纪80年代中期撰写一副对联：“水尝无华，相荡方现涟漪;石本无火，相击而发灵光。”数学猜想就像是一块石头，将它抛向静静的水面，就会荡起涟漪;将它们互相碰撞，就会发出灵光。我们试想，假如没有数学猜想，那么数学就会显得毫无生气。

纵观数学猜想发展的历史，它们在数学发展史上的作用，大致有三个方面：首先是丰富了数学学科的内容，促进了数学分支学科的诞生。20世纪是数学飞速发展的时期，特别是后50年，数学知识出现了爆炸式的增长，大量的重大问题得到了解决或取得了突破性的进展。据知，数学已经发展到拥有26个分支学科，其中大部分都是在证明数学猜想中诞生的。如今，在人类所有知识中，数学成为最难懂和博大精深的一门学问，惟有抽象思维能力极强，耐得住寂寞和具有坚韧不拔的精神的人，才能够从事数学的学习与研究。

其次，催生出了一大批最杰出的数学家。数学猜想是从假设到求证的漫长求索过程，是一个数学接力赛跑，是马拉松式的思维竞赛。从哲学上来看，是一个否定之否定的漫长过程。用恩格斯的话来说：“在科学上没有平坦的大道，只有不畏艰苦，沿着陡峭山路攀登的人，才能达到光辉的顶点。”数学猜想就是一座长满荆棘的陡峭的悬崖，没有热爱数学的初心，没有坚如磐石的毅力，是难以坚持到底的。

在求证数学猜想的过程中，参与的国家有中国、法国、德国、英国、美国、瑞士、俄罗斯、匈牙利、印度、葡萄牙等，这是一个国际数学猜想的大联盟，数学群英大会战。就数学家个人来看，我们可以列出一大串名字，如毕达哥拉斯、欧几里得、费马、高斯、欧拉、希尔伯特、魏尔斯 、特拉斯、怀尔斯、格罗斯、哈肯、阿佩尔、罗巴切夫斯基、佩雷尔曼，等等。在数学猜想的大军中，不乏中国人（包括美籍华裔）的身影，如陈省身、丘成桐、陈景润、柯召、孙琦、张益唐等数学家。中国作为世界五大数学大国之一，在提出与证明数学猜想中，做出了应有的贡献。尤其是，陈景润院士经过20多年的潜心研究，于1973年发表论文，完成了哥德巴赫猜想的1+2证明，因而被世界数学界公认，并冠以“陈式定理”。哥德巴赫猜想是德国数学家哥德巴赫于1742年提出的，271年后于2013年 ，法国高师的研究员哈罗德和贺欧夫发表了两篇论文，宣布彻底证明了哥德巴赫猜想。至此，世界公认的三大数学猜想的证明，即哥德巴赫、费马大定理和四色定理就此都画上了句号。引以自豪的是，在证明这三大定理中，中国数学家贡献了一己之力。

再次，激励了千千万万的青少年们热爱数学，勇攀数学高峰。在数学界早就流传一句美丽的箴言：“数学是自然科学的皇后，数论是皇冠，数学猜想是皇冠上的明珠。”多么美丽的箴言！听到这些美丽的箴言，没有一个不跃跃欲试的，谁不想去摘取那皇冠上的明珠呢？

我清楚地记得，著名的报告文学大师徐迟先生关于《哥德巴赫猜想》的一篇杰作，它就像是文学领域里的“一声春雷”，预示着文学与科学的春天已经到来了。这篇报告文学有16000多字，文情并茂，青少年们非常喜欢阅读。编辑部一再加印，但仍不能满足读者需求，那时复印机尚没有普及，大学生们不得不手抄传阅，盛况空前。

这股热潮从文学迅速转向数学领域，不少数学家、业余数学爱好者和青少年们都跃跃欲试，参与哥德巴赫的猜想之中。我身处那股热潮之中，几乎每天都收到读者的信件，他们都宣布证明或部分证明了某个数学猜想，真有千军万马争过“猜想”桥之势。苏步青院士是我国数学界的大师，他对我说：“现在数学热是好事，但数学猜想有点热过了头，有一些人搞数学猜想就够了，做学问需要冷环境，不能一哄而起。”

对于挚爱数学的人来说，摘取皇冠上的明珠，是他们人生价值的体现。英国数学家安德鲁·怀尔斯天资过人，他在10岁的时候，对费马大定理就产生了浓厚的兴趣，所以他选择了数学作为自己的终身职业，1974年毕业于牛津大学沃顿学院，1977年获得剑桥大学博士学位，1981年到美国普林斯顿高等研究院任研究员。他从1986年开始向费马大定理冲刺，在7年的时间里足不出户，成为一个隐身人，最终于1993年宣布证明了费马大定理。为此，他获得了菲尔茨特别银质奖章、沃尔夫奖和阿贝尔奖。

数学猜想的危机

统计几百年间的数学猜想的数目，是一个十分困难的问题，见仁见智，莫衷一是。如果勉强地清数一下，迄今为止，全世界总共提出数学猜想60个。其中，17世纪是3个，18世纪是7个，19世纪是10个，20世纪是40个。经过初步验证，肯定的30个，否定的是5个，没有定论的是25个。由此看出，无论是提出或是证明数学猜想，20世纪都是高峰时期，这与20世纪是科学发明创造成果丰硕时期相一致。21世纪已经过去快四分之一的时间了，虽然数学猜想证明还在继续进行，但提出数学猜想的人似乎不再有了。这意味着什么呢？我以为，预示着数学猜想面临着严峻的危机，这并非是偶然的，它与当今天才绝灭的现象是一致的。

为什么会出现这种现象呢？我认为，不是人类的遗传基因退化了，总的来说人类的智能尚处于不断进化之中，但环境改变了，影响了人们的智慧的发挥。我们正处于一个极度浮躁、功利化和金钱万能的时代，几乎没有人安贫乐道，也再没有皓首穷经的学痴了。提出一个深奥的数学猜想，需要有超越现实的想象力，需要有穿透时空的洞察力，需要有超强的顿悟与贯通能力。没有了这一切，就不可能提出让人们跨越几世纪才能证明的思想猜想。

看似无用的纯科学停滞了，但高新技术却突飞猛进，其区别是前者无利可图，而后者能够暴富。据报道，英国剑桥大学研究团队研发出了一台拉马努金机（Ramanujian Machine），他们通过人工智能和大量的计算机自动化来模仿“靠直觉来生成没有证明的数学猜想”。过去，仅仅靠数学天才提出数学猜想，这就是为什么数百年间只提出了几十个猜想公式的原因。与此同时，美国普林斯顿大学数学教授费特洛维茨已经编制出一套程序，可以在数学图论中提出多种数学猜想。由他编制的Graffiti程序，很容易提出几千种猜想。因此，他颇有体会地说：“发现好的猜想，确切地说就是完成一半工作。”

总的来说，无论是拉马努金机或是Graffiti程序，是值得肯定的，毕竟它们使得数学猜想或证明多了一种选择。但是，我认为机器和程序不能完全替代数学家提出的猜想，也不能替代数学家孜孜以求的证明。科学研究重在过程，试问：机器能够享受到求证过程中的乐趣吗？机器能够形成数学学科分支吗？机器能够培养出诸如费马、哥德巴赫、高斯、欧拉、希尔百特、怀尔斯、陈景润等这样的数学家吗？机器能够代替以天才为中心形成的数学学派吗？看来，它们都不能，所以从教育的角度，我们还必须重视数学杰出人才的培养，而且需要从幼儿开始，让他们成为新知识的探索者！

英国天才理论物理学家史蒂芬·霍金在逝世前，曾经预言，人工智能将会制造出“超人”，他们将毁灭人类。虽然人工智能具有强大的计算能力、记忆力，甚至也有思维与情感，但它们毕竟是人研制出来的。人是有理性和道德底线的，而机器没有。因此，一旦人工智能威胁到人类的生命时，制造它们的人就会将其摧毁。所以，对于“超人”我是持谨慎的乐观的态度。但是，我对提出与证明深奥的数学猜想数学家的缺失，却是担心的，未雨绸缪，提出应有的措施才是万全之策！

（责任编辑 刘第红）