依托数学联想，提升思维品质

联想是由当前感知或思考的事物想起有关的另一事物，或由此再想起其他事物的心理过程。在小学数学教学中，培养学生的联想能力，让学生建立知识间的内在联系，加深学生对所学知识的理解，可以起到举一反三、触类旁通的作用。因此，在教学中，教师要善于运用数学知识间的各种关系，引导学生展开丰富的联想，多角度思考问题，帮助学生形成良好的认知结构，运用已掌握的数学知识和数学方法解决实际问题。

一、联想需要“原型”

数学知识“原型”实质上是一般化程度很高的基础知识和基本原理。联想就是凭着“原型”进行的，要展开丰富的联想，就需要积聚越来越多的“原型”。因此，在教学中，教师必须通过不同知识的教学，帮助学生做好知识系统的整理工作，将大量碎片化的知识组成有条理、有系统的结构，让学生对“原型”做到深度理解。当学生面临新的情境时，“原型”便会不召自来，从而产生积极的联想。

例如，教学苏教版小学数学教材六年级下册“平面图形的面积整理复习”时，可以进行如下教学设计。

师：同学们，请看大家整理的网络图，思考一下，在这些图形中谁的地位比较特殊？

生：长方形的地位比较特殊。因为长方形的面积公式是学习其他图形面积公式的基础。

生：后面的图形可以直接或间接转化成长方形。

师：是的，长方形的面积计算方法是学习其他图形面积计算方法的基础，还有一个图形的面积公式也很特殊，那就是梯形的面积公式。有人说梯形的面积公式是万能公式，你们知道是为什么吗？

生：是不是说梯形的面积公式可以用来计算所有图形的面积？

师：我们来尝试一下，如果把三角形看作梯形，那么这个梯形的下底是a，上底和高呢？

生：上底是0，高是h。

师：那我们用梯形的面积公式算一算。

生：三角形的面积S=[1/2]（0+a）h=[1/2]ah。

师：那其他图形呢？你们想不想试一试？请每个小组选择一个图形进行探究。

师：谁来汇报一下？

生：把平行四边形看作梯形，这个梯形的上底是a，下底是a，高是h。那平行四边形的面积公式可作如下推导：S=[1/2]（a+a）h=[1/2]×2×a×h=ah。

生：把长方形看作梯形，这个梯形的上底是a，下底是a，高是b。那长方形的面积公式可作如下推导：S=[1/2]（a+a）b=[1/2]×2×a×b=ab。

生：把正方形看作梯形，这个梯形的上底是a，下底是a，高是a。那正方形的面积公式可作如下推导：S=[1/2]（a+a）a=[1/2]×2×a×a=a2。

师：看来说梯形的面积公式是万能的，的确有它的道理。通过刚才的交流我们发现，这些图形的面积公式之间都是相互联系、融会贯通的。

教师通过引导学生交流平面图形面积公式的推导过程，实现对旧知识的重新组织与建构，帮助学生形成了一个良好的认知结构。尤其是在探索“梯形的面积公式是万能公式”的过程中，学生通过联想再次感受面积计算模型之间的内在联系，使学生对平面图形面积公式间关系的理解更有条理和系统化。

二、联想需要“问题”

数学联想能力的培养离不开有任务、有方向和有思考的好问题。因此，在教学中，教师要创设问题情境，巧妙构思，精心设问，适时选择外形特征明显，或转化后易于学生观察、便于产生联想的问题，调动学生已有的知识和经验，使他们产生联想的欲望，从而主动获取知识。

例如，教学苏教版小学数学教材三年级下册“比较分数的大小”时，教师可以进行如下教学设计。

师：刚才我们进行了同分母分数大小比较的练习，接下来，大家还想比较怎样的分数大小？

生：如果是分子相同的分数，该怎样比较大小呢？

师：你能从同分母分数的大小比较联想到同分子分数的大小比较，真好！

（教师出示[1/3]与[1/4]、[3/8]和[3/5]，组织学生进行比较）

……

师：刚才我们比较了分子相同分数的大小，你还想比较怎样的分数大小？

生：要是分子和分母都不相同，这样的分数怎样比较大小呢？

师：你联想得真好，五年级我们进一步学习分数时就能比较这种分子分母都不相同的分数大小。

教师在学生掌握了比较同分母分数大小的方法后，用“接下来，大家还想比较怎样的分数大小”的问题，引导学生由分母相同的分数大小的比较联想到分子相同的分数大小的比较，继而又联想到分子分母都不相同的分数大小的比较。这里教学的重点不是让学生掌握比较分数大小的方法，而是引导学生由眼前的知识联想到与之有联系的知识，把学生的思考引向新的方向。

三、联想需要“表达”

联想的表达就是让学生用数学的语言表达思维过程，促进思维的清晰化。学生通过联想将自己对数学的理解或在解决数学问题过程中的观点、思想和方法等，通过恰当的形式准确、流畅、有条理地表达出来。这一过程有利于学生积极思考，让学生在主动学习中不断完善和提升自我。

师（出示）：例如，甲、乙、丙、丁四人共同生产一批零件，甲生产的零件数占另外3人生产零件总数的[13]，乙生产的零件数占另外3人生产零件总数的[12]，丙生产的零件数占另外3人生产零件总数的[14]。已知丁生产了39个零件，那么甲、乙、丙、丁4人共生产零件多少个？

（学生独立探究，小组内交流）

师：哪个同学来说一说你的想法？

生：要求4人共生产多少个零件，要找到丁生产的39个零件对应单位“1”的分率。

生：我发现甲、乙、丙生产零件分率所对应的单位“1”各不相同。

生：我们可以转化条件，找不变量（甲、乙、丙、丁4人生产零件的总个数）作为单位“1”。那么甲生产的零件个数是零件总个数的[14]，乙生产的零件个数是零件总个数的[13]，丙生产的零件个数是零件总个数的[15]。

师：真会联想，找不变的量。

生：接下来我们就可以求出4人生产的零件总个数了，用39÷（1-[14]-[13]-[15]）=39÷[1360]=180（个）。

遇到分数类实际问题时，学生首先会从找单位“1”入手，分析数量关系。可是，在这个问题中，我们发现3个分率所对应的单位“1”各不相同，数量关系相对来说也比较复杂。既然一般方法行不通，这时学生可以联想到分数实际问题的特殊解法：转化条件，找不变量“4人生产零件的总个数”作为单位“1”。学生充分表达了转化后甲、乙、丙3人各占“单位1”的分率，再用丁生产零件的个数除以对应零件总个数的分率，就可以求出4人共生产的零件总个数，从而顺利解决问题。

四、联想需要“方法”

“授人以鱼，不如授人以渔”，不同的思维内容决定了不同的思维方法。教师可以根据联想思维的特点，结合平时的教学，以示范的形式，教给学生一些数学联想的方法，引导学生从学习中不断总结探索，积累经验，使学生的联想更加丰富有效。

1.类似联想，知识迁移。类似联想是指具有相似特征的事物之间形成某种联系，而由一种事物想到另一种事物的过程。教师要潜心组织，启发引导学生类似联想，促进知识的有效迁移。如教学“一个数乘分数的意义”时，教师可以让学生展开联想，自行领悟和概括。

（1）270×3表示 （2）270×[710]表示

270×11表示       270×[65100]表示

270×0.7表示       270×[1861000]表示

270×0.65表示

270×0.186表示

（3）270×[37]表示

270×[1130]表示

（4）概括：一个数乘分数的意义。

在上述教学过程中，教师充分挖掘和运用知识间相似的联系，引导学生展开联想，利用头脑中既有的相关知识和经验，水到渠成地获取新知识。学生在展开联想的过程中建构了良好的认知结构，同时加深了对新知识的意义理解。学生由一个数乘整数的意义联想到一个数乘小数的意义，再联想到一个数乘分母是10、100和1000的分数的意义，最后联想到一个数乘分数的一般意义。由于每次联想都有邻近的旧知识作为媒介，所以学生展开了连续的类似联想，获得了新知识。

2.对比联想，逆向思考。对比联想则是由对某一事物的感知和回忆从而引起对与之具有相反特点事物的回忆。学生面对具有相反关系或对比关系的事物或问题也会产生联想。学生学习某一新知识后，教师可引导学生运用对比联想，进入与之相反的未知领域，有利于学生更深刻地理解知识。如教学“三角形的面积计算”时，当学生掌握了三角形面积计算公式后，教师可以让学生解决以下实际问题。

（1）一块三角形交通标识，底是8分米，高大约7分米，它的面积大约是多少平方分米？

（2）一块三角形菜地，长是30米，宽是46米，这块菜地的面积是多少平方米？

（3）一块三角形钢板，底是7.2米，面积是1.44平方米，问底所对应的高是多少米？

（4）直角三角形的两条直角边分别是3.6厘米和4.8厘米，斜边长是6厘米，那么斜边上的高是多少厘米？

通过这样的练习，学生不仅在对比联想中从正、反两方面掌握了三角形面积计算公式，而且经历了逆联想过程，既培养了学生的正向思维能力，又培养了学生的逆向思维能力。

3.因果联想，主动推理。因果联想是对具有因果关系的两类事物之间的联想。学生对事物或问题进行分析时，常常要把有关对象作为一种结果，联想产生它的原因；或反过来，把有关对象作为原因，联想它产生的结果。数学中的因果关系比比皆是，因此，在数学教学中，教师要充分利用因果联想，促进学生推理意识的发展。

学生在获取新知识时，常常需要进行因果联想。例如，教学100×[34]时，首先联想到算式的意义，它表示求100的[34]是多少，也就是把100平均分成4份，取3份，于是转化成100÷4×3；接着又联想到分数与除法的关系，转化成[1004]×3；然后又联想到分数乘整数的法则，得到[100×34]；最后，比较100×[34]与[100×34]，得到整数乘以分数的法则。前面分析中的各个环节都是“因”，最后的法则就是“果”。

4.接近联想，解决问题。接近联想是由于事物之间在时空、性质等方面的接近，在经验中容易形成联系，而由一个事物联想到另一个事物的过程。在教学中教师要善于把握学生的认知基础，找准新知识的生长点，充分挖掘和应用知识间相似或相近的联系，帮助学生通过联想使认知结构中既有的相关知识和经验复活起来，积极主动地获取解决问题的途径，从而使问题得到解决。

学生在学习的过程中，往往是凭借已经掌握的数学知识和数学思想方法进行联想的，实现对旧知识的再一次自主建构和新问题的顺利解决。例如，教学“梯形面积的计算公式”时，教师可以引导学生联想三角形面积公式是通过怎样的操作推导的；教学“除数是小数的除法”时，教师可以引导学生联想除数是整数的小数除法；教学“异分母分数加减法”时，教师可以引导学生联想同分母分数加减法，从而促成知识转化。

学生解决实际问题时，有经验的教师常常不会把解题方法和盘托出，而总是针对学生知识的淤塞处调度“原型”去疏通和引导，让学生自觉从“原型”中展开联想，找到契机，解决问题。例如，为了让学生探索“98.5×6.5+9.85×35”的简算方法，教师设计了题组，用“原型”去引导学生联想。

（1）83.5×3.7+83.5×6.3

（2）72.3×0.72＝7.23×（ ）

（3）98.5×6.5+9.85×35

学生借助“原型”题（1）（2），运用接近联想，把原有经验融入第（3）题中，不仅实现了98.5×6.5+9.85×35＝98.5×6.5+98.5×3.5（或9.85×65+9.85×35）的转化，而且培养了学生思维的深度和广度。

总之，在教学中，教师要学会运用联想的方法，帮助学生增强联想的意识，养成自觉进行联想的好习惯。教师要抓住契机引发学生联想，唤起学生对旧知识的回忆，建立知识间的联系，提供解决问题的线索，从而帮助学生探索新知识和解决问题，更好地培养学生良好的思维品质。