基于思维发展的单元复习课的实践与思考

摘 要 单元复习课根据教学功能定位不同可分为基于知识关联建构的基础复习课和重视技能思维发展的专题复习课。其教学设计应以情境探索为载体，问题思考为主线；以知识关联、方法建构为显性目的，以思维能力发展为隐性目的；重视整体有序设计，在情境问题中主动思考，实现知识、技能、思维的整体发展，并由具体的数学方法和策略的学习转向一般性思维策略的学习，实现“双减”背景下教学的提质增效。

关键词 情境问题 思维发展 单元复习 锐角三角函数

单元复习课在初中数学教学中有着重要的地位，起着促进知识、方法的整合与建构、思维能力的形成与提升作用。一节复习课的成功与否，关键在于学生的思维参与程度，知识是个体思维能动的产物，数学课堂是思维活动的舞台，数学单元复习课如何让学生的思维动起来、活起来，需要情境问题的诱发和引领。教师基于学生的认知结构和认知心理，设计指向学习最近发展区的问题情境，形成认知冲突，引发学生的主动思考，形成核心问题，通过递进、变式、类比、引申、逆变等方式，形成由浅入深、由点到面、由静态到动态的问题链，在问题的思考中使得学生的知识得以建构、方法得以梳理、思维得以发展，在系列的问题解决中不断地归纳、总结、反思，在经历“数学地思维”的过程实现“通过数学学会思维”的目的[1]。

单元复习课教学的指导思想是以问题思考为活动主线，以知识、方法建构为显性目的，以思维能力发展为隐性目的，注重整体有序设计，在问题思考中实现知识、技能、思维的整体发展。基于上述思考视角和指导思想，单元复习课的教学应遵循以下原则：

（1）情境化原则，重视情境“谋势”，产生认知冲突，关注问题生成；

（2）问题化原则，知识梳理问题化，方法建构问题化，思维发展问题化；

（3）基础性原则，基于学情，面向基础，重视灵活运用和通性通法的掌握；

（4）关联性原则，注重查缺补漏，关注知识内部关联和方法整合，实现意义建构；

（5）思想性原则，以道统术，由术明道，在问题解决中实现数学思想方法的统领与运用；

（6）发展性原则，重视学习过程、方法的审视与反思，关注由具体的数学方法和策略的学习转向一般性思维策略的发展。

根据教学的功能定位不同，单元复习课可分为以知识、方法的梳理和关联建构为核心的基础复习课和以技能、思维发展为核心的专题复习课[2]。前者注重回顾教材，强调基本知识梳理和基本方法归纳，借助问题的思考，串珠成链，知识关联，实现基于自我理解的知识、方法“从散到序、从厚到薄”的整体建构。后者注重问题解决，重视在解题技能训练基础上发展数学思维，形成问题解决的一般策略和思维方式，从现象到本质、求真尚简，由联系到深刻、追寻理性。本文以苏科版义务教育教科书《数学》九年级下册第七章《锐角三角函数》前后连贯的两节复习课的教学实践加以阐述。

一、基于知识关联的基础复习课

（一）教学定位

基于知识关联建构的复习课注重对基本知识、方法的梳理，在问题解决中进行自主整理、查缺补漏、温故知新，把零落在各课时的知识、方法串珠成链，形成基于自我理解的知识、方法体系的关联结构。通过知识方法的归类综合，实现知识、方法结构化、系统化[3]。锐角三角函数与全等三角形、相似三角形、勾股定理及函数思想相关联，体现的是基于相似形知识的直角三角形中边角的变化对应关系。本课时是本章第一节复习课，通过问题化思考，在对知识梳理过程中，实现知识、方法融合与关联建构。其教学基本定位如下：

1.通过情境问题的思考，重视用恰当、有序的数学语言描述、表达自己的观点和方法。形成基于自我理解的知识、方法的关联结构；

2.在问题的思考过程中形成计算“双直角三角形”问题的一般策略方法，体会数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想方法，并能用之解决实际问题。

（二）教学过程

1.问题思考 知识关联

问题1：如图1，直角三角形的一边被部分遮挡（无法直接度量，下同），如何求出被遮挡的三角形边长？

问题2：如图2，直角三角形的两边被部分遮挡，如何求出被遮挡的三角形边长？

问题3：如图3，直角三角形的三边被部分遮挡，你能求出被遮挡的三角形边长吗？

问题4：如果三角形的一边长为8，一个内角的度数为30°，你能否求出另外两边的长？

问题5：对于问题4，请添加一个适当的条件，画出图形并进行计算。

教学分析：本环节主要是借助对情境问题的发散式思考，引领学生主动地实现对知识的关联建构。通过对前三个问题的思考，在不同的解法对比中，学生可以完成直角三角形的三边关系、锐角关系和边角关系的回顾梳理，明确解直角三角形的必备条件。在对问题4的思考中，学生往往受思维定势的束缚，默认是直角三角形，得到错误答案，教师要及时追问，启发学生发现问题，形成问题5。在对问题5的探索中，要注重展示学生的思考和解答过程，在发散式思考中实现分类讨论、数形结合等思维能力提升。教学中要注重及时追问“你还有其它的计算方法吗？”“你为什么选择这种方法？”“你选择这种方法的依据是什么？”。在不断追问中，使学生的思维从模糊走向清晰、从孤立走向关联、从聚敛走向发散，从而建立起基于相似三角形、全等三角形、勾股定理及函数思想内部关联的知识结构（如图4），实现知识结构可视化、知识脉络清晰化和知识发展系统化。

2.问题探究 方法建构

问题6：如图5，在[△ABC]中，[∠A=30°，∠B=45°，AB=8]，你能求出另外两边的长吗？

问题7：如图6，在[△ABC]中，[∠A=30°，∠B=135°，AB=8]，你能求出另外两边的长吗？

问题8：如图7，在一笔直的海岸线上有[A、B]两个观测站，[A]在[B]的正西方向，[AB=2 km]，从[A]测得船[C]在北偏东56°的方向，从[B]测得船[C]在北偏西20°的方向，求船[C]离海岸线的距离（精确到[0.1 km]，其中[sin56° ≈ 0.83]，[cos56° ≈ 0.56]，[tan56° ≈ 1.48]，[sin20° ≈ 0.34]，[cos20° ≈ 0.94]，[tan20° ≈ 0.36]）。

问题9：如图8，小明在[A]处利用测角仪观测信号塔顶点[C]的仰角为30°，然后他沿着正对信号塔方向前进[50 m]到达[B]处，此时观测信号塔顶点[C]的仰角为45°。如果测角仪的高度忽略不计，那么信号塔[CD]的高度是多少？（结果保留根号）

教学分析：通过展示学生对问题5思考成果的梳理，从中抽取出“共边双直角三角形”基本模型，形成同侧共边和异侧共边两个基本图形。遵循从现实问题思考到数学问题讨论，再到现实问题解决的思维发展路径，从问题6到问题8、问题7到问题9形成问题链的引领与驱动。在具体问题解决中，通过添加辅助线实现化斜（斜三角形）为直（直角三角形）的转化，并利用方程实现“化未知为已知”的解决问题过程，发展学生的数学抽象、化归、建模等数学素养。在问题解决中，既要关注基本知识运用和基本方法提炼，也要注重数学思想领悟和理性批判反思，在经历知识生成过程中，实现数学思维能力的提升。

3.归纳反思 思维提升

问题10：通过本节课的学习，你对锐角三角函数有哪些新的认识？

问题11：锐角三角函数和相似三角形及全等三角形之间有怎样的关联？

问题12：锐角三角函数中的“函数”应如何理解？

教学分析：课堂小结的作用是让学生主动回顾、总结和反思，进一步实现对知识的关联建构，形成清晰、有序、发展的认知结构，同时实现对解决数学问题的基本方法提炼，形成通性、通法。通过三个系列问题，从整体回顾到两个局部知识关联的思考追问，引领学生再思考、再归纳、再发现。教学中要注重留给学生思考空间和展示舞台，从现象探寻本质、由孤立思考关联，使得数学的观念意识和思维方式在不断地思考中得以发展。

二、基于思维提升的专题复习课

（一）教学定位

数学教学既要注重知识的归纳与建构，也要注重解题方法、技能的融合与提升，还要注重在问题解决中对数学思想的理解与运用，更要注重在上述过程中发展学生的数学思维，以培养具有独立思考意识和能力的个体。数学思维是人脑和数学对象交互作用并按照人类一般思维规律认识数学本质和规律的理性活动。在实际的数学教学活动中，数学思维一般表现为如下四个层次：（1）具体问题的解题方法；（2）一般的数学思维方法；（3）数学推理、抽象和建模等发展与创新的方法；（4）运用数学理论研究对象的内在联系和运动规律的方法[4]。基于思维发展的数学单元复习课要在具体的问题解决中，在一题多解、一题多变、一图多换、多解归一的过程中掌握基本的解题策略和方法，从中领悟蕴含的数学思想方法，在注重发展数学推理、抽象和建模等数学核心素养的同时，关注联系和变化，注重反思与审视，达到自我调节与控制、思维辩证与批判，发展数学思维，培养理想精神。

本节课为本章第二节复习课，以课本中典型例题为基础，通过系列问题变式，在“一课一题”的探索中实现知识与方法的再建构，思考一般化的解题策略和方法，探寻问题解决规律和数学知识的内部关联。教学基本定位如下：

（1）能顺利实现实际问题向数学问题转化，并通过添加适当的辅助线构造直角三角形解决较为复杂的数学问题；

（2）掌握由直角三角形直接求解和根据“算两次”列方程求解的基本方法，能结合题目特点和要求选择合适的解题方法；

（3）在问题思考中体会解题方法的共性与个性的辩证统一，体会“特殊与一般”“转化与化归”等数学思想方法，在归纳与反思中实现“通过数学学会思维”的目的。

（二）教学过程

1.例题回顾 明晰解法

问题1：如图9，小明在[A]处利用测角仪观测气球C的仰角为[27°]，然后他沿着正对气球的方向前进[50 m]，观测气球C的仰角为[40°]。如果测角仪的高度为[1 m]，那么气球的高度是多少？（精确到0.1 m）

问题2：如图10，小明在[A]处利用测角仪观测气球C的仰角为[α]，然后他沿着正对气球的方向前进[a m]，观测气球C的仰角为[β]。如果测角仪的高度忽略不计，那么气球的高度是多少？（结果用[a、α、β]表示）

教学分析：问题1是教材中的典型例题，也是上节课问题9的延续，由于图中给出的两个直角三角形缺少必要条件，无法直接计算，所以常通过“算两次”的方法列方程进行求解。具体如下，设[CD=x]，在[Rt△BCD]中，[BD=CDtan∠CBD=xtan40°]；在[Rt△ACD]中，[AD=CDtanA=xtan27°]，故[BD=xtan27°-50]，得到两种不同的方法表示[BD]长，故可得方程[xtan27°-50=xtan40°]，即可求解（类似的，也可用两种不同的方法表示[AD]或[CD]长，从而列出不同的方程）。

问题2则是对问题1的一般化拓展，在一般化的思考中，以完成对“算两次”列方程的本质理解，实现对解决此类问题“通性、通法”的掌握。

2.问题变式 灵活运用

问题3：如图11，小明利用测角仪在[A]处观测气球C的仰角为[30°]，然后他沿着正对气球的方向前进[50 m]到达[B]处，观测气球C的仰角为[45°]。如果测角仪的高度忽略不计，那么气球的高度是多少？（结果保留根号）

问题4：如图12，小明利用测角仪在[A]处观测气球C的仰角为[30°]，然后他沿着正对气球的方向前进[50 m]到达[B]处，观测气球C的仰角为[75°]。如果测角仪的高度忽略不计，那么气球的高度是多少？（结果保留根号）

教学分析：问题3是问题1的图形变式，由“同侧共边直角三角形”拓展到“异侧共边直角三角形”。

问题4是问题1的数量变式，由于题目要求“结果保留根号”，条件中给出的角并不都是特殊角，运用“算两次”构造方程求出的结果不符合要求（需要用计算器求[75°]的三角函数值），故要结合特殊角通过添加适当辅助线构造直角三角形，如图12所示依次解[Rt△ABE]、[Rt△BCE]和[Rt△ACD]即可求解，这也为问题1提供了一种新的解题思路。教学中也可把问题4对计算结果的要求改为精确到[0.1 m]，这样就可以利用“算两次”列方程的方法进行计算。通过问题变式让学生在方法对比中体会解法选择的合理性，既要关注通性、通法，也要注重解法的灵活运用，并自觉地思考不同解法的内部关联。