利用情景建模 解决数学问题

摘 要：《数学课程标准》指出：义务教育阶段的数学课程应该以学生的发展为本，促进学生全面、持续、和谐的发展，使不同的人在数学上得到不同的发展。学生是数学学习活动的主人，教师是数学活动的组织者、合作者、赏识者。

关键词：数学； 模型

中图分类号：G623．5 文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2011）6-027-001

《新课标》中指出：“学习有用的数学。”随着课改的深入开展，实际情景问题应运而生，并迅速发展成为命题的亮点、热点。实际情景问题是复杂多变的，它贴近生活，为学生所熟悉，且以一定的知识为依托。情景设置的取材广泛，有社会热点问题，如环保、纳税、经济、合理用料等，使问题富有时代气息；也有日常生活中常见的问题，如购物、统计、几何图形的计算等。解决实际情景问题的关键是“转化”，即将实际情景问题“数学化”，根据已有的数学知识、经验去建立相应的数学模型（即数学建模），进而解决问题。所谓数学建模就是把所要研究的实际问题，通过数学抽象构造出相应的数学模型，再通过数学模型的研究，使原问题获得解决的过程。其基本思路是：

数学建模需要较多探索和创造性，初中数学常见的建模方法有：涉及图形的位置性质，建立几何模型；涉及对现实生活中物体的测量，建立解直角三角形模型；涉及现实生活中普遍存在的等量关系（不等量关系），建立方程（不等式）模型；涉及现实生活中的变量关系，建立函数模型等。下面举例说明。

一、建立几何模型

例1：某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽度为7.2m,拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为长方形并高出水面2m的货船要经过这里，此货船能顺利通过吗？

解：如图，由题意可知：AB=7.2m，CP=2.4m，EF=3m，NF=2m。

设圆的半径为r，

在Rt△OPB中，OP2+BP2=OB2

(r-2.4)2+3.62=r2r=3.9

分析说明：本题取材于现实生活中船过圆弧形拱桥的问题，以圆为主体而设计探索题。解决此题关键要找圆心，求出半径。此题桥呈圆弧形，要判断船是否能顺利通过，只要判断一最远点是否在圆内。

二、建立解直角三角形模型

例2：6月以来，我省普降大雨，时有山体滑坡灾害发生。北峰小学教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示：AF∥BC，斜坡AB长30米，坡角∠ABC＝65°。为了防止滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经过地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可以确保山体不滑坡。

（1）求坡顶与地面的距离等于多少米？（精确到0.1米）

（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚不动，坡顶削进到E点处，求至少是多少米？（精确到0.1米）

∴DB=AB·cos∠ABD=30×cos65°≈12.7m

连结BE、过E作EN⊥BC于N

∵AE∥BC∴四边形AEND为矩形

NE＝AD≈27.2m

在Rt△ENB中，由已知∠EBN≤45°

当EBN＝45°时BN＝EN＝27.2m

∴AE＝ND＝BN－BD＝27.2－12.7＝14.5m

答：AE至少是14.5m。

分析说明：本题取材于学生身边常见的自然现象，以锐角三角函数、解直角三角形知识为主体而设计探索题。解决此题关键是要找出直角三角形以及对应的已知量。

三、建立方程（不等式）模型

例4：某商场销售一批进价为2500元的电冰箱，经调查发现，当销售价定为3500元时，平均每天售出8台，电冰箱销售单价每降低100元，平均每天就多销售2台，那么为了使每天的利润增加12.5%，并让顾客得更多的实惠，则每台的优惠价应定为多少元？

整理得：x2-6400x+10200000=0解得x1=3000,x2=3400

∵要让顾客得更多实惠∴x=3400（舍）

答：优惠价应定为3000元。

分析说明：本题涉及销售利润的实际问题，此类实际问题中往往蕴含着方程或不等式，分析问题中的等量关系和不等关系，建立方程（组）模型和不等式（组）模型，从而把实际问题转化为数学模型，然后用数学知识来解决。解决此题关键是要找准等量关系：每件利润×销售量＝总利润。

四、建立函数模型

例5：有一块如图所示，边缘呈抛物线形的铁皮，已知AB＝4，CD＝8，如何在铁皮中剪出一块周长最大的矩形？

解：以C为原点建立如图所示的平面直角坐标系。

设该铁皮边缘抛物线的解析式为：y=ax2

∵经过点B（2，-8）

22a=-8 a=-2

∴抛物线的解析式为：y=-2x2

设DG＝m，则FG＝2m，HG＝8-2m2

∴矩形周长C＝2（FG＋HG）＝

2（2m＋8-2m2）＝-4m2+4m+16

说明：解决此类问题时，要善于选择函数表达方式，并建立二次函数模型求解，找准解题的突破口。

为适应和推进课改，教师在日常教育教学中，要尽量采取《数学课标》倡导“问题情景建立模型解释、应用与拓展”的模式组织教学活动，有的放矢地引导学生进行适当的解决实际情景问题的训练，让学生亲身经历将实际情景问题抽象成数学问题，建立数学模型，然后解决问题，进而掌握常规的解题思路、方法与技巧，以优化学生的数学认知结构，体现数学的生活价值，从而提高学生应用数学知识解决实际问题的能力，激发学生学好数学的兴趣和愿望。

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