理解数学本质 优化习题设计

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：“习题的设计要关注数学的本质，关注通性通法。”“勇于探索一些开放性的、非常规的实际问题与数学问题。”开放性习题是学生核心素养的培养载体，对于促使学生用创新和辩证的思维去解决实际问题具有重要价值。

开放性习题通常分为条件开放、结论开放和解题策略开放三种类型。结论开放习题可以分为侧重于巩固练习的迁移性习题和侧重于综合运用的研究性习题。本文在此主要对研究性习题进行探析研究。

一、开放性习题设计应基于对数学知识本质的理解

开放性习题的设计要充分考虑所学章节知识的本质，注重知识的整体性与知识间的逻辑联系，了解该部分知识点所承载的数学思维。数学是一个系统整体，知识点之间存在本质的联系。

比如，为使学生体会“方程是刻画生活中不同量之间等量关系的数学模型”的数学本质，在《一元一次方程解应用题》章节可以设置如下开放性习题：请以你的年龄为方程的解，编写一道年龄类的应用题;到某商场了解打折销售的情况，自己编写一道可以用方程解答的应用题;给定方程3X+4（X+2）=64，联系生活实际编写一道数学习题……再如，为使学生理解“函数是两个变量之间的对应关系”的数学本质，在《一次函数的应用》章节可以设计“寻找生活的一次函数模型”这个开放性习题;在《二次函数的应用》章节可以借助滑雪运动员运动的路线、喷泉的水流、标枪的投掷、抛物线形的拱桥、球类的空中路线等编制一些迁移性习题。

这样的开放性习题设计，既突出了学科知识的本质，又体现了学生思维的广度与深度，可以使学生体会到数学学科的价值及其蕴含的模型思想。

二、开放性习题设计应着眼于学生学科核心素养的提升

开放性习题素材的选取应贴近学生的生活现实或数学现实，使学生经历从现实中抽象出数学问题的完整过程，从中获得一些设计开放性习题的方法和经验，从而达到提升学科核心素养的目的。

比如，为树立学生的“数据观念”，我们可以设计“身边的概率与统计”研究项目，分析学生面对开放性问题的行为表现和所形成的最终作品，来评价其学科素养的具体表现。

再如，为提升学生的模型观念和应用意识，我们可以设计“设置一个遮阳篷”的研究性习题。在解决该问题的过程中，学生根据生活中实际图形抽象出几何图形后，就把实际问题转化成了数学问题，学习就有了一个思维支架。直角形的遮阳篷可以借助解直角三角形的面积来解决，圆形的遮阳篷可以借助圆的知识来解决，抛物线形的遮阳篷可以借助抛物线的知识来解决。

开放性习题的设计要有助于学科知识的迁移、运用和创新，要有对学习过程的建构性、真实性和过程性的评价。开放性习题测评的是学生在真实的、开放性的情境中表现出来的应用知识与技能的能力，测评的也是学生数学学科核心素养的发展水平。

三、梳理开放性习题设计流程，增强数学习题教学的实效性

在现行教学中存在开放性习题比较少、利用率不高的现象，其形成原因在于已有的开放性习题目标针对性不强、内容不甚科学、类型比较单一、问题难度不合理。为增强开放性习题的实效性，我们在设计习题的内容时需要考虑以下问题：本节知识涉及哪些思想方法？要培养学生哪些数学学科能力？本节知识与学生的生活现实、数学现实和其他学科现实有哪些关联？该开放性习题需要借助什么样的现实情境来呈现？所借助的问题情境是否客观存在？提供的数据是否可信且有实际含义？等等。

同时，在引领学生解决开放性习题时要考虑以下问题：这个开放性习题考查了哪些知识点？如何根据题目所给的信息找出问题的解题思路？这个题目是否还有其他的方法和更好的解决方案？能否结合案例归纳出探究此类数学问题的一般方法？等等。

在开放性习题展开过程中，教师引导模式可以分为六个阶段：呈现问题情境、引领建构问题、启发独立思考、组织协作学习、总结研究成果和提升促进迁移。相对应的学生学习模式也可以分为六个步骤：进入情境、自主学习、独立思考、协作学习、巩固知识和学习迁移。

四、开放性习题教学应选用探究式、参与式和互动式等教学方式

学生对开放性习题的解答有利于展示不同认知风格学生的学习成果。在教学时，我们要注重引导学生做到“解题思路自主探究，解题方法自主寻找，解题规律自主发现，数学问题自主解决”。匈牙利数学家波利亚说：“学生应该专心地、反复地并且从各个方面来考虑题目的主要部分。”

比如，“设计喷泉”就可以作为一个探究式开放性习题来进行。某公园准备修建一个半径为10米的圆形喷泉，设计标准是喷泉高度不能低于5米，喷出的水流不会溅到外面。请同学们设计一个符合要求的喷泉图案。围绕这个实际问题，我们可以让学生在合作交流中进行思考：这片空地的形状是什么样子？这片空地的大小是多少？修建的喷泉池的形状是什么样子？喷嘴的型号有没有具体要求？喷嘴安装在什么位置效果最好？喷泉水流的高度和喷射的距离有没有规定？通过对这六个问题的追问，学生对实际情境的模拟更全面，对实际问题的把握更精准。

这种探究式、参与式和互动式的教学方式可以使学生真切感受到开放性任务的结构性、层次性和趣味性，有利于学生积极参与、体验成功、获得发展，有利于学生思维的发展。

改进作业是落实“双减”政策的必然要求，开放性习题的设计就是提升作业质量的一种优化策略。回归学生思维起点的开放性习题设计，可以使数学知识回归于现实生活，可以给学生提供广阔的思维空间，从而培育学生的数学学科素养——这对于推进素质教育、提高教育教学质量都有着重要意义。