指向关键能力的小学数学“综合与实践”主题的开发与实施

【教学内容】

结合数学读物《数学山海经》，自主创编教学内容。

【适用年级】

小学六年级。

【教学目标】

1.让学生了解“六十甲子”的纪年规律，经历“干支纪年与公元纪年”的转换过程，提高解决实际问题的能力。

2.通过综合性的数学活动，增强学生发现数学问题的意识，让学生感受中华优秀传统文化的独特魅力。

【教学过程】

一、提出问题

1.出示香筒图片（如图1）。

这是老师老家的一只圆柱形香筒。用数学的眼光去看它，你们能提出哪些问题？

常规的问题：香筒的底面积、侧面积是多少？容积是多少？非常规的或综合性问题：距今有多少年？

2.目测一下：香筒的底面直径约1分米，那么香筒的高大约是多少？（取整数4分米）请自主写出计算香筒侧面积、底面积、容积的相应算式。

3.如果要知道这只香筒距今已有多少年了，我们可以从哪里获得一些相关信息呢？（引导学生聚焦香筒的“落款”——时在丙辰夏月书于……）

【设计意图】引导学生从日常生活中发现数学问题，意在培养学生用数学的眼光观察现实世界，增强学生在与生活的对接过程中灵活运用数学知识的能力。

二、感知规律

1.香筒上“丙辰”二字，确实能反映题画的时间。只是与我们熟悉的公元纪年不同的是，它采用的是干支纪年的方法。那究竟什么是干支纪年，我们通过一段文字来了解一下。

2.出示文字材料：所谓干支纪年，是由10个天干和12个地支依照顺序组合而成的。10个天干，就是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，每个天干符号都与五行（金、木、水、火、土）的阴阳属性相对应，代表着不同的自然现象和生命过程。例如，甲代表草木破土而出，乙代表草木生长发芽，丙代表炎热太阳照耀万物，丁代表草木继续生长，戊代表草木枝繁叶茂，己代表万物仰屈而起，庚代表万物更新，辛代表万物一新，壬代表万物被养育，癸代表万物萌芽。

12个地支是子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥，十二地支与十二个月相配，通过对月相的变化与气候及大地万物兴衰消长相对应的关系，来揭示事物的发展变化规律；十二地支也与十二生肖有关。天干和地支相互搭配而成的结果就是甲子、乙丑、丙寅、丁卯……直到壬戌、癸亥，通称“六十甲子”。

3.关于这段文字，你们还有什么疑问吗？

补充说明：搭配时，奇数天干只能和奇数地支相结合，偶数天干只能和偶数地支相结合。

【设计意图】教师引导学生对相关文字介绍提出疑问，培养学生的审辩式思维。学生经过冷静思考，发现其中的问题：10个天干和12个地支搭配，共有120种不同的情况，从而产生进一步了解相关搭配规则的需求。

4.追问：为什么是“六十甲子”呢？

学生结合自己的理解，尝试用不同的方法来说明。如天干每10个一循环，地支每12个一循环。10和12的最小公倍数是60，所以每过60年就要重复循环一次；1个天干可以和6个地支搭配，10个天干就有60种不同的搭配；1个地支可以和5个天干搭配，12个地支就有60种不同的搭配；5个奇数天干和6个奇数地支有30种不同的搭配，5个偶数天干和6个偶数地支也有30种不同的搭配，合起来就是60种搭配……

5.同桌合作列举。刚才有一些同学用比较抽象的方法（乘法原理）解释了为什么是“六十甲子”，其实列举是一种最基本的方法，非常直观，又蕴含着规律。下面请同桌合作，在练习纸上列举出天干地支搭配的情况。

6.展示“六十甲子”列表。如果给它们编上顺序号，甲子为1，乙丑为2……壬戌为59，癸亥为60。

【设计意图】“干支纪年”是中国古代的一种纪年历法，虽然时代距今比较远，但其背后蕴含的天象规律及编排特点等，却是学生能够意会并理解的。“结合自己已有的知识和经验，来说明为什么是‘六十甲子’”“尝试用列举的策略独立‘创造’出‘六十甲子’表”……这些开放性问题的成功解决，是学生数学素养的最好体现。

三、学会转化

1.从这张“六十甲子”顺序表中（见表1）不难发现，一些我们比较熟悉的干支纪年，如“甲午”（联想到“甲午战争”）、“戊戌”（想到“戊戌变法”）、“己亥”（想到龚自珍的《己亥杂诗》）、“庚子”（想到“庚子赔款”）、“辛丑”（想到“辛丑条约”）、“辛亥”（想到“辛亥革命”）……当然还有那只香筒的题画年份“丙辰”。

2.猜想：如果“庚子赔款”与“辛丑条约”签订的年份相差1年，那么《己亥杂诗》创作的年份是不是就一定比“戊戌变法”晚1年呢？看来，要知道具体的答案，还得知道干支纪年与公元纪年究竟如何转化。

3.尝试：如果知道“甲子”对应的公元年份是1年，那么“乙丑”对应的公元年份是哪一年？（公元2年）还可能是哪一年？（公元62年、公元122年等）。能只用一个式子来表示吗？（60n+2）“甲午”对应的公元年份就可以怎样表示？

而实际情况是怎样的呢？据查，公元后第一个“甲子”年是公元4年，与我们刚才的假设恰好相差了几年？（相差3年）因而与“乙丑”对应的公元年份是哪一年？（60n+2+3）与“甲午”对应的公元年份是哪一年？（60n+31+3）“辛亥”对应的公元年份是哪一年？（60n+48+3）那么，谁能用一句话概括一下？（任何一个干支纪年，它对应的公元年份都可以用“60n+顺序号+3”来表示。）

现在，我们一起来试一下，“甲午战争”发生于公元哪一年？由于“甲午战争”发生于19世纪末，因此，“甲午战争”应发生于1894年。再来推算一下，“辛亥革命”发生于哪一年？（1911年）

【设计意图】在研究干支纪年转化为公元年份时，如果让学生直接根据“公元后的第一个‘甲子’年是公元4年”这一线索来进行推算，学生可能会觉得比较困难。针对这一学情，在教学时，教师可以先为学生搭建一个脚手架，即假设公元后第一个“甲子”年正好是公元1年，那么学生在此前提下顺势推理，就能很快发现：任何一个干支纪年对应的公元年份就是“60n+顺序号”。学生由于有了经验，也就更易于应对，并快速做出调整了。

4.通过刚才的学习，大家能推算出老师老家的这只香筒距今已有多少年了吗？请各自算算看。谁来汇报一下？（如果是19世纪的，有1种可能：1856年。如果是20世纪的，有2种可能：1916年和1976年。）据我了解，这只香筒是从我曾祖父那里传下来的，因此最有可能的年份是哪一年？（1916年）那这只香筒距今差不多有“2024-1916＝108”年。

5.我们知道了怎样把干支纪年转化成公元年份，那么又怎样把一个公元年份转换成干支纪年呢？以“2024年”为例，它对应的干支纪年是什么呢？你们有自己的想法了吗？（其实，只要用公元年份减去3，就能得出干支的顺序数了。）

6.组织交流。用2024减去3等于2021，再用2021除以60得出余数是41。对照“六十甲子”顺序表，应该是“甲辰”年，是农历龙年。或者用2021除以10，余1，得出天干是“甲”；再用2021除以12，余5，得出地支是“辰”，合起来就是“甲辰”年。到下一个龙年“丙辰”年，是2036年，那时候同学们差不多都大学毕业了；再到下一个“甲辰”年，就是60年后，也就是2084年了。

【设计意图】在研究干支纪年转化成公元纪年时，采用“先扶后放”的方式；而在研究公元年份转化为干支纪年时，则遵循扶放有度的原则，放手让学生自主探索。这恰是教师在单元整合视角下需要提前思考的，也是确保核心素养落地的教学设计需要特别关注的。

四、总结拓展

1.通过今天的学习，同学们有些什么样的收获？课后，请大家再找一些以“干支纪年”来命名的历史事件，算一算它们对应的公元年份是什么，了解一下这些事件发生的背景是怎样的，对我们国家又产生了哪些影响。

2.“干支纪年”是中国传统纪年历法，是中华优秀传统文化之一，其中蕴含的古人智慧非常丰富，感兴趣的同学课后可以进一步了解它，研究它。

【设计意图】教师引导学生关注用“干支纪年”命名的历史事件，了解其发生的背景以及所产生的影响，这样的跨学科学习，有助于课程协同育人功能的实现。

【教学思考】

一、这是一节自主开发的数学综合与实践课

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，不同学段的主题活动和项目学习内容，可以依据本学段数学知识的内涵、在生活中的应用，以及与其他学科知识的关联，自主设计形式多样、富有趣味的活动。这也提醒教师应把自己作为课程资源的主动开发者，针对学生的认知规律和生活经验，结合中华优秀传统文化，以及与学生相关的生活内容，设计出具有综合性和实践性的主题活动或项目化学习内容。“这只香筒距今多少年？”这个与生活相关的问题，不仅能激发学生的探究热情，促使学生深入了解古代历法，感受古人的智慧，还能沟通古代与现代，让学生体会学以致用的价值。

二、这是一节以史鉴今的数学思政课

尽管相较于社会科学，自然科学学科进行德育的途径较少，但它依然可以作为德育的载体。张奠宙先生就曾以数学学科为例，尝试构建涵盖一个基点（热爱数学）、三个维度（人文精神、科学素养、道德品质）和六个层次的数学学科德育的框架。“走进干支纪年”这一课例正是基于第一层次（数学本身的文化内涵，以优秀的数学文化感染学生）设计而成的，学生通过学习不仅进一步了解了干支纪年与万物生长、天象变化的规律有内在关联，还感受到蕴含其中的数学特有的循环排列规律；通过探秘以干支纪年命名的历史事件（如辛丑条约、甲午战争等）所发生的年代，不仅提高了学生解决实际问题的能力，还增强了学生不忘国耻、立志报国的自觉意识。在这节课中，数学与德育的内在整合不是教师告知或明示的，而是学生自行体会或发现的。

三、这是一节指向关键能力的数学实践课

在“走进干支纪年”这节课中，有这样几个环节：一是用数学眼光观察“老师家中的香筒”，学生自主提出香筒的底面积、侧面积、容积分别是多少，以及香筒距今多少年等数学问题，学生的好奇心、探究欲得以有效激发。二是用数学思维阐释为什么是“六十甲子”，学生通过质疑、推理、分析、演算、列举等思维活动，揭示出干支纪年的排列规律。在活动中，学生求真索理的科学态度和理性精神得到了培养。三是用数学语言表述干支纪年与公元年份的转化方法，通过举例、假设、调整、建模等方式，学生自主发现了两种纪年相互转化的方法，强化了学生用数学语言表达与交流的意识。而这些也正好是数学核心素养的“三会”维度，需要教师通过整体性设计、自主性开发以及创造性实施得以更好落地。

（作者单位：江苏省南通市通州区教师发展中心）