在“多拿少给”活动中亲历数学建模

一、课前思考——基于素养整体建构

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：让学生经历将具体问题数学化的过程，初步形成模型思想，体会和理解数学与外部世界的紧密联系，发展抽象能力、推理能力和应用能力。在课堂教学中让学生了解和经历数学模型的形成过程，有助于培养学生的数学核心素养。人教版小学数学教材利用数学广角系统，有步骤地渗透数学思想方法，引导学生通过观察、操作、推理、交流等活动，抽象出数学模型，初步感受数学思想方法的作用。

人教版小学数学教材六年级下册的“鸽巢问题”，也叫抽屉原理，是组合数学的重要原理。“鸽巢问题（抽屉原理）”揭示了事物的一种“存在性”，它蕴含了丰富的数学思想方法，如抽象、推理和模型思想，数形结合、列举法、假设法、分类等数学思想方法也有体现。教材编排了三个例题，以学生常见的、可操作的事物为素材，让学生借助实际操作理解鸽巢问题的一般原理。第1个例题是n＋1只鸽子，飞进n个笼子里，不管怎么样，总有一个笼子里至少有2只鸽子的结论。例题2是a只鸽子，飞进b个笼子，每个笼子c只鸽子，余d只鸽子，不管怎样，总有一个笼子至少有c＋1只鸽子的结论。例题3是抽屉原理应用的逆思考，这部分内容非常抽象，学生对原理的掌握看似全面，但理解不够深刻透彻。

在当前大单元整体教学的背景下，如何进行本单元几个例题的教学？如何调动学生的已有知识经验实现思维上的跨越以及模型的有效建构呢？教师可以从单元视角对教学内容进行整体思考与设计，将例1和例2的内容进行整合串联，帮助学生体会假设法和模型法，让学生亲历建模过程，积累数学活动经验，培养学生的数学模型思想。

二、教学实践——重视思想，提炼模型

（一）创设情境，感知模型

师：老师带了3支漂亮的笔作为奖品，现在想奖给你们认为数学学习表现最棒的一个同学，但又想留部分奖品给本节课表现优秀的同学。咱们来玩个游戏，老师如果把这3支笔任意分开放入2个笔筒中，想一想，你们会选择哪个笔筒？至少可以拿走几支笔？

生（先思考片刻）：不管老师怎么放，总有一个同学至少可以拿走2支笔。

师：至少表示什么意思？

生：可以拿走2支，或2支以上。

（教师演示验证）

师（小结）：3支笔任意放入两个笔筒中，总有一个笔筒里至少有2支笔。

师：总有表示什么意思？

生：不论第一个笔筒还是第二个笔筒，肯定有一个笔筒至少有2支笔。

【设计意图】数学模型都具有现实的生活背景。教学中，教师从儿童视角出发，创设“发奖品”活动情境，激发学生的学习兴趣，同时引入本节课的教学内容。“发奖品”是学生熟悉的、简单的情境，因为学生想多拿奖品，所以很容易就会关注每一种分法中最多的那个笔筒的笔的数量，也不会受多种排列情况的影响。为帮助学生理解“总有、至少”这两个关键词，教师利用3支笔放入2个笔筒中这一基础数学模型，让学生在熟悉的具体情境中理解它们的含义，降低学生的学习难度，找准学生知识的生长点，为后续学生建模奠定基础。

（二）自主探究，抽象方法

师：刚才这个同学表现得最积极，老师现在拿出4支笔作为奖品，但又不能全部奖励给他，继续来分笔，如果把这4支笔任意放进3个笔筒中，让他选择其中一个笔筒里的笔，他至少可以拿走几支笔？

师：请用摆一摆、画一画或写一写等方法把自己的思考过程与结果表示出来。

1.展示作品，反馈交流（枚举法）

（教师有针对性地选择两名学生的作品：实物图和数字分解图）

生：有4种分法，得到（1，1，2）、（2，2，0）、（3，1，0）、（4，0，0）。

师（操作实物验证，得到有序无遗漏）：通过横向、纵向比较同学们的作品图，大家得出了什么结论？

生：发现不管哪种放法，他能拿到4支、3支或2支笔，也就是至少2支。

师：也就是说，总有一个笔筒里至少有2支笔。

师（小结）：刚才我们在研究“3支笔放进2个笔筒里，4支笔放进3个笔筒里”，都采用了一一列举的方法，这种方法叫做枚举法，枚举法是研究问题的一种基本方法。

2.寻找求至少数的简便方法（假设法）

师：如果只摆一次奖品，就要能保证这个同学拿到的是至少数，你们会怎么摆？

生：先在每个笔筒里平均放1支笔，再把剩下的1支笔任意放进一个笔筒里，就能得到总有一个笔筒里至少有2支笔。

师：为什么要先在每个笔筒里放1支笔？

（结合学生回答，教师再次操作验证）

生：把4支笔平均放3个笔筒，每个笔筒都有1支笔，还余1支笔，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支笔。

师：这样只能证明总有一个笔筒里肯定有2支笔，怎么能证明是至少数呢？

生：假设平均分才能使每个笔筒中的笔尽可能少，这是拿奖品的同学最不利的情况，其他的摆法他拿到的奖品就可能更多了。

师：你们可以用算式表示上面这种平均分的过程吗？

［学生板书：4÷3=1（支）……1（支），1+1=2（支）］

师：这两个“1”意义一样吗？

（根据学生回答教师小结：一个表示商，一个表示余数）

师（小结）：假设每个抽屉先平均放1支，余下的任意放进一个抽屉里，这样就能很快地找到至少数，这种方法我们叫做假设法。

【设计意图】本教学环节中，教师继续沿用“发奖品”的情境，利用枚举法、假设法，引导学生有序思考，让学生经历问题解决的过程，在观察中思考，在思考中总结，在总结中说理。之后从枚举法中抽象出求至少数的简便方法——假设法，理解用有余数的除法算式表示出平均分的过程，这其中有“最不利原则”的渗透。“如果只摆一次奖品，就要能保证这个学生拿到的是至少数，你们会怎么摆？”精准的提问能引发学生有效思考，于关键处点明主旨，“最不利原则”“有序思考”等数学思想，降低了学生对“总有”“至少”两个词理解的难度，从而有效突破了教学难点。

（三）合情推理，建立模型

1.加深感悟

师：如果把5支笔放进4个笔筒中，总有一个笔筒里至少有（ ）支笔。想一想、画一画、写一写，选择你喜欢的方法尝试完成。

（教师巡视，挑选没有动笔就举手的学生回答问题）

师：为什么你不动笔就举手？有答案了吗？

生：假设每个笔筒里先平均放1支笔，剩下的1支笔无论怎么放，总有一个笔筒里至少有2支笔。

师：寻找至少数最简便的方法，可以利用假设法来思考问题。

2.概况规律

师：独立思考，完成下面各题。

把6支笔放进5个笔筒中，总有一个笔筒里至少有（ ）支笔。

把10支笔放进9个笔筒中，总有一个笔筒里至少有（ ）支笔。

把100支笔放进99个笔筒中，总有一个笔筒里至少有（ ）支笔。

把n＋1支笔放进n个笔筒中，总有一个笔筒里至少有（ ）支笔。

6只鸽子飞进5个鸽巢，总有一个鸽巢里至少有（ ）只鸽子。

10个苹果放进9个抽屉里，总有一个抽屉里至少有（ ）个苹果。

师：你们为什么都采用假设的方法来分析，而不是用画图法或枚举法呢？

生：因为画图法与枚举法虽然很直观易理解，但是烦琐，而选择假设法是找到至少数最便捷的方法。

3.建立模型

师：观察并思考我刚才提供的这些题组，同学们小结一下至少数是多少？都是怎样求出来的？

生：当物体数比抽屉数多1，总有一个抽屉里至少有2个，可以列除法计算。

（教师结合题组，揭示规律并板书课题）

【设计意图】本教学环节中教师旨在让学生理解“枚举法”的局限，逼迫学生找到更合适简洁的方法。通过题组训练，引导学生思考，优化得出平均分的方法最快也最能体现“总有一个笔筒里至少放进2支笔”这一结论，学生的思维在观察、说理的过程中逐步走向深入，从中提炼出“鸽巢问题”最基本的模型，层层递进，水到渠成。通过题组训练，类比迁移，将笔转化为鸽子、苹果等，自然演变成“鸽巢问题”，让学生积累丰富的数学思维活动经验，经历抽象、推理和概括的思维活动，为理解、优化模型，培养学生的建模思想打下良好的基础。

（四）拓展迁移，完善模型

师：如果余数不是1，至少数又应该怎么求？

［课件出示：把5支笔放进3个笔筒中，总有一个笔筒里至少有（ ）支笔］

生（先操作，再交流）：先把5支笔平均分，然后把剩余的2支笔再平均分，从而找到至少数。

师：为什么剩下的2支笔还要平均分？

生：要考虑拿奖品的学生最不利的情况，剩下的2支笔还要平均分，才能得到至少数。

师：请用算式表示思考的过程。

［学生板书：5÷3=1（支）……2（支），1+1=2（支）］

师：这两个1意义一样吗？

生：第一个1是第一次平均分的笔，第二个1是第二次平均分的笔。

师：同学们，独立思考完成下面题组练习，并和同桌交流你们的想法。

（1）把7支笔放进3个笔筒中，总有一个笔筒里至少有（ ）支笔。

（2）把8支笔放进3个笔筒中，总有一个笔筒里至少有（ ）支笔。

（3）把9支笔放进3个笔筒中，总有一个笔筒里至少有（ ）支笔。

师（小结）：把笔放进笔筒，如果总数平均分后有剩余，再平均分余数，那么总有一个笔筒里至少放“商＋1”支笔；如果正好分完，至少数就是商。

师：商为1是抽屉原理的特殊情况，抽屉原理的一般形式是把物体先平均放进抽屉里，如果总数平均分后有剩余，那么总有一个抽屉里至少放“商+1”个物体；如果正好分完，至少数等于商。

【设计意图】本教学环节的探究活动，旨在让学生将隐性的数学思想方法显性化。通过变式训练，放手让学生自主研究“余数非1”的情况，学生在不断地思考与交流中进行抽象概括，完善模型的建构，并学会用数学思想方法思考问题。从“余数是1”的一般形式，迁移到对“余数非1”鸽巢问题的探索，强化对“最多中的最少”的理解，让学生真正明白假设法的本质是保证物体每次都要尽量平均分，在最不利情况下考虑至少数，用“假设”的思路进行推理，建立例1、例2的本质联系，体现整个知识体系的完整性，渗透大单元整体教学理念。

三、课后反思——以生为本深研课堂

“抽屉原理”来源于一个基本的数学事实，是解决某种特定结构的数学问题或生活问题的模型。本节课精选素材创设情境，重视学生对数学思想方法的感悟、提炼与应用，让学生经历将具体问题数学化的过程，初步形成模型意识。

（一）情境驱动，创造性使用教材突破难点

好的情境必须是具有问题驱动力的，同时又是学生熟悉的、可拓展的、没有歧义的，能有效突破教学重难点。本节课没有使用教材中“玩扑克牌”的情境，而是巧妙设置“多拿少给”发奖品活动，用“一笔”贯穿全课，这个有趣的、简单的、贴近学生实际的情境有利于学生理解“鸽巢问题”，激发学生学习积极性。在“多拿少给”活动中，学生关注每一种分法中最多的那个笔筒中笔的数量，不会受多种排列情况的影响，有效化解了学习难点。

（二）抽象推理，经历完整数学建模过程

综合实践课重在培养学生抽象、推理、建模的能力，促进学生进行有效数学思考。本节课通过“多拿少给”发奖品活动，由直观操作感知模型，再通过观察、对比、分析、优化，借助实物操作或画图的方式进行说理，逐步抽象出简约的除法模型，并通过数量拓展与变式训练，帮助学生完成推理过程，最后概括出解决“鸽巢问题”的一般模型。课堂小结时，教师再次回顾建模过程，促进学法内化，真正让学生用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界，从而有效培养了学生的数学核心素养。

（三）沟通联系，有效整合知识优化教学

深度学习倡导单元学习，教师要对教学内容进行二度开发，提高教学设计的规范性和系统性，增加学习过程的体验性、互动性和生成性。本节课以“问题情境—建立模型—应用拓展”的模式展开，将教学重点放在例1的教学，让学生经历抽象、推理、建模的过程，然后将例2作为例1的变式拓展应用，两个例题合二为一进行教学，一方面培养了学生的迁移应用能力，另一方面便于学生沟通知识的本质联系，形成系统与严谨的知识认知结构。

（作者单位：江西省上饶市广信区第九小学 江西省上饶市广信区教学研究中心）