数学教材结构化设计的理论基础、基本原则与优化路径

【摘  要】结构化设计是教材编写的主要策略。这种策略以建构主义学习理论、皮亚杰的认知发展理论、布鲁纳的学习理论、结构主义理论为基础，以学生中心、逻辑性、系统性、领域内容结构化为基本原则。这些理论和原则在国内外数学教材设计中得到了不同程度的体现。结合教材设计实例可以得出优化教材结构化设计的路径：搭建知识框架，注重层次化与递进性；凸显跨领域整合，强化应用性与情境化；推动跨学科整合，拓展数学应用场景。

【关键词】数学教材；结构化设计；理论基础；基本原则；优化路径

教材连接教学目标与教学实践，既是教师规划教学活动的重要依据，又是学生获取知识、提升能力的主要载体，其设计质量直接影响教学质量。《义务教育数学课程标准（2022年版）》在课程理念部分提出“设计体现结构化特征的课程内容”的要求，强调课程内容组织的重点在于“对内容进行结构化整合，并探索发展学生核心素养的有效路径”。基于此，本文探讨数学教材结构化设计的理论基础与基本原则，并结合实例探析优化数学教材结构化设计的路径，从而明确数学教材设计的正确导向与科学方法，提升数学教材结构化设计的科学性与实效性，使之更好地服务于教学实践。

一、数学教材结构化设计的理论基础

（一）结构化设计的内涵

有研究提出，结构化设计是一种以知识的逻辑体系为核心，通过科学方法分层次、分模块组织教材内容的设计理念。这种设计理念旨在通过清晰的内容结构提升教材的教学效能和学生的学习适应性，帮助学生构建完整的认知框架。数学学科具有高度的抽象性与逻辑性，这种特性要求教材内容的组织不仅要遵循数学知识发展的内在脉络，以体现数学学科的逻辑体系，还要充分考虑学生认知发展的阶段性特征，以有效达成教学目标。

（二）相关的理论支撑

基于结构化设计的内涵，从学生学习的角度思考数学教材的结构化设计，我们可以总结出以下四点认识。第一，学生是知识的建构者，数学教材结构化设计应通过具有逻辑性和系统性的内容组织，促进学生主动整合新旧知识，建构个性化的内在知识体系。第二，学生的认知发展具有阶段性，数学教材结构化设计需结合学生不同的发展阶段，合理安排与其认知水平相适应的教学内容。第三，数学知识的呈现需体现层次性，数学教材结构化设计应通过从具体到抽象的多层次表征过程，逐步引导学生深化数学理解。第四，数学知识之间具有内在的逻辑关系，数学教材结构化设计要通过搭建清晰的知识框架帮助学生提炼规律并迁移运用。

以上四点认识与建构主义学习理论、皮亚杰的认知发展理论、布鲁纳的学习理论、结构主义理论的核心思想相契合。以这些理论为指导，深入探讨数学教材的结构化设计，有助于提升数学教材设计的科学性与结构化水平。

1.建构主义学习理论

建构主义学习理论认为，学习是主动建构的过程，学习者需要将新知识融入已有的知识框架中，从而形成更加完整和深刻的认知体系。该理论的核心观点在于，学习者是知识的主动建构者，知识学习本质上是一种个体化的意义建构过程。维果茨基的最近发展区理论拓展了建构主义学习理论的内涵，强调学习并非完全孤立的个人活动，而是通过社会互动实现的。他强调利用有效的外部支持，促使学生在现有认知水平的基础上主动构建，从而实现更高层次的理解。对数学教材的结构化设计而言，这种外部支持不仅体现于通过逻辑性、系统性的内容组织提供的知识框架，还体现于通过层次分明的内容呈现提供的认知路径。

总体而言，学生通过与教材、教师和同伴的互动，主动吸收新知识并将其与已有知识结合，形成不断发展的认知体系的过程，充分体现了建构主义学习理论所强调的“主动建构”思想。

2.皮亚杰的认知发展理论

皮亚杰的认知发展理论提出，儿童的认知能力随着年龄增长逐步发展，依次经历感知运动阶段（0～2岁）、前运算阶段（2～7岁）、具体运算阶段（7～11岁）和形式运算阶段（11岁及以上）。各阶段的学生在认知方式、逻辑思维能力以及抽象概念的处理上表现出显著差异。根据这一理论，数学教材的结构化设计应充分考虑学生不同认知发展阶段的特点，使其教学效能最大化。

以形式运算阶段为例。该阶段的学生已经具备一定的逻辑推理能力和假设性思维能力，他们不仅能处理具体的数学材料，还能理解和操作抽象的数学概念和符号。因此，这一阶段的数学教材结构化设计，一方面要加强符号化和抽象化内容的表达，帮助学生通过抽象表征深化已有认知；另一方面要提供更多的探索性学习机会，引导学生在自主思考和推理的过程中发现数学规律，通过问题解决提升抽象思维能力。这样设计有助于学生从以具体事物为依托的具象学习逐步过渡到以逻辑推理和符号操作为核心的抽象概念学习。

3.布鲁纳的学习理论

布鲁纳的学习理论不仅强调知识是个体主动建构获得的，还强调学习是一个递进的过程，伴随着认知结构的不断发展。他提出动作性表征、图像性表征和符号性表征三种知识表征方式，并说明这三种表征方式相互联系、逐步递进。这与学生从具象思维向抽象思维发展的认知过程相适应。这一理论为数学教材的结构化设计提供了重要的理论依据，有助于我们从学生的认知发展规律出发，科学组织课程内容。

从学生认知发展阶段来说，在具体运算阶段，教材内容设计应注重动作性表征，利用实物操作、实验演示等手段帮助学生建立直观认知；在具体运算向形式运算阶段过渡时期，教材可逐步引入图像性表征和符号性表征，设计更加抽象、更加具有探究性的内容，如符号运算和公式推理，帮助学生在不同认知层次上逐步深入地理解数学知识。从学生认知过程来说，结构化的数学教材内容应按照从感知操作到图像表征再到符号化表达的顺序组织。例如，初中数学函数单元内容可以先通过列表、画图等具体操作和形象化图示帮助学生理解基本概念，再引导其使用解析式等符号和关系进行推理与应用，逐步实现抽象概念学习。

4.结构主义理论

结构主义理论由列维·斯特劳斯提出。他在《结构人类学习》一书中提出其核心观点：知识和思维具有深层的逻辑结构，这种结构决定了个体对世界的认知方式。结构主义认为，复杂的知识体系由若干基本单元构成，这些单元通过特定的逻辑关系相互联系，从而构建整体的知识框架。通过分析单元之间的内在联系，学习者能够对知识全貌形成清晰的认知，并有效吸收新知识。

在指导数学教材结构化设计方面，结构主义理论给我们带来重要启示。一是教材要体现知识的系统性和层次性，注重知识之间的内在逻辑关系，帮助学生通过深入理解这些关系形成完整且深刻的认知结构。二是教材应构建知识的整体框架，因为结构主义强调知识理解要基于整体视角，学习者可通过分析各知识单元之间的联系把握知识的整体性，并从中提炼出规律性的认知。基于此，数学教材的结构化设计应确保知识内容之间形成清晰的逻辑关系。例如，通过领域化的内容设计，将相关知识点组织在同一主题或概念体系下，帮助学生在学习过程中发现各知识点之间的内在逻辑关系，并逐步理解它们所体现的数学规律；通过综合实践活动或项目式学习，构建不同主题或章节内容之间的联结，引导学生识别数学概念、定理及方法的共性，从不同问题情境和题型中提炼出具有普适性的数学思想方法，提高迁移与运用知识的能力，获取解决新问题的认知工具，从而提高学习效能。

二、数学教材结构化设计的基本原则

通过对建构主义学习理论、皮亚杰的认知发展理论、布鲁纳的学习理论、结构主义理论的探讨，我们可以明确数学教材内容的组织应体现逻辑性、系统性和层次性，契合学生的认知发展规律，注重学生学习主动性的激发，并反映知识的深层结构。基于这些理论，我们提出以下数学教材结构化设计的基本原则。

1.学生中心设计原则

基于建构主义学习理论，教材结构化设计应始终以学生为中心，充分考虑其认知水平与学习需求，设计符合其学习特点的内容。教材内容的编排需基于不同年龄阶段学生的认知能力，提供多样化的学习活动和问题情境，以激发学生的学习兴趣，促进学生主动学习。

2.逻辑性设计原则

依据皮亚杰的认知发展理论，教材结构化设计应注重知识点排列的内在逻辑关系，通过合理的知识推导过程和递进的概念认知过程，使学生理解数学知识的内在联系，掌握抽象的数学思想方法，为他们学习更加复杂的内容奠定基础。同时，教材内容的呈现需确保知识点之间逻辑关系清晰、衔接严密，避免混乱或断层。

3.层次化设计原则

基于布鲁纳的学习理论，教材结构化设计要遵循从具体表征到抽象表征的认知程序，保证相关内容在多个层次上得到呈现。例如，从动作性表征到图像性表征再到符号性表征，结构化的教材要确保在不同认知阶段分层次为学生提供适当的表征方式，使学生通过多样化的方式理解数学概念，逐步实现从感性认识到抽象理解的转变。

4.领域内容结构化设计原则

根据结构主义理论，教材结构化设计应将课程各领域内容结构化地呈现，以体现其系统性和关联性。具体来说，在初中数学教材中，数与代数领域内容的架构以函数为主体，突出函数与方程（组）、函数与不等式（组）之间的紧密联系；图形与几何领域内容的架构以“实验几何—论证几何”为主体结构，突出探究图形性质的认知活动；统计与概率领域内容的架构以“数据分析—可能性—统计推断”为结构，围绕数据相关活动进行。教材结构化设计应反映各领域内知识单元之间的逻辑关系，帮助学生全面理解与掌握数学知识结构。

上述原则的有机融合能优化数学教材内容的组织与呈现，为学生的数学学习提供系统的支持与指导。

三、数学教材结构化设计的优化路径

在明确数学教材结构化设计原则的基础上，我们可结合国内外数学教材的结构化设计实践，通过以下路径优化数学教材的结构化设计。

1.搭建知识框架，注重层次化与递进性

层次化的内容组织与递进性的知识安排是优化教材结构化设计的重要手段，有助于学生逐步构建系统的数学知识框架。教材设计应从学生的认知发展特点出发，根据其理解水平和学习能力，从基础概念到复杂应用逐步推进。以北师大版初中数学教材为例，其中“函数”内容分经验性理解、形式化理解、结构化理解三个学习阶段，贯穿七、八、九三个年级，被设计在不同册次教材中，力图帮助学生结构化地理解所学内容。同样，“方程”内容按照由浅入深的逻辑呈现，从一元一次方程入手，逐步扩展到二次方程及其复杂应用。通过这种递进式编排，知识内容之间形成清晰的逻辑层次，有助于学生在学习过程中逐步提升认知水平，构建完整的数学知识体系。

2.凸显跨领域整合，强化应用性与情境化

在构建知识框架的同时，教材结构化设计需要注重跨领域整合，以凸显数学知识的实际应用价值和情境化表现。跨领域整合不仅能将不同领域数学内容联系起来，还能结合其他学科知识与现实问题帮助学生体会数学的广泛应用价值。北师大版初中数学教材通过结构化编排实现课程内容的跨领域整合。例如，八年级上册前五章按“勾股定理—实数—位置与坐标—一次函数—二元一次方程组”的顺序编排，通过逻辑清晰的内容递进和领域整合，帮助学生在几何与代数、数与函数等领域之间建立联系。在情境化设计方面，教材通过实际问题将不同领域的数学知识串联起来，凸显数学知识的应用性，增强学习的趣味性。例如，“二元一次方程组”教材内容通过引入增收节支、汽车相遇等问题，让学生通过观察函数图象感受收入与支出、速度与时间等变量之间的关系，理解图象交点的含义与二元一次方程组的解之间的关系，将几何的直观化与代数的逻辑性，以及数与函数的动态性和抽象性有机结合，引导学生在分析具体数据的过程中构建抽象的函数模型，解决实际问题。

3.推动跨学科整合，拓展数学应用场景

在跨领域内容整合前提下，优化教材结构化设计的下一步是推动跨学科整合，拓展数学应用场景。国外数学教材的结构化设计普遍强调跨学科整合。例如，Math in Focus是一套以“主题整合”为核心设计理念的美国数学教材，它通过设计跨学科的问题情境将数学知识融入真实生活场景，引导学生在解决综合性问题的过程中深刻理解数学的实际意义，提升跨学科思维能力。教材中每个主题内容都从现实问题出发，逐步引导学生分析问题、提出假设，应用数学思想方法解决问题，最后反思和总结。例如，该教材“建筑设计”主题内容引导学生从特征出发对图形分类，然后明确不同图形的具体特征，最后根据建筑物特点逐步探索优化建筑设计的方案。在这一过程中，学生不仅要学习平面几何和立体几何中的一些基础知识，还要运用代数知识进行计算，结合函数关系分析建筑物各部分的比例等。受此启发，我们在设计数学教材时应更加注重数学与其他学科内容的有机结合，设计更加综合、复杂的数学应用场景，强化对学生跨学科思维能力和创新思维能力的培养，激发其跨学科探究的兴趣和潜力。例如，数学与物理结合可以帮助学生理解力学中的数学模型，如速度、加速度和力的计算；数学与艺术结合可以引导学生探索几何图形在艺术创作中的应用，如比例与对称的美学表达等。

未来，数学教材结构化设计还可以在融合信息技术方面进行优化，助推教材文本的数字化转型，提高教材使用的交互性，以促进学生全面发展，满足学生个性化的学习需求，培养学生的创新思维能力。

綦春霞

北京师范大学课程与教学研究院教授、博士生导师，中国教育学会课程专业委员会常务理事，中国教育学会基础教育评价学会常务理事；义务教育数学课程标准研制组核心成员，全国中考数学评估组专家，全国高中数学学业质量监测评估组专家，北京师范大学教育质量协同创新中心数学首席专家；在Education and Information Technologies，Computers and Education，Educational Studies in Mathematics以及《教育学报》《教师教育研究》《教育科学研究》《数学教育学报》等国内外期刊发表论文100余篇，完成和在研项目20余项。

文字编辑  刘佳