依托问题解决培养数学思维

数学思维源于问题，具有内隐性，它是在问题解决中进行的精神活动，在面临问题时会充分表现出来。因此，数学教学应当重视问题的价值，让问题解决成为提升学生数学思维的重要手段。数学思维主要包括逻辑思维、批判性思维、创造性思维等类型，不同类型的数学思维需要通过解决不同类型的问题来培养。需要注意的是，不是所有的问题都能有效提升学生的数学思维，通常情况下，非常规问题的解决更能促进学生数学思维的提升。

一、数学思维类型的划分

数学课程标准指出，数学思维是数学核心素养的综合体现。不同的人经历数学学习后会形成各自独特的数学思维品质。已有研究中，数学思维类型大多聚焦于逻辑思维、批判性思维和创造性思维。

逻辑思维指对事物进行观察、分析、比较、综合、抽象、概括和判断的思维（郝乐、马乾凯、郝一凡等，《数学教育与逻辑思维能力的培养》，《数学教育学报》2013年第6期）。逻辑思维强调从客观事实出发，通过逻辑推理与证实得出准确的结论；强调将复杂的问题分解为多个较小的部分，通过深入分析和整合确立各部分之间的联系，进而构建一个系统化的思维框架。运用逻辑思维进行逻辑推理时，推理的过程要严谨，要消除主观猜测的逻辑缺陷，确保推理的合理性和最终结论的可靠性。

关于批判性思维，众多研究者指出它应该包含思维技能和元认知技能两个部分。其中，元认知技能是审视和改进思维技能、分析和优化思维过程的一种能力（徐贲，《批判性思维的认知与伦理》，北京大学出版社2021年版），它强调审慎评估、细致评价信息和观点。批判性思维的核心在于合理性、反思性和前瞻性。在合理性方面，批判性思维依靠逻辑能力，通过分析信息的来源、评估证据的可靠性、检验逻辑的有效性确保结论的正确性。在反思性方面，批判性思维涉及对自身思考过程的检查，强调通过自我评估与调整，降低偏见和情感决策的可能。在前瞻性方面，批判性思维要求从多个视角考虑问题的长远影响，并寻求最佳的问题解决方案。

创造性思维强调展望未来、独立思考并保持开放性思考，它专注于发现问题背后的机遇并寻找创新的问题解决方案，强调对未来趋势的预见和对变化的关注，以及利用创造性方法应对各种挑战。创造性思维鼓励我们跳出传统的理论框架，借鉴不同领域的经验，接纳新的观点，大胆提出新的想法和见解，从而促进多样化思维的整合。解决开放性问题有助于培养学生的创造性思维。对于创造性思维的评价，已有研究主要是通过问题解决的流畅性、灵活性和独创性衡量。

在数学领域中，逻辑思维、批判性思维和创造性思维对于学生思维发展的促进作用是相辅相成的。逻辑思维为理性推理建立严密的结构，批判性思维确保信息的正确性和思考的深入，创造性思维则是探索未知和推进创新的关键。这三种类型思维的结合使用对于深入解析和应对问题、推动个人和社会发展具有重要价值。

二、依托问题解决提升数学思维的策略

问题解决是提升学生数学思维的重要途径，不同的问题类型所能发挥的促进数学思维发展的作用有差异，教师应该根据不同的思维类型选择合适的问题，通过问题解决的有效教学提升学生的数学思维。

1.解决变式问题，提升逻辑思维

变式问题涉及对原问题的修改、拓展或颠覆。这类问题能促使学生打破传统认知，多角度、多层面地思考问题。变式问题的处理，要求学生具有灵活的思维方式和深刻的洞察力，要能深入分析原问题，掌握其本质与关键点，并基于此进行迁移运用、创新运用。这一过程能够促进学生运用逻辑推理、归纳演绎、比较分析等思维技巧，全面强化学生的逻辑思维能力。我们看下面一组例题。

原题：

若[a]=8，则∣[a]∣      0，若[a]=-8，则∣[a]∣      0，若[a]=0，则∣[a]∣      0；

若[a]＞0，则∣[a]∣      0，若[a]＜0，则∣[a]∣      0，若[a]=0，则∣[a]∣      0；

综合上面的答案，可以归纳出：无论[a]取什么值，∣[a]∣      0。

变式1：

若∣[a]∣=0，则[a]=      ；

若∣[a]∣+∣[b]∣=0，则[a]=      ，[b]=      ；

若∣[a]∣+∣[b]∣+∣[c]∣=0，则[a]=        ，[b]=       ，[c]=      ；

若∣[a]1∣+∣[a]2∣+∣[a]3∣+…+∣[a]n∣=0，则[a]1=         ，[a]2=      ，[a]n=      。

变式2：

若∣[a]-1∣=0，则[a]=      ；

若∣[a]+1∣+∣[b]-2∣=0，则[a]=      ，[b]=      ；

若∣[a]+1∣+∣[b]-2∣+∣[c]+3∣=0，则[a]=            ，

[b]=        ，[c]=         。

原问题和变式问题从不同角度和层面体现绝对值的性质，教师可以引导学生通过探析这组例题归纳出绝对值的几何意义和代数意义。原问题通过列举具体数字引导学生对比分析。当[a]=±8时，∣-8∣和∣8∣都表示某一点到另一点的距离为8，而距离没有负值，因此∣8∣和∣-8∣都大于0。当[a]=0时，[a]表示原点本身，则∣[a]∣=0。这样思考，能让学生利用具体数字逐步分析，发现绝对值的几何意义为数轴上一点到另一点的距离，进而得出无论[a]取任何数，其绝对值都大于或等于0的认识。变式1和变式2是原问题的拓展，涉及绝对值的加法运算，教师要指导学生牢牢把握绝对值的本质解题，即绝对值代表距离，是非负数，且只有各绝对值都为0，才能实现各绝对值的和为0。

为促进学生逻辑推理能力的发展，教师可以进一步引导学生分析、解决绝对值的相关问题。如，由∣[a]+1∣=0可推出[a]=-1，进而判断[a]＜1。类似地，这样的问题可以拓展到任意数。如，由∣[a]-[m]∣=0可分析[a]与[m]的大小，通过推理总结出如下结论：当[a]＞[m]时，∣[a]-[m]∣=[a]-[m]；当[a]=[m]时，∣[a]-[m]∣=0；当[a]＜[m]时，∣[a]-[m]∣=[m]-[a]。这样的推理可以帮助学生更好地理解绝对值的代数意义。

2.解决一题多解问题，提升批判性思维

一题多解指运用不同的解法或从不同的途径解决问题。教师在教学中实施一题多解的教学策略能激励学生打破固有的思维模式，从多个视角审视问题，探索多样化的解答途径，评估不同解决方案的利弊，分析各类因素的作用，进而把握问题解决的核心，挑选或整合出最佳答案。这是提升学生批判性思维的关键。

在几何证明中，我们通常可以采用直接证明、反证或构造等方法解决问题。学生在比较不同的证明方法时需评价其逻辑性、简洁度及实用性，这有利于促进学生批判性思维的发展。如下面的例题。

如图，在平面直角坐标系中，已知点A（－1，0），点B（0，3），直线BC交坐标轴于B，C两点，且∠CBA＝45°。求直线BC的解析式。

这道题有多种解法。

方法一为待定系数法，解题思路是通过证明三角形全等得出点的坐标，求出BC的解析式。首先，设BC的解析式为[y=kx+b]，过点A作AD⊥AB，交BC于点D，再过点D作DE⊥[x]轴于点E，在△ABC中构造一个等腰直角△DAB，然后证明△AED与△BOA全等，即可求出点D的坐标（-4，1），最后，将点B的坐标（0，3）和点D的坐标（-4，1）代入[y=kx+b]，得出BC的解析式。这样的解法虽然比较简便，但是学生习惯于过点A作BC的垂线，而不习惯于过点A作AB的垂线，因此这种方法学生不容易想到。

方法二是利用正切定理求出[k]的值，具体的解题过程如下。

[ tan∠CBO=tan（45°+∠ABO）                                      ]

[                              =tan45°+tan∠ABO1-tan45°tan∠ABO]=[1+131-13=2]

[k=BOCO=12]

教师讲解题目时需要强调，求一次函数解析式既可以通过代入两点的坐标而得到，又可以通过求斜率来解决。直接求斜率的解法不需要做任何辅助线就可以简便地得出答案，属于更优的解题策略。

最后，教师要引导学生比较两种方法的异同和优缺点，归纳、总结解题策略，提升批判性思维能力。

3.解决开放性问题，提升创造性思维

开放题指题目中条件不完备或结论不确定，可以用多种方法解决的问题（郝莉莉，《高中数学开放性问题可视化创编路径的研究》，《数学通报》2024年第1期）。开放题具有挑战性和不确定性，可以引起学生脑海中已有的知识框架与新的认知框架之间的碰撞。在解决数学开放题的过程中，学生需要采用直觉、联想和类比等多样化的思维方法建立新的知识和认知框架，从而促进创造性思维的发展。

以“请画出周长为16厘米的不同形状的长方形”为例。这道题并没有规定长、宽的具体数值，学生需要根据长方形的定义自主赋予长、宽的数值，考虑多种可能性，而不是局限于某一种固定的答案。如学生可以将长设定为宽的2倍，画出一个长大于宽的长方形，也可以将长、宽设定为等值，画出一个正方形（特殊的长方形）。在画出尽可能多的长方形之后，教师要引导学生对这些长方形进行深入地比较与分析，指引他们学会系统地分析和解答相似的问题，帮助他们增强解决问题的流畅性、灵活性和独创性，提升创造性思维。

（安凯、张赢云系北京师范大学教育学部研究生）

责任编辑  刘佳