量感培育：从主观体验走向客观量化

众所周知，量感主要是指对事物的可测量属性及大小关系的直观感知。史宁中教授在《基本概念与运算法则》一书中指出，角是一个很难描述清楚、很难理解的概念。教学现实也告诉我们，不少学生即使习得了用量角器度量角的技能，依旧会出现度量120°角读出60°角的结果。我们通常简单地归因为“内、外圈混淆”或是粗心，实则是学生的量感没有培育好。鉴于此，对于“角的度量”一课的教学主张自然是引导学生经历角的度量工具产生、发展的过程，帮助学生的量感素养在“统一单位量、构建累加量、表征参照量、调适估测量”等学习活动中潜滋暗长。

一、定标准：统一单位量，小角量大角

据记载，量角器的雏形可以追溯到古巴比伦时期，大约在公元前3000年，古巴比伦人将圆周分割成360等份，发明了60进制的记数方法，并将其应用于角度的单位换算上，从而形成了角度的概念和度量单位。史宁中教授在《度量单位的本质及小学数学教学》一文中指出，度量是数学的本质，是人创造出来的认识数学、认识现实世界的工具，度量的本质在于表现事物某些指标的顺序。

【教学片段1】

学生3人一小组，共14个小组，借助14个信封里装有的若干个扇形小角进行研究。

［黄色10°小角13个（1组），黑色15°小角9个（1组），蓝色20°小角7个（3组），红色30°小角5个（3组），绿色40°小角4个（3组），紫色60°小角5个（2组），橙色70°小角2个（1组）］

师：同学们在二年级的时候已经认识了钝角，咱们做个“拼钝角”的小游戏吧！请各小组长从学具盒中拿出“小角”，小组合作用小角拼成这么大的钝角。写好用了几个小角后，请将其贴到黑板上。

（各小组研究好后将成果贴在黑板上）

生：我们这组橙色的摆1个不够，摆2个又多了。怎么办？

生：我发现黑板上的固定角都同样大，里面包含的小角个数却不一样。

生：为什么两组红色小角看上去大小不同，包含的个数却是一样的？

……

在师生互动的过程中，学生感悟到“同样大的钝角可以用不同的比它更小的角去度量”。在探索120°角里包含多少个小角时，有的小组认为包含12个小角，有的小组认为包含10个小角，还有的小组认为包含8个、6个、4个、3个、2个小角。当然也有摆1个不够、摆2个又多了的情况。比如，橙色小组就是这种情况，他们怎么开动脑筋也解决不了问题，于是便急切地“求救”：我们小组完不成任务，怎么办？红色小组也迫不及待地提问：我们摆了4个红色角，但看上去明显要比另一个组的红色角大，为什么？有的学生满脸疑惑地陷入沉思，他们看着黑板上各个小组的研究成果，不解地问：角都一样大，包含小角的个数为什么不一样？于是，统一角的度量单位的需求显得如此急迫。度量就是比较，要度量的话，首先必须确定度量单位。

史宁中教授说过：小学生学习数学的目的是什么？小学的那点数学知识即使不学，到了初中也可以补回来。小学阶段关键是要教学生想问题，让学生学完以后对数学有感觉。那么，是直奔结论目标而去，还是花时间让学生去充分感悟，进而提出问题？答案不言而喻。

二、重经历：构建累加量，再创造测量工具

所谓度量其实就是计算所要度量的对象包含多少个度量单位。数学家王元主编的《数学大辞典》中关于“角的度量”是这样表述的：取一个确定的角作为度量单位，来量已知角所得的数值就是已知角的度数。

学生当下的问题：1°角是怎么来的？显然不能像有的教材中那样简单地告诉学生，把半圆周分成180等份，每一份所对的角是1°的角。也不能像《数学大辞典》中那样解释给学生：把圆周的[1360]称为1°的弧，把1°的弧所对的圆心角称为1°的角。

不过，《数学大辞典》解释道出，“角度”具有无量纲的特质，与长度这样的有量纲存在着本质的区别。角度的量纲来自两个相同量纲的量（弧长和半径）的比值，诸如此类的一些广为人知的无量量纲还有圆周率（π）、欧拉常数（e）和黄金分割率（φ）等。

单位是计量的标准，角度本身是单位而不是量。常用的角度度量制度有两种，即角度法和弧度法。金成梁教授在《小学数学疑难问题研究》一书中指出，我国新的法定计量单位还包括“平面角”和“立体角”两个国际单位制的辅助单位，以及国际单位制中具有专门名称的导出单位和国家待定的非国际单位制单位。

有人曾说过，学生是学习活动中的“再创造者”，再创造的过程就是学生习得知识并自主建构知识的过程。度量单位的形成大体都经历了从多元到统一、从粗糙到精细的过程，学生为了能度量角度非常小的活动角，想出了把小角再剪小的办法。“怎么剪？”又引起了大家的热议，1°角这个确定的角就这样在每个学生的脑海里留下了清晰的表征。人们设计度量单位的目的是便于度量，在教学中，教师要借助学生的生活常识和学习经验引导他们去设计度量单位，然后再过渡到标准的度量单位1°角，从而帮助学生理解人们制定标准度量单位的意义。

另外，这样的教学过程还可以帮助学生感悟到世界上的所有标准都是人为制定的。因此，学生要敢于针对实际情况制定自己的标准，敢于对已有的标准进行价值判断。

通过认识1°角，学生在观察黑板上的扇形时，自然而然地联想到了圆形。这样，全圆量角器的雏形（图1左起第1幅图）出现了。紧接着，以动画的形式逐步呈现“单位累加”的过程，再经过适当简化后，10°角的表征（图1左起第2幅图）也在学生头脑中生成。

正如法国数学家亨利·庞加莱论述的那样：“如果没有测量空间的工具，我们便不能构造空间。”我们可以推想，如果学生不能真正理解量角器这一量角工具的本质，他们将难以真正掌握量角技能，充其量就是大量强化训练后的操作性条件反射。

总的来说，半圆量角器和全圆量角器都是重要的测量工具，除了形状和刻度范围外，半圆量角器和全圆量角器的使用方法大致相同。它们都通过其上的刻度帮助使用者精确地确定角度的大小，可以将量角器的一个边缘与所需测量角度的一条边对齐，然后读取与另一条边对应的刻度，从而进行角度的精确测量。

三、趋精确：表征参照量，调适估计值

量感培养需要注重生活实例的引入、单位量的感知、具身经验的形成、估测活动的开展以及长期反复体验的实践。估测、比较和调适是量感培育的重要手段。在教学中，教师可以先借助学生手边熟悉的三角尺上的30°角、60°角、90°角和前面介绍的120°角，帮助学生建立以这4个角为表征的参照量，再通过估测角度的练习和实际测量来纠正误差，提高学生度量角的技能和估计角的大小的精确度，从而进一步巩固和提升学生的量感水平。

【教学片段2】

活动要求：

1.描一描，用尺子在图2中描画出一个锐角。

2.做一做，用活动角做一个100°的角。

（学生完成这两个任务后，教师展示学生作品并启发学生思考）

师：图2中没有度数，你是怎么判断描画出的角是不是锐角的？

生：图2中大格是10°，只要小于9大格，数一下就知道了。

生：只要比三角尺上的直角小就行了，我知道直角是90°。

师：请同学们估一估三角尺上各个角大概多少度，然后在图上比一比，看看估得是否精确。

师：在用活动角做100°的角时，你想提醒大家注意什么？

生：我想提醒大家注意，做的角要比90°张开得大一点。

生：我想提醒大家注意，做的角不能大太多，要比前面的120°的钝角小一些，可以心里想着90°直角，眼睛看着黑板上的钝角来调整。

……

通过实践操作，教师让学生感受角的大小，从而建立对角的大小的直观感知。由于有了10°、30°、45°、60°、90°和120°角的表征，学生估计角的度数时便有据可依。学生在估测的基础上，学会使用测量工具进行精确测量。学生要想验证估计的角度是否准确，必须自己尝试去使用半圆量角器，探究其用法，总结注意事项，如图3所示。

度量长度会受到测量工具长短的限制，度量角度却不会受量角器大小的限制。度量角既可以用弧度制，也可以用角度制。《小学数学研究》一书中指出，角度之所以比弧度容易被大家接受，其中一个原因就是度量角度时直接使用角度单位，而弧度制则是通过长度单位来测量角度。

尽管学生易于接受用角度制去度量角，但多年的教学经验告诉我们，如果将半圆量角器作为一个成品介绍给学生，学生没有理解量角器产生、形成、发展、演变的历史过程，没有对半圆量角器各部分构造有充分感知，那么，学生在度量角的大小时就会经常出错，常见错误主要有以下两种：1.未能做到“两重合”；2.读数时内外圈混淆。

度量角的本质是通过量角器找到一个与要测量的角大小相同的角，然后看被测量的角中包含了多少个标准单位1°角。实际上，度量角从根本上说就是一种“比较”。对于度量角这种操作技能来说，学生如果能感悟知识本质，那么技能的习得将水到渠成。

掌握度量角的技能之后，再在学生中开展“比比谁估得准？怎样才能估得更精确？”等活动，能进一步提升学生对角的大小关系的感知精度，从而有助于培养学生的量感。如果学生在度量角度之前进行估测，实际测量之后再比较，将大大减小估测误差。如此循环往复，不断体验和修正，可以不断丰富学生的具身经验，提高学生的量感素养水平。

（作者单位：江苏省南京市小市中心小学）