阅读数学课本 体会数学思想方法

摘 要：数学思想方法是数学的灵魂，是开启数学知识宝库的金钥匙，是用之不竭的数学发现的源泉。数学思想方法是数学知识的本质，它为分析、处理和解决数学问题提供了指导方针和解题策略。数学教学必须通过数学知识的教学和适当的解题活动突出数学思想方法。

关键词：数形结合； 分类讨论； 整体思想； 等价转化

中图分类号：G623．5 文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2012）03-065-001

一、利用直观图示理解抽象概念，体会数形结合的思想

在进行苏教版必修1第一章集合的教学时，由于学生刚接触集合这一概念，对集合之间的关系的理解感到困难，因此在教学过程中我做了如下处理。我先向学生介绍了集合的另一种表示方法维恩（Venn）图，即用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合，然后让学生讨论两条封闭曲线能有多少种不同的位置关系，并让他们画出来。经过讨论，学生画出了四种不同的位置关系（如图）

接下来我让他们观察这四种关系的异同点，并引导他们用集合语言加以描述，发现：（1）没有公共的部分，即集合A、B没有共同的元素；（2）有公共的部分，即集合A、B有共同的元素，但有些元素不在另一集合中；（3）A完全在B的内部；（4）A与B重合，即集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们把集合A叫做集合B的子集（A?哿B）。再深入分析，发现（3）中集合B有的元素不属于集合A，而（4）中集合A、B的元素完全一样，因此再把子集分为两类：真子集即集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于集合A；集合相等即集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素。通过维恩（Venn）图的直观表示，学生很快理解了“子集”“真子集”“集合相等”这些抽象的概念，体会了数形结合的思想。

二、利用不等式的求解理解分类讨论思想

分类讨论是将研究对象的全部按照不重叠、不遗漏的标准，划分为若干个部分来分析研究，再把分析研究的结果综合起来，从而使问题得以解决。由于考察问题的角度、方式方法不同，同一问题的解决，可以有不同的分类标准。

例1.解关于x的不等式x2-ax-6a2<0

解：原不等式可化为（x-3a）(x+2a)<0

因此，当a>0时原不等式的解集是x-2a＜x＜3a

当a=0时原不等式的解集是空集

当a<0时原不等式的解集是x3a＜x＜-2a

点评：本题主要涉及分类讨论思想，在研究与解决数学问题时，如果问题不能以统一的同一种方法处理或同一种形式表达、概括，则需根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，按某一确定的标准，将数学对象划分为若干个既有联系又有区别的部分，然后逐步进行讨论，再把几类的结论汇总，从而得到结论和答案。

三、数学教学中整体思想的应用

解数学题时，人们往往习惯于从问题的局部出发，将问题分解成若干个简单的子问题，然后再各个击破、分而治之。但思考方法并非对所有题目都适用，它常常导致某些题解题过程繁杂、运算量大，甚至半途而废。其实，有很多数学问题，如果我们有意识地放大考察问题的“视角”，往往能发现问题中隐含的某个“整体”，利用这个“整体”对问题实施调节与转化，常常能使问题快速获解。一般地，我们把这种从整体观点出发，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题思想方法，称为整体思想方法。在数学思想中整体思想是最基本、最常用的数学思想。它是通过研究问题的整体形式、整体结构，并对其进行调节和转化使问题获解的一种方法。简单地说就是从整体去观察、认识问题，从而解决问题的思想。运用整体思想，可以理清数学学习中的思维障碍，可以使繁难的问题得到巧妙的解决。它是数学解题中一个极其重要而有效的策略，是提高解题速度的有效途径。高考中，整体思想方法是一个重点考查对象，在选择题解答题中都有不同层次的渗透。

四、等价转化思想

等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。

点评：本题主要的证明方法是等价转化思想是一种执果索因的求解过程。

当然数学思想方法比较多地渗透在数学思想、方法的过程中,教师要精心设计、有机结合,要有意识地潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学之中的种种数学思想方法,切忌生搬硬套、和盘托出、脱离实际等错误做法。比如,教学二次不等式解集时结合二次函数图像来理解和记忆,总结归纳出解集在“两根之间”、“两根之外”,利用数形结合方法,从而比较顺利地完成新旧知识的过渡。

数学概念、法则、公式、性质等知识都明显地写在教材中,是有“形”的,而数学思想方法却隐含在数学知识体系里,是无“形”的,并且不成体系地散见于教材各章节中。教师讲不讲、讲多少,随意性较大,常常因教学时间紧而将它作为一个“软任务”挤掉。对于学生的要求是能领会多少算多少。因此,作为教师首先要更新观念,从思想上不断提高对渗透数学思想方法重要性的认识,把掌握数学知识和渗透数学思想方法同时纳入教学目的,把数学思想方法教学的要求融入备课环节。其次要深入钻研教材,努力挖掘教材中可以进行数学思想方法渗透的各种因素,对于每一章每一节,都要考虑如何结合具体内容进行数学思想方法渗透,渗透哪些数学思想方法,怎么渗透,渗透到什么程度,应有一个总体设计,提出不同阶段的具体教学要求。让学生在学习中逐步领悟，使学生的数学知识系统日趋完备，使学生的数学思维更加严密、灵活，也使我们的数学学习更富有生机。