探究一元二次方程根的分布

摘 要：本文通过在教学实践过程中总结出的两个结论，给出了解决一元二次方程根的分布问题的简便解法，并通过具体的例题使读者加深印象。解决一元二次方程根的分布问题，主要采用数形结合的方法，大前提是先要考虑抛物线的开口方向，如果开口方向不定，先要讨论开口方向，开口方向一定时，可以应用结论一和结论二，列出不等式组。

关键词：一元二次方程； 根的分布； 二次函数； 数形结合； 解不等式组

中图分类号：G623．5 文献标识码：A 文献编号：1006-3315（2011）7-039-001

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，而在高中数学新课程中韦达定理又不作要求。也有很多教辅资料对一元二次方程根的分布问题进行了总结，但都很繁琐，不便于学生掌握。现根据教学实践，将此问题进行总结，希望对教师的教学和学生的学习有所帮助。

一元二次方程与二次函数有着密切的关系，对于一元二次方程根的分布问题，可借助于二次函数的图象，利用数形结合的思想对问题作等价转换，从而列出相应的方程或不等式，使问题得到解决。解决一元二次方程根的分布问题，主要采用数形结合的方法，大前提先要考虑抛物线的开口方向，如果开口方向不定，先要讨论开口方向，开口方向一定时，主要可以分成两类情况考虑：（设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1，x2）

结论一：两个实数根为x1，x2的范围相同，即对于区间I，x1,x2∈I，这时要考虑三点：判别式?荭、对称轴、区间端点函数值的符号。

结论二：两个实数根为x1，x2的范围不相同，即对于区间I，x1∈I，x2?埸I,这时只要考虑区间端点函数值的符号。

例1.一元二次方程x2-ax+a+3=0有实数根，且两个实数根都大于-3，求实数a的取值范围。

分析：可以结合二次函数的图像和结论一，列出不等式组。

一元二次方程与一元二次函数和一元二次方不等式有着密切的关系，通过结论一和结论二，可以使一元二次方程根的分布问题变得更简洁，便于学生掌握。学生只要通过数形结合运用结论列出不等式组，便可以解决问题，但是解不等式组的计算量较大，在解题过程中还是要细心。