浅谈数学综合试题的审题策略以三角形存在性问题为例

摘 要：以近年来中考数学中出现的三角形存在性问题为例，讨论了数学综合试题的审题策略，提出了“明目标→定方案→重细节”的三环节思维模式，并阐述了各环节的任务和作用。

关键词：综合试题； 审题策略； 目标； 方案； 细节

中图分类号：Ｇ623．5 文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2011）7-032-002

三角形存在性问题，尤其是相似三角形与直角三角形存在性问题，近年来多次在中考综合试题中出现。本文拟以此类问题为例，对中考数学综合试题的审题策略做一些粗浅的讨论，请教于大方之家。

一、目标定方向

解题就是利用已知的条件与知识探索未知任务的过程。在解题过程中，审题是一个重要环节。审题的主要任务之一就是明确试题的考查目标。任何一道考试题都会有它的考查目标，与简单试题具有单一考查目标不同，综合试题的考查目标是由多个单一目标有机组合而成。只有明确了考查目标，才能准确地从试题所给的众多信息中提取对解题有用的信息，获得正确的思路方向。因此，准确把握一道综合试题的考查目标是正确求解该试题的必要条件。

例1.（2009年卢湾区中考试题）如图，直线x=3与抛物线y=2(x-2)2+1交于点B，与直线OA交于点C。点P在抛物线的对称轴上，△ABP与△ABC相似。求所有满足条件的点P的坐标。

根据以上考查目标，结合所给出的图形，我们从试题中提取对解题有用的主要信息：A、B、C三点坐标分别是A(2,1),B(3,3),C(3,■)；AP//BC。抛物线的对称轴为x=2，因此可以假设P点坐标为(2,y)。

由AP//BC，得到：∠PAB=∠CAB。要使△ABP与△ABC相似，只要求选P使得夹这组对应角的两组对应边成比例。这有2种可能，即：①■=■②■=■。

根据这两种可能和上面提取的有用信息，运用两点之间的距离公式即可求出P点的坐标。

综合试题从题面上来看，往往会呈现多种知识之间的相互联系。而这种联系纷繁复杂，头绪良多。从如此众多的联系中能得到很多已知条件，其中大多数条件对解题无益。因此，只有明确了试题的考查目标，确定了正确的思考方向，才能从中筛选出有用的信息，进而得到问题的解决方案。

对基础知识的熟练掌握是明确试题考查目标的前提。在平时的教学活动中，有意识地训练学生明确试题考查目标的能力，督促学生在练习中养成首先明确试题考查目标的习惯，是训练明确考查目标之能力的有效办法。

二、草图定方案

草图或草表是理清试题所呈现的各个已知条件与结论及其相互关系，将复杂的综合任务分解成若干简单的单一任务的有效途径。鉴于草图与草表有类似的作用，本文仅介绍草图及其作用。

所谓草图，即是为了理清解题思路所做的能反映试题本质特征的图形。顾名思义，“草”就是不求精确，但求不失去本质特征。

在一些综合题审题过程中，一张好的草图对确定解题方案有很大的帮助。

例2.（2009年卢湾区中考试题）如图，已知三点A(1.5,0),B(4,0),C(0,-3)，B’在Y轴上，CA垂直平分线段BB’，垂足为Q。问：在通过A、B、C三点的抛物线上是否存在一点P，使得△QCP是以QC为直角边的直角三角形？

根据题意，△QCP是以QC为直角边的直角三角形，会有2种可能：①以Q为直角顶点；②以C为直角顶点。

审题时我们画好一张草图，这张草图除了正确反映A、B、C三点的位置之外，还应该反映如下本质特征：①CA垂直平分BB’，垂足为Q；②抛物线经过A、B、C三点；③P（P1，P2， P3）在抛物线上。

这张反映了问题本质特征的草图告诉我们：①由于CQ⊥BB’，且抛物线与BB’有两个交点，其中B是一个平凡的交点，所以要求以Q为直角顶点的△QCP，除了△QCB是其中平凡的一个之外，另有一个是△QCP1。为了求得P1, 我们需要找到抛物线与直线BB’的另外一个交点。为此，需要求出直线BB’与经过A、B、C三点的抛物线的方程；②要获得以C为直角顶点的三角形，我们需要求出P3，其中P3是CP3与抛物线的交点。在前面我们已经获得了抛物线的方程，于是此时我们只要求得直线CP3方程，然后求它与抛物线的交点。又由于QC⊥CP3，而直线QC的斜率是容易得到的，因此根据两直线互相垂直的关系，可以得到直线CP3的斜率，点斜式即可得到该直线方程。

由以上分析，现在我们可以归纳本题的解题方案如下：

第一步，由CA垂直平分BB’，求出直线BB’的方程；

第二步，由抛物线经过A、B、C三点求出抛物线的方程；

第三步，求出直线BB’与抛物线的两个交点（其中一个点是B）；

到此可以获得以Q为直角顶点的两个直角三角形。

第四步，由QC⊥CP3得到直线CP3的斜率，点斜式写出直线CP3的方程；

第五步，求抛物线与直线CP3的交点，得到以C为直角顶点的三角形。

这样的解题方案，将复杂的综合试题分解成若干个简单问题，逐一解决这些简单试题，最终就可以得出综合试题的正确解答。

草图将抽象的符号语言形象化，反映了试题所给出的多种关系中最重要的几种关系，即主要矛盾。而这些重要关系是确定解题方案的基础。因此，草图在审题过程中所起到的作用有时候是不可替代的。

三、细节定成败

掌握试题的考查目标让我们有了正确的思考方向，一张能反映问题本质特征的草图为我们提供了详细具体的解题方案，至此我们就有了正确求解一道综合试题的扎实基础，已然成功了一半。当然，能不能最终得到正确答案，对解题细节的准确把握，也是非常关键的因素。解题细节联系着具体的基础知识，因此对基础知识的熟练掌握在任何时候都是最重要的。

例3. （2009年朝阳区中考试题）如图，已知点A（0，2）与B（4，0），将△ABO沿着垂直于x轴的线段CD折叠，点B的对应点为E。设点C（x，0），问：是否存在这样的点C，使得△ADE为直角三角形？

首先明确试题考查目标。本题主要考查：①对称点的坐标；②两点式直线方程；③直角三角形的性质（勾股定理），④一元二次方程的求解。据此我们可以得到明确的思考方向。

然后根据题意画出草图：

(以E为直角顶点) (以A为直角顶点)

根据草图确定解题方案：

第一步，给出直线AB的方程；

第二步，由C(x,0)结合直线AB给出点D的坐标，结合点B(4,0)及对称性给出点E的坐标；

第三步，当以E为直角顶点时，由勾股定理AE2+AD2=ED2列出关于x的方程，求出x得到C点的坐标；

第四步，当以A为直角顶点时，由勾股定理AE2+AD2=ED2列出关于x的方程，求出x得到C点的坐标。

最后是对上述解题方案的实现。在实现该方案的每一步过程中，注重细节显得尤其重要。

3.当E为直角顶点时，由勾股定理AE2+ED2=AD2列出关于x的方程，并化简为2x2-13x+20=0。此方程的解是x1=2.5和x2=4。其中x2=4显然不合题意，应该舍去。

4.当A为直角顶点时，由勾股定理AE2+AD2=ED2列出关于x的方程，并化简得：2x2-3x=0。此方程的两个根为：x3=0和x4=1.5。通过检验发现x3=0，不合题意，应该舍去。

综上所述，我们得到了两个满足条件的点C(1.5,0)和C(2.5,0)。

从本题可以看出，在解题过程中除了需要对相关的基础知识熟练掌握之外，有许多细节值得重视。例如，通过解一元二次方程得到解之后，需要检验解是否符合实际意义，等等。

只有所有解题细节都把握好了，才有可能得到试题的完整和正确的解答。

四、结论

中考数学要想取得好成绩，综合题（或称压轴题）的得分至关重要。而要正确解答数学综合试题，则需要扎实的基础知识和冷静有序的思维。这些都需要在平时的学习中进行反复的训练和积累。借用一句话，叫做“考场一分钟，平时十分功”。

本文讨论了一种数学综合试题的审题策略，提出了一种思考问题和训练思维方法的模式，归纳起来就是：明目标→定方案→重细节。

“明目标”这一环节有一定难度，需要一定的高度。但多年的教学实践经验告诉我们，只要我们持之不懈地有意识地训练学生的这种思维，大多数学生是能够做到这一点的，即在拿到试题的几分钟之内能判定该题的主要考查目标。

“定方案”环节可以借用一些工具或者经验，例如草图或草表就不失为有效的分析工具。通过草图或草表，可以理清复杂的已知条件与结论及其相互之间关系，将综合性的复杂任务分解成若干个简单任务，分而治之，各个击破，最后达到完成综合性任务的目的。

细节决定成败，考场尤是如此。注重细节其实是一种很好的思维习惯和严谨的思维品质，值得花大力气、用大功夫来训练和培养。很多学生由于粗心大意做错了题，往往极容易原谅自己，认为这不是知识性缺陷，“下次小心一点”就好了。殊不知，思维品质的缺陷比知识性缺陷更为可怕，如果不注重训练，下次可能会多次出现“不小心”错误。而这种“不小心”的反复出现甚至影响到今后的生活与工作。