思维导向能力为重的变式教学实践和思考

作者简介

慕振亮，山东省烟台高新技术产业开发区益文小学副校长。山东省特级教师，齐鲁名师，山东省基础教育教师培训专家。曾获全国小学数学优质课比赛一等奖、“华东六省一市”小学数学优质课比赛一等奖，主持和参与10余项省、市级规划课题。在《人民教育》等期刊发表50多篇文章，多篇文章被人大复印报刊资料《小学数学教与学》全文转载。

变式教学在我国基础教育数学教学中应用范围较广，20世纪90年代初，顾泠沅教授在上海青浦区开展了变式教学的实践研究，显著提升了教育教学质量。瑞典数学家弗伦斯·马顿的变异理论有效突破了传统迁移教学的局限，在探索研究知识的过程中比较知识的共性、思想方法的迁移性及其差异，让学生在比较中更好地理解学习内容。素养本位下的变式教学更加注重问题和概念的本质属性和知识点的来龙去脉，注重知识之间的联系和统一。在概念的理解上，素养本位的变式教学具有整合性；在内容架构上，素养本位的变式教学又具有共通性。变式教学的实践应用对学生积累数学活动经验、建构数学概念、感受知识发生发展、关注数学能力发展起着重要作用。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求我们聚焦思维、发展能力，将知识和能力统一起来，让学生能够主动经历知识的发生、发现、发展的过程，让学生在观察、操作、体验、思考的过程中理解和掌握数学学科的本质，真正实现育人的目的。在实践层面践行变式教学很有意义，变式教学的核心在于变换问题情境、正反例证和呈现方式，不变的是知识的内涵和原理。本文在变式教学实践层面，努力将素养本位下的变式教学付诸实践。

一、多角度建构概念的形成过程，以丰富的形式凸显概念性变式本质

概念性变式通过变化让学生从多个角度加强对概念的理解，从而达到举一反三、闻一知十的目的。数学概念是数学对象的本质属性，是在具体的实例中经过长期观察、概括抽象出来的。

1.通过直观材料和具体操作变式引入概念

素养本位下的变式教学是学生掌握概念的重要路径，在教学中，教师可以借助多种形式的直观材料或者例子来引入变式教学。比如，教学“11的认识”时，教师通过摆小棒、用计数器拨数等来表示11，用不同形式的直观材料来说明11这个数的本质特征，用小棒表示就是把10根小棒捆在一起表示1个十，剩余1根小棒表示1个一，这样构成11；在计数器的十位和个位各拨1颗珠子，十位上的1表示1个十，个位上的1表示1个一，这样合起来就是11。在操作、观察、思考、探索的过程中让学生成为学习的主体。

2.借助非标准形式诠释概念的本质属性

弗伦斯·马顿曾指出，当某个现象或某个事物的一个方面发生变化，而另外一些方面保持不变时，变化的方面就会被识别出来。比如，在教学“平行和相交”时，教师可以将标准图形和非标准图形进行对比，通过变换位置、大小来凸显实物的本质特征。在表示不在同一平面的两条直线的位置关系时，教师可以借助立交桥这一鲜活的直观素材，让学生直观地感受图形的变式，通过这种方法，学生能够依据平行和相交的原理，设计出美丽的图案。此时，教师要引导学生发现现阶段学习的相交都是在同一个平面内的。

3.借助非概念变式，厘清概念本质特征

通过比较非概念图形和概念图形，可以直观地揭示出概念的本质属性。比如，教学直径的概念时，教师可以通过非概念变式，让学生深入理解直径的定义，利用反例变式厘清概念本质。在辨析圆的直径过程中，学生逐步明确：一端不在圆上、没有通过圆心的线段和两端在圆上但是没有通过圆心的线段都不能称为圆的直径。非概念变式的形式多样，整体来说有两类：一是来自概念的逻辑关系，二是基于学生常见的错误。

二、用活过程性变式，有层次推进数学活动

义务教育数学学科课程的宗旨是落实立德树人的根本任务，让学生逐步形成适应终身发展的核心素养。素养本位下的变式教学注重对内容的结构化整合，注重探索发展学生核心素养的路径。素养本位下的变式教学重视学生直接经验的形成，在教学活动促进学生素养的发展，鼓励学生在真实情境中发现问题，在应用过程性变式中厘清概念，尝试用多种方法解决问题。

1.从具体到抽象，促进概念的形成

概念性变式通过使用一些实物、例子或模型来引入数学概念，在学习概念的过程中，教师要让学生充分主动参与体验概念的形成过程，充分感知引入概念的必要性。不过需要注意的是，丰富的材料虽然能拉近数学知识与学生实际生活的距离，但是最终的落脚点要落在抽象的数学对象上。所以，在大量的现实举例中甄别、剥离出数学概念的非本质特征，抓住数学概念的本质特征或者概念内核，应是变式教学的重点。

以“方程”概念的教学为例，要解决的两个教学目标是：一是平衡思想，二是掌握未知数的表示意义。如果只是根据未知数和等式两个条件举反例鉴别是不是方程，学生能较容易达到教学目标。理解方程的意义一般经过三个步骤：第一步，利用具体的图示表示未知的量；第二步，符号化代表未知的量；第三步，用一般意义的符号替换未知数。比如：“小强花了20元，买了3支钢笔，找回2元。问：每支钢笔多少钱？”学生可以根据文字描述，3支钢笔价钱加2元等于20元。也可以用符号记录3x+2=20，从具体代数到简写代数再到符号代数的过程，学生进一步加深了对方程概念和用字母表示未知数的理解。这样，学生不仅能体会平衡思想，还对“未知数”概念有了更深刻的理解。

2.基于以前活动经验，建立新旧知识的关联

过程性变式的一个重要作用在于，它采用小步子多阶梯设置问题，降低知识理解的难度。以“平行四边形的面积”为例，平行四边形的面积到长方形的面积变化是有跨度的。此时，教师需要借助将格子图作为辅助工具，让学生在数格子的过程中探寻平行四边形面积的关系。学生在“没法数”到“能数”的矛盾冲突中，通过“拼、移、数”的操作，分步骤实现 “剪、拼、算”的转化，让学生经历从低级思维到高阶思维的过程，将逐行数变成只数一行，运用乘法公式进行计算，学生在探究问题的过程中经历从猜想到验证、从计算到思考的过程，以培养学生的严谨思维和理性精神，有助于学生积累活动经验和提高解决问题的能力。

3.建构基本活动经验，培养创新思维

问题设计可以从封闭走向开放、从直接走向间接、从正向走向逆向，变式教学的一个重要目的是培养学生的逆向思维能力，通过将传统的正向问题改成逆向问题，如对数量关系进行逆向思考的训练，是变式教学的一个重要的方式。教师可以给出两个相关联的数量，当学生顺向思考后，引导学生逆向思考，获得解决问题的方法。比如：公交车上有22人，第一个站点有3人下车，另一个站点上来7人，现在一共有多少人？这种“走了”和“又来了”的关系概念，用数学语言来表示就是“减”和“加”的关系。根据题目的顺序，以22-3+7=□的关系式来表示和计算。这是从条件出发到问题解决的正向问题；如果把题干和问题改为：公交车上现在有26人，前一个站点有3人下车，后一个站点上来7人，公交车上原来有多少人？通过变式将其改成逆向问题。这个问题的基本数量关系和前面的问题是一样的，即□-3+7=26。要解决这个问题，从逆向的角度思考：26-7+3=□。逆向问题编制都是基于正向问题创设的，正向问题给予学生越多，可以改编成的逆向问题也就越多。

这个层次的练习是在新授课后进行的，这些习题形式多样，叙述的方式也比较灵活，一般都可直接运用所学的知识来解答。其目的在于让学生形成正确概念，掌握基本的计算方法，厘清这部分知识之间的关系。在设计变式练习时，教师应该抓住以下几个环节：一是合理过渡，知识点之间有梯度、有衔接，从内容上看是有难易区分的，从方法上看是可以迁移的；二是坡度，设置恰当合理的思维阶梯，有利于调动学生的学习积极性；三是密度，教师需要围绕新授内容，在课堂内组织充分而足够的练习，以确保课内大部分或全部问题得到解决。编制有层次的习题，从形式上看立意要新颖，将条件隐含或者缩减，将习题中的数据去掉，看似加大了解决问题的难度，但学生若能抓住素养本位下的核心概念去分析，去探索问题的本质，推出一般的规律。这样的变式练习富有新意能促使学生从单调性思考走向创意性表达。

三、落实素养本位，在变化中保持整体性和一致性

1.从单一到整合，注重整体理解

素养本位下的变式教学更加注重数学学科内的单元整合。教师要选择合适的教学内容，制定有层次的教学目标和实施路径，关注问题本质的探究。比如“有趣的比例”一课，要求学生在具体的情境中认识比例，理解和掌握比例的基本性质。在教学中，教师对比例单元知识进行大单元整合分析，创设趣味系列活动让学生自主探究，如通过“杠杆原理”实验探究巩固反比例知识的应用。在“正比例”的教学中，教师引导学生通过“有趣的影子”来测量实际物体的高度，根据在同一时间物体的影子和物体实际高度的正比例关系来测量旗杆的高度。让学生在实际应用中感知正比例是两个相关联的量，比值是一定的，一个量和另外一个变化是一致的。

2.从多元到一致，关注问题本质

在教学中，教师要通过语义变式、图形变式、方法变式，以不同的形式反映事物的本质特征，以形式的改变使学生进一步理解概念，发展学生的思维能力。比如，明晰厘清比例的意义，可以借助长方体，利用数形结合的方法，理解比例的意义和基本性质，在比的具体意义里找出比值相等所表示的含义。探究比例的意义时，教师要引导学生发现，两个内项乘积表示什么，两个外项乘积又表示什么。在观察中思考：两个外项的乘积等于两个内项的乘积，都是底面积乘高，得到的是同一个长方体的体积。不同的底面积乘不同的高得到相同的长方体体积。再比如，在探究数的认识和数的运算一致性时，以乘法为例，在整数乘法中2×4=8，在小数乘法中0.2×0.4=0.08，在分数乘法中[45]×[25]=[825]，在构建整数、小数和分数的乘法中找到关联，引导学生打通整数乘法、小数乘法、分数乘法算法的联系，体会乘法运算算理上的一致性，把握乘法运算的本质：计数单位与计数单位相乘得到积的计数单位，个数与个数相乘得到积的计数单位的个数。

时代的发展变化，依托的还是人的发展。审视我们的课堂，学生解决常规问题熟练有余，但在解决综合性问题和开放性问题时仍然不足。所以，关注学生立场素养本位的变式教学就显得尤为重要。教师要将概念性变式和过程性变式教学的理论付诸实践，努力克服“只顾概念”和“只管过程”两个倾向。教师要提供适切的变式材料，让学生在辨析中厘清学习对象的本质属性，直抵概念变式的内核；还可以在过程变式中选取更适合的工具、更适切的步子，帮助学生学习知识技能，实现知识和思维从浅水区到深水区的转变，最终建立素养本位下的数学变式教学的知识与思维相结合的目标结构。

（作者单位：山东省烟台高新技术产业开发区益文小学）