在七年级数学教学中渗透分类讨论思想

由于数学问题中研究对象的属性不同，会影响研究问题的结果。在问题研究的过程中，从不同的情况进行分类研究的思想就称之为分类讨论思想。分类讨论思想的本质是一种逻辑划分思想，将要解决的数学问题分解成为可能的各个部分，将复杂的问题简单化，便于求解。在七年级数学教学中，渗透分类讨论思想，可以根据不同类型的数学知识点、数学问题，研究问题特征，培养学生运用分类讨论思想解决数学问题的能力。

一、明确标准，分类讨论解决数的问题

在数学问题中，分类讨论的前提是问题条件具备某种“矛盾”，这种矛盾中存在一定的不确定性因素。比如，拟定“非零”的数字，在这一问题中，“非零”本身存在一定“矛盾”，“正数与负数”均可以看作是“非零”数字，这就是本问题的不确定因素。因此，明确分类标准，是决定不同分类内容的基础。在七年级数学教学中，教师引入分类讨论思想，需要提出“明确分类标准”的要求，让学生按照一定的标准划分不同的讨论类别，开始分类讨论活动，解决数学问题，得到分类结果。

例如，“有理数”是七年级学生最初接触分类讨论思想的数学知识内容。在教学活动中，教师为学生讲解了引入负数的必要性，讲解了判断一个数是正数还是负数的基本条件，学生掌握了使用正负数符号表示互为相反意义的量的方法。在基础概念学习中，教师提出问题条件：收入500元和支出237元的表达。此时学生根据之前学习的有理数知识，初步运用分类讨论思想，提出：若收入为“+”，则收入500可以记为“+500”，支出237可以记为“-237”;若收入记为“-”，则收入500可以记为“-500”，支出237可以记为“+237”。在这一环节中，学生将“收入记为‘+’或记为‘-’”作为分类标准，对问题进行思考，得到不同分类标准下的问题答案。

之后，教师提出分类讨论的数学问题：下列各数字中，-1，0.3，[15]，0，12，整数有___，正数有___。提出这一问题的目的是为学生提供一个较为开放的分类讨论思考环境，学生可以观察这一问题，根据自己的观察所得选定分类标准，讨论关注“数”的问题，明确有理数中的正数、整数。有学生在回答第一空格时漏掉了“0”，而在第二个空格中又多出了“0”，这种情况就属于学生对有理数分类标准认知不清导致的答题错误。在这组数中，分类标准分别为：整数、正数，其中整数不包括分数与小数，正数不包括负数与0。通过分类讨论之后，便可得到正确答案。

分类讨论思想的运用能够强化学生对数学知识中分类标准的认识，让学生能够更好地划分“数”的类别，加深对有理数、正数、整数、小数、分数的认识。学生在观察与分类讨论的过程中，进一步形成了分类意识，掌握了同类数的共同特征与不同特征。

二、梳理语句，分类讨论解决开放条件问题

七年级数学内容知识体系较为复杂，一些综合类应用题中的问题属于开放式的条件、开放式的结论，需要学生运用分类讨论思想。在此类问题的思考与解决中，学生运用分类讨论思想，需要梳理应用题中的语句，正确理解题目中已知条件的开放方向，明确其中的“分类关键点”，从这一“点”出发延伸出不同的思考思路，得到不同方向的问题答案。

例如，在一次应用题训练课中，教师为了训练学生的分类讨论思想运用能力，提出具有开放性的问题：学校组织郊外采风活动，我们班的学生组建“前锋营”率先前往，步行速度为4km/h;二班的学生组建“后备军”，在我们出发1h之后出发，速度为6 km/h;三班一名学生被任命为“通讯员”，骑着自行车在两队之间来回传递信息，速度为12km/h。请大家根据这一题目条件提出问题，并尝试解决这一问题。这个开放性问题是属于结论开放问题，学生可以自己阅读题目，梳理题目中的语句，分析信息，提出不同方向的问题，之后进行讨论与思考。不同的学生提出不同的问题，其解决的过程就是分类讨论的过程。

班级学生通过梳理语句之后得到信息：（1）通讯员负责不间断地来回往返，速度是12km/h，可以看作是以通讯员行为为核心的行程问题，这时通讯员的往返速度、两队人员之间的距离就是本题目的重要隐藏条件，可以发现，通讯员在往返行程中所消耗的时间就是“后备军”所用的时间。（2）若不考虑“通讯员”这个语句，仅仅利用“前锋营”“后备军”的步行速度、相隔时间，则为追击问题，此时可以进一步细化分类，提出小类别：①“后备军”使用多长时间追上“前锋营”？②通讯员需要花费多长时间追上“前锋营”？③通讯员需要多少时间能够与“前锋营”第一次相遇？④“后备军”追上“前锋营”时，通讯员行驶了多少千米？

可以看出，学生运用分类讨论思想，根据本题目的语句条件，提出两个大的问题分类，且在第二大分类的基础上提出了4个小的问题分类，通过这种方式，学生构建了行程问题模型、相遇问题模型、追击问题模型，进一步锻炼了学生的分类讨论运用能力，提高学生的信息分析能力、问题分析与解决能力。

三、提前铺垫，分类讨论解决几何问题

七年级数学教材中包含大量的几何与图形知识，包括生活中的立体图形、正方体的展开图、柱体和锥体的展开与折叠、截一个几何体等内容。在基础知识学习之后，教师向学生提出几何问题，目的是锻炼学生的几何问题解决能力，培养学生的几何思维、空间想象力。在几何问题中，存在一些具有不确定性因素的问题，比如，从不同方向观察立体几何，可以获得不同的展开图，其中“不同方向”就是不确定性因素，学生从不同的方向思考与讨论问题、解决问题，并且在问题解决的过程中更好地掌握立体几何的基本特征、展开与折叠方法等几何知识。

例如，根据“截一个几何体”课时中的数学知识，教师提出问题，让学生能够直接发现问题中的不同分类讨论方向，为学生的分类讨论行为“递台阶”，让学生能够分别顺着不同的“台阶”展开分类讨论。问题：若使用平面截去长方体的一个角（切除一个三棱锥），问剩下的几何体具有几个面、几条棱、几个顶点？

在这一问题中，教师为学生设置了不同的“台阶”——截面经过长方体的位置。学生根据对长方体及本节课知识内容的理解，提出了四个分类讨论方向：（1）截面经过1个顶点;（2）截面经过1个顶点，且交汇一个顶点;（3）截面经过2个顶点;（4）截面经过3个顶点。学生通过交流与讨论，绘制出四个截面之后的图示。

经过分类讨论活动，学生把握题目中的“截面经过几个顶点”这一不确定性因素，分别提出了四个不同方向的讨论可能性，绘制出了不同情况下的截面之后的几何图示，为进一步数清长方体的棱、面、顶点数量提供依据。这一过程既是学生解决几何问题，加深对几何特征理解的过程，也是进一步锻炼学生分类讨论能力，培养学生运用分类讨论思想解决实际问题的过程。

综上所述，在七年级数学教学中运用分类讨论思想，需要严谨、合理地梳理题目条件，明确数学题目中的问题解决方向，找出数学问题中由于不确定性因素引起的“矛盾”点，从而提出分类讨论的解决思路，促使学生自主探索，快速、准确的解决问题，提出不同条件下的数学问题答案。这一过程既是学生运用分类讨论解决数学问题的过程，也是学生形成解题经验与能力的过程，也是发展学生核心素养的过程。

（作者单位：甘肃省天水市秦州区杨家寺中学）

（责任编辑  晓寒）