十进位值制记数法教学思考与实践

十进位值制是一种记数法，它既是十进制的，又是位值制的。十进制就是通常所说的“满十进一”；位值制指一个数字在不同的位置表示不同的数值，也就是数位不同，计数单位就不同。笔者通过对比分析小学数学各版本教材，发现数的认识、运算及应用，以及计量单位的认识等内容与十进位值制紧密关联，所以在理清课程脉络的基础上着力探析“种子课”（可供迁移、生长的关键课）的教学策略，引导学生在直观数数中感知，在运算探究中理解，在实际应用中建模，促进其理解和运用十进位值制记数法。

一、在直观数数中感知

数（shǔ）产生数（shù），量（liánɡ）产生量（liànɡ）。一年级学生入学前已经有了唱数的经验，能够数出苹果、小鸡等实物的数量，但对于每个数所表达的意义并不十分清楚。基于此，在认识数的阶段，笔者引入直观学具小棒，引导学生在数小棒的过程中逐步完成从实物模型到一般模型的过渡，感知自然数的组成及意义。数数时，笔者注重引导学生用“+1”的方式理解和认识数，这符合自然数公理系统（皮亚诺公理）中用后继数定义自然数的方法。

随着数的增大，在10～20各数的认识中，学生开始接触十进位值制记数法。史宁中教授指出，在位值制概念教学中要让学生思考为什么引进新单位，感受创造出新单位的必要性。因此，在教学北师大版数学《古人计数》这节“种子课”时，笔者先引导学生解决“10是怎么来的”和“计数单位‘十’产生的必要性”两个问题。笔者在课堂中设置了“数到9后再数1个是多少？”“10是几位数，它与1～9有什么区别？”“10里面的1是什么意思？”等问题，让学生带着问题学习，经历数学知识“再创造”的过程，感知十进位值制中蕴含的智慧。学生有了数数的经验，很快回答出“从9往后再数1个数就是10”，但此时学生的思维还停留在逐一数数的层面。于是，在第二个问题的引导下，学生通过对比，发现“10是两个数字组成的数，而1～9都只有一个数字”。这样的对比分析，为学生认识计数单位和数位埋下伏笔。随着笔者的追问，学生产生了对1和10里面的“1”各表示什么意义的认知冲突。通过思考、讨论，学生发现10里面的“1”表示1个十，这与1表示1个一不同。基于此，笔者引出计数单位“十”以及个位、十位的概念，明确1放在十位上就表示1个十。同时，笔者借助小棒教学，让学生将10根小棒捆成1捆，直观感知“10个一就是1个十”，初步建立“十进制”的直观印象。

二、在运算探究中理解

有了数小棒的经验之后，学生就要逐步进入运算理解阶段。笔者在运算教学中引入计数器，以及“毛毛虫”、数尺、数线等数轴类学具。

计数器作为一种半直观半抽象的学具，在帮助学生认识位值制方面具有天然的优势，因为它不仅标出了数位，还隐含了十进制。笔者执教北师大版数学一年级下册《拔萝卜（两位数加两位数）》时，学生根据情境图中的数学信息提出“一共拔了多少个萝卜”的问题，并列出算式“36+23=（  ）”。探究算理算法的过程中，笔者引导学生借助计数器拨一拨，并说清楚每个加数中的两个数字分别在什么位置、代表什么意思，强化个位、十位等数位概念，然后通过演示计数器，与学生探讨“为什么36十位上的3不能和23个位上的3直接相加”，让学生在操作、思考、质疑、辩驳中明白“相同数位才能相加减”的算理。当学生通过操作直观学具充分感知算理后，竖式计算的学习便水到渠成——他们能结合十进位值制记数法的认知基础，借助计数器快速寻找到竖式计算的方法，即几个十与几个十相加、几个一与几个一相加，进而理解加法竖式计算的本质是相同计数单位的个数相加。

数轴类学具虽然无法直观体现十进制和位值制，但在帮助学生发展数感、理解加减法意义及探究算法方面具有很好的促进作用。这类学具能够直观展示自然数从小到大排列的顺序，让学生感知到“向右数越来越大，可做加法；向左数越来越小，可做减法”。这样，抽象的数字和运算便有了直观的支撑。

三、在实际应用中建模

学生通过直观数数和运算学习，能逐步理解十进位值制记数法的规则和运算的算法算理，对位值制有比较清晰的认知，但往往难以对十进制形成深刻理解，这就需要教师引导他们在后续计量单位的学习中深化理解，特别是借助“认识人民币”的教学建构人民币的十进制计量模型。

“人民币的认识”安排北师大版数学教材。在二年级上册第二单元“购物”中，整个单元分成《买文具》（认识小面额人民币）、《买衣服》（认识大面额人民币）、《小小商店》（解决简单的购物问题）三个课时。考虑到电子支付背景下学生较少接触纸质人民币，以及在100以内数的认识和运算学习中经常遇到用大面额人民币描述的问题情境，笔者从单元整体的角度设计教学，将第1课时《买文具》作为构建人民币计量模型的“种子课”，并整合第三课时《小小商店》的教学内容，提前在班上开设文具“小超市”。

通过访谈，笔者发现学生对“积分兑换礼物”的生活场景比较熟悉，于是将“积分兑换”纳入班级常规管理，用元、角、分人民币模型代替积分奖励发放给学生，明确“10分兑换1角，10角兑换1元”的规则，并设置“中央银行”协助学生兑换货币。这些人民币模型就是学生在文具“小超市”进行交易的货币。有了这样的生活经验做支撑，教学《买文具》时，学生很快就能说出“1元=10角，1角=10分，1元=100分”，从而构建了元、角、分之间的进率模型。

总之，在整个小学阶段，学生对十进位值制记数法的认知是循序渐进、螺旋式上升的，教师需要整体把握教材，以核心概念为统领，抓住进率这条主线，让学生逐步感知、深入理解，最终建立模型。

文字编辑  张敏