问题引领下的“多样化”与“优化”

小学适切教学体系的理念强调“适于儿童，切合思维”。在此理念引领下，小学数学问题引领的教学鼓励课堂选择适合儿童的活动化、游戏化等学习方式，并通过问题来引领学生自主思考和探究。问题引领教学鼓励问题提出后，学生先调动自己的生活经验和原有的思维方式自主解决问题，这是一个问题解决“多样化”的过程，不同的学生往往表现出不同的认识和理解，所采用的方法也不一定相同，其中难免会有错漏。在此基础上，教师再进行话题聚焦，组织交流分享，通过比较、分析、评价、反思等，将学生原有的经验和认知以及解决问题的方法与新知之间建立联系，从而实现自我方法与数学方法之间的联系与对接，这是一个思维“优化”的过程。那么，教师应如何处理好思维的“多样化”与“优化”的关系呢？下面以《包装中的学问》教学改进为例来谈谈相关的思考。

一、试课时的发现和存在的问题

试课时，教师先后设计了两个核心问题：

2盒维他奶包成一包，有几种不同的方案？哪种包装方案最节省包装纸？

4盒维他奶包成一包，有几种不同的方案？哪种包装方案最节省包装纸？

两个核心问题的解决路径和方式差不多，都是采用小组学习的方式先用维他奶摆一摆，找出所有的包装方案；然后在学习单上算出每种包装方案所需要的包装纸并进行数据汇报；最后对比数据，找出最省包装纸的方案，从而实现问题的解决。

第一个问题方案少，数据小，学生解决起来比较顺利；第二个问题就比较复杂，有6种方案，计算量非常大，尽管小组成员已经做了分工，每个人只需要计算1到2种方案，但独立计算、汇报计算结果、修正计算错误依然花费了大量时间。

课后，上课的小李老师有些困惑和沮丧，她感觉一节综合实践领域的活动课似乎变成了一节长方体表面积的计算练习课，课堂显得沉闷、枯燥而无味。最后设计的素材“超市的包装节约包装纸吗？”原本是想通过展示让学生感受和体验商品的包装不止考虑节约包装纸这一个角度，还有美观、醒目、便于携带等不同角度，但也因为时间不够未能呈现。

二、针对问题进行教学分析与改进

商品中的包装不只考虑节约包装纸这一个角度，“超市的包装节约包装纸吗？”这一设计能培养学生看待问题的多元视野，有时间的情况下这个设计还是很有必要的。但对于“包装中的学问”来说，这可能还不是最重要的。

1.包装中到底有什么学问？

《包装中的学问》属于综合与实践领域，综合与实践是以培养学生综合运用所学知识和方法解决实际问题的能力为目标的。从这个角度来说，这节课显然是要利用长方体表面积的相关知识来探索多个相同长方体叠放后使其表面积最小的最优策略。因此，将“节约包装纸”这个生活问题转化为“表面积最小”这个数学问题是其中的学问之一，这对学生来说不难，稍作思考和交流学生就能建立这样的认知。关键是“哪种包装方案表面积最小呢？”这个问题就很有学问了。首先要探索有多少种不同的方案，这是培养学生空间想象能力的过程；其次是要在这些方案当中找到最能节约包装纸的方案，也就是表面积最小的方案，这是发展学生优化思想的过程。也可以说，“优化”解决问题的方法是包装中的学问之魂。

2.如何发展学生的优化意识和优化能力？

这里其实涉及两个层面的优化，第一个层面就是优化包装方案，也就是解决“哪种方案最节约包装纸？”的问题。

只能通过计算每种方案的结果来比较才能解决吗？显然不是。如果所有学生都只是不假思索地埋头计算各种方案所需要的包装纸，再通过计算结果选出最优方案，这不仅没有优化思想的渗透，甚至是在僵化学生的思想。为什么这么说呢？我们来看两盒维他奶的三种包装方案（见图1）：

当学生拿着两盒维他奶，摆出上述三种包装方案时，他能不能直观判断哪种包装的表面积最小？我们需不需要培养他这样的数感和量感？答案是肯定的，只要我们抛出问题：“你觉得哪种包装的表面积最小？”再稍微给一点时间，让他们摆弄、思考、交流，他们一定不需要通过计算就能有理有据地说明“两个最大的面重合后，得到的新长方体的表面积一定是最小的”。道理一看就明：单盒维他奶有6个面，两盒维他奶12个面，每种包装方式都是在12个面的基础上重叠掉两个面，那当然是重叠掉两个最大的面，剩下的面积就最小。这样看一看、想一想就能推理出确定结论的问题还需要埋头苦算吗？教学中，我们恰恰应该鼓励学生用自己的方法去判断、去分析、去推理，实现问题的解决，而不是马上就僵化地去运算。

那么运算有没有必要呢？当然有必要。什么时候需要运算呢？在面对复杂问题，凭感觉无法确定判断时，就需要进行确定的运算来佐证。比如：“四盒维他奶的包装方案，哪种更省包装纸？”（见图2）

显然，学生借助解决第一个问题的活动经验和办法就不能完全解决这个问题。① ③ ⑤是可以直观判断、稍作推理就能排除的，但是② ④ ⑥就比较接近，直观判断就有困难或者不能完全确定。到底哪个更省包装纸呢？这时才产生计算长方体表面积的必要，学生是因为有必要才去算，而不是不假思索地埋头苦算。

第二个层面的优化是长方体表面积计算方法的优化。

既然有必要计算，那我们就要思考如何计算新拼成的长方体的表面积。在此是不是特别强调找到新拼出长方体的长、宽、高，再运用长方体表面积的计算公式来计算呢？其实不然，我们更应该鼓励学生用自己的方法去计算拼成的长方体的表面积，甚至要鼓励学生动笔计算之前思考一下如何计算能化繁为简。显然，对于计算新长方体的表面积有多个思路，其中算长方体中有几个大中小面的和就是其中一种很简洁的思路。总之，我们应该通过交流分享让学生感悟和理解多种算法，从而培养学生优化的眼光和思维的灵活性，而不是僵化学生的思维：长方体表面积只能用公式来算。

从上述教学改进案例可以看出，教师引导、鼓励学生尽可能自主解决问题，并实现自我解决问题方法的不断优化，才能更好促进学生思维的灵活性和严谨性。