基于运算一致性的多位数乘法教学探析

2022年版数学课程标准提出“感悟运算一致性”的要求，并且在第二学段“数与运算”的内容要求中强调“探索并掌握多位数的乘除法，感悟从未知到已知的转化”。《三位数乘两位数》是整数乘法的最后一个学习内容，与之前学习的整数乘法相比，三位数乘两位数的因数位数增加了，计算过程更加复杂。教师如何基于运算一致性展开教学，落实相关目标要求呢？

一、明确方向，迁移一致的算理与算法

笔者认为，运算一致性体现在运算意义的一致性和算理算法的一致性两个方面。从算理算法来说，探究三位数乘两位数运算的重要思路是“将未知转化为已知”，即迁移运用之前学习整数乘法的经验自主探究新知。

教学时，笔者先在学习任务单上呈现“143×6”“74×36”两道笔算题，引导学生思考先算哪一步、积是多少、积表示什么意思，再算哪一步、积是多少、积表示什么意思，尝试有条理地说出计算过程和道理。学生笔算后汇报：计算143×6，第一步算3×6，积是18，表示18个一；第二步算4×6，积是24，表示24个十；第三步算1×6，积是6，表示6个百。笔者用课件同步出示竖式计算过程，以及“18个一+24个十+6个百=18+240+600=858”。对74×36的计算，师生也做了类似的交流。学生在笔者引导下发现：无论是三位数乘一位数，还是两位数乘两位数，都是将数拆分后用表内乘法分别计算各个计数单位上数字相乘的结果，然后合起来得到最终结果，竖式记录了“拆、算、合”的过程。学生还通过进一步观察，发现三位数乘一位数与两位数乘两位数的竖式记录形式相似、运算本质相通，都是通过“拆、算、合”的过程把相同计数单位的个数合并。

这样设计教学有两个意图：一是唤醒学生已有的三位数乘一位数、两位数乘两位数的计算经验，让他们有条理地说出每步计算的意义，锻炼数学语言表达能力；二是通过竖式与横式的比较让算理可视化，使学生感知整数乘法算理算法的一致性，为学习三位数乘两位数提供经验支撑和方法铺垫。

二、构建模型，理解多位数乘法的一致性

通过前一个学习环节，学生自然产生了探究三位数乘两位数的学习需求，笔者出示如下学习任务单，让学生尝试自主解决问题。

学习任务单

例1  李叔叔从某市乘火车去北京用了12小时，火车每小时行145千米。该市到北京有多少千米？

①我会计算：145×12=

②在长方形里（图略）分一分、画一画，解释这样计算的道理。

学生独立完成学习任务单后，笔者抛出三个问题：①说一说你是怎样计算的；②结合长方形面积图，说一说你这样计算的道理；③说一说你是怎么想到这样计算的。学生先小组讨论，然后全班交流。汇报时，一名学生说：“我们小组认为145×12就是求12个145是多少。我们把12分成10和2，先算出2个145是290，再算出10个145是1450，最后把1450和290合起来得出1740，即12个145是1740”。另一名学生回答：“我们组用竖式计算，具体过程如图1。”

笔者追问：“你能说说每一步计算表示什么意思吗？这里的5为什么要写在9的下面？”学生借助长方形面积图（如图2所示）说明：“145由1个百、4个十和5个一组成，12就是1个十和2个一，第一步先算出‘2×5’个一是10个一，就是10，再算出‘2×4’个十是8个十，就是80，然后算出‘2×1’个百是200；第二步算十位，先算出1个十乘5个一得50，因此5要写在十位上，接着算出10个40是400，因此4要写在百位上，然后算出10个100是1000，因此1要写在千位上；第三步把前面的积合起来，也就是把每个小长方形的面积合起来，结果是1740。”

笔者根据学生的回答用课件同步演示竖式计算过程，并呈现相同计数单位的个数合起来的过程，也就是“10个一+8个十+2个百+5个十+40个十+10个百=10+80+200+50+400+1000=1740”。

然后，笔者让学生对照前面三位数乘一位数、两位数乘两位数的计算方法，交流、总结三位数乘两位数的计算方法。学生这样梳理：三位数乘一位数、两位数乘两位数与三位数乘两位数的竖式形式相似，每一步计算的本质相通，都是先拆分、再计算，最后将相同计数单位的个数累加得出结果。由此，学生感悟到三位数乘两位数的算理算法与前面所学的整数乘法的算理算法具有一致性。

最后，笔者抛出挑战性问题：你能用竖式模型表示多位数乘多位数的计算方法吗？学生通过小组交流达成共识，得出多位数乘多位数的笔算模型（如图3）。

以上教学引导学生通过转化的方法解决新问题，用数形结合的方法建立竖式计算与横式计算之间的联系，发现新旧知识的相似与相通之处，最终提炼出“拆、算、合”的多位数乘多位数笔算模型。

三、多元练习，深化对运算一致性的感悟

为深化学生对乘法运算一致性的感悟，发展学生的运算能力，增强学生的推理意识，笔者设计了如下3道练习题，引导学生思考如何运用运算一致性原理解释计算过程，并组织学生反馈和交流，分享解题思路，讨论解题中遇到的问题。

①说一说

在用竖式计算134×12时，先用（    ）乘（    ），得数的末位和第二个因数的（    ）位对齐；再用（    ）乘（    ），得数的末位和第二个因数的（    ）位对齐；最后把两个得数（    ）。

②填一填

③算一算

自学教材第48页“你知道吗？”，在图4中用“格子乘法”计算356×43。

前两道题侧重算理算法的理解，主要是让学生理清三位数乘两位数笔算各部分乘积的含义、末位对齐规则，发展运算能力。第3题引导学生学习教材中的两位数乘两位数的“格子乘法”算法，并将其迁移运用到三位数乘两位数的计算中。

多元化的练习题有助于学生感悟笔算乘法与“格子乘法”的关联，深化对运算一致性的理解，提高学习兴趣。

文字编辑  刘佳