建模：在体验中运用数学语言

【摘 要】数学体验是包含体觉、体察、体悟、体证四个紧密相连阶段的一种学习方式。在初中数学教学中，教师可以基于“体觉下的模型准备—体察中的模型假设—体悟里的模型构建—体证内的模型验证—体验间的模型迭代”的数学体验教学模式，通过构建数学模型活动、应用数学模型活动、实施综合实践活动等策略，培养学生模型意识，发展学生模型观念，提升学生模型思想，实现数学学科育人目标。

【关键词】初中数学；数学体验；数学语言；建模；教学模式

【中图分类号】G633.6  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2024）27-0022-06

【作者简介】1.朱敏龙，南京市第二十九中学（南京，210029）初中部副校长，高级教师；2.石小虎，南京市金陵汇文学校（南京，210036）教师，高级教师；3.何卫群，南京市育英第二外国语学校（南京，210044）教师，高级教师；4.田禹，南京市金陵汇文学校（南京，210036）教师，一级教师。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）在“核心素养内涵”中提出，通过数学的语言，可以简约、精确地描述自然现象、科学情境和日常生活中的数量关系与空间形式；能够在现实生活与其他学科中构建普适的数学模型，表达和解决问题；形成数学的表达与交流能力，发展应用意识与实践能力。在义务教育阶段，数学模型是数学语言的一种主要表现形式。学生通过经历用数学语言表达现实世界中的数量关系与空间形式的过程，初步感悟数学与现实世界的交流方式，能够有意识地运用数学语言表达现实世界与其他学科中事物的本质、关系和规律，并解释表达的合理性；欣赏数学语言的简洁与优美，逐步养成用数学语言表达与交流的习惯，形成跨学科的应用意识与实践能力。

一、数学模型的内涵和要义

（一）数学模型的内涵

数学模型是利用数学语言、符号和逻辑，对现实世界中的特定对象、现象或过程进行抽象和简化的描述，它是基于数学理论构建的、能够反映实际问题本质特征和内在规律的数学结构。广义上说，数学模型就是为解决现实生活中的问题而建立的数学概念、公式、定理、法则、规律、性质、数量关系式、图形、图标、程序等。例如，路程等于速度乘以时间，是描述行程问题中数量关系的数学模型；图形的周长、面积计算公式，是描述图形某一方面特性的数学模型。狭义地讲，数学模型指那些反映了特定问题或具体事物系统的数学结构，如“鸡兔同笼”“抽屉原理”“将军饮马”等典型的数学模型。

（二）数学模型的要义

数学模型是对实际问题的一种数学化描述和表达，它的要义主要有以下几方面。

1.抽象与简化

数学模型是对现实世界的抽象和简化。现实世界中的事物往往非常复杂，难以直接进行研究和处理。利用数学模型，我们可以将复杂的现实问题转化为数学语言，从而简化问题，使其更易于分析和解决。数学模型忽略了一些次要因素，保留了问题的主要特征和规律。抽象、简化的模型能够使得现实问题更加易于处理和分析，同时也有助于揭示问题的本质。

2.结构与系统

数学模型是一种数学结构或系统，这种结构或系统通常由一系列的数学符号、代数式、方程、不等式、函数等组成，它们共同描述了现实世界的某个方面或某个过程。这些数学表达形式能够精确地描述问题的结构、关系和变化规律，让学生可以通过数学方法求解现实问题。这些数学元素相互关联、相互作用，形成了一个完整的体系。

3.预测与决策

利用数学模型，我们可以对现实世界的现象进行定性和定量的分析，揭示其内在规律和机制。大数据时代，数据观念、数据分析变得越来越重要，逐渐形成了一种新的数学语言。通过分析和计算由数学语言建构的模型，可以预测未来的发展趋势或结果，从而为决策提供科学依据。

4.通用性与推广性

数学模型往往具有一定的通用性和推广性，即同一类问题可以使用相同的模型进行描述和解决。这使得数学模型在各个领域都有广泛的应用，如物理学、经济学、生物学等。

二、数学建模对运用数学语言的意义

数学建模（以下简称“建模”）指利用数学方法和工具，对实际问题进行抽象、简化和量化，建立数学模型，并通过求解模型来解决问题的一种科学方法。建模的意义在于鼓励学生将他们的解决方案和思考过程，通过口头陈述、写作、图表、图像等形式进行有效的交流和表达。在表达过程中，学生需要运用恰当的数学语言来解释他们的解决方案、推理过程和结论；需要使用准确的数学术语和符号清晰地描述他们的思考路径，并提供合理的解释和证明，从而能创新性地运用到相关生活问题的解决中。

因此，通过建模，学生可以深入了解问题的本质和规律，发现其中的数学结构和关系。同时，建模也是培养学生创新精神和实践能力的重要途径。

三、以建模为体验意义的数学体验教学模式的框架

数学体验为建模提供了重要的方法基础，学生在数学体验学习中，建立数学模型，运用数学模型解决现实问题，亲身感受数学的应用价值，能够激发对建模的兴趣和动力。同时，将建模成果应用于实际问题的解决过程中，通过实践检验模型的准确性和有效性，可以进一步丰富学生的数学体验。数学体验作为一种学习方式，包含体觉、体察、体悟、体证四个紧密相连的阶段，具有身心合一、内外并举、知情并重、过程与结果相统一等特征。它顺应新时代课程改革的要求，可使学生的数学认知能力得到提升，有利于学生正向的情感态度与价值观的形成，有助于实现由数学知识向数学素养的转化。以建模为体验意义的数学体验教学模式的基本框架如下：

（一）体觉下的模型准备（项目与问题呈现）

体觉即启动经验，初步感觉。体觉下的模型准备就是围绕将要学习的内容，明确建模目标，启动、激发与新知识相关联的原有知识经验，并收集相关数据，从而深入理解问题背景与系统特性，进而形成初步的感觉和深入探究的欲望，为模型雏形建构作准备。在这一环节，教师可以根据学习目标，创设贴近学生的生活情境，设计体验教学模式基本框架中的“困惑与冲突”问题，激发学生的探究热情。

（二）体察中的模型假设（形成对项目与问题的理解）

体察即全面观察，深入反思。体察中的模型假设就是基于现有知识和实际情况，发现和提出有价值的问题，并用恰当的数学术语和符号来描述问题的特征和要求，对系统行为做出合理简化和理想化假设，从而实现体验教学模式基本框架中的“直觉与联想”。

（三）体悟里的模型构建（形成初步方案）

体悟即抽象概括，意义建构。体悟里的模型构建就是选择适当的数学工具，如方程、不等式、函数、统计模型、优化算法、图论模型等，将假设转化为数学表达。

（四）体证内的模型验证（探索加工重构）

体证即身临其境，验证应用。体证内的模型验证就是运用数值方法、解析方法或模拟技术求解模型，将模型应用于实际问题。在这一环节，学生通过对比实测数据、进行定性分析或检验等方式验证模型的有效性。

（五）体验间的模型迭代（完成项目研究）

体验即积累经验，优化经验。体验间的模型迭代就是根据反馈调整模型参数或结构，进一步迭代、改进模型。

四、以“建模”为体验意义的数学体验教学的实施策略

以“建模”为体验意义的数学教学可通过构建数学模型、应用数学模型和实施综合实践活动等策略来培养学生模型意识、发展学生模型观念、提升学生模型思想，进而发展学生的数学建模能力和创新意识等核心素养。

（一）构建数学模型，培养模型意识

数学知识本身就是一种数学模型，学生对数学知识的学习本质上就是一种构建数学模型的学习活动，构建数学模型是学生习得数学知识的基本途径之一。这种构建数学模型的活动，实际上是建模的某个阶段或某个环节，可以培养学生的模型意识。模型意识主要指对数学模型普适性的初步感悟，知道数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径；能够认识到现实生活中大量的问题都与数学有关，并能有意识地用数学的概念与方法进行解释。模型意识有助于增强学生对数学的应用意识，是形成模型观念的经验基础。

案例1：函数模型的构建

1.体觉下的模型准备

问题：某商店专销某种品牌的计算器，进价12元/只，售价20元/只。为了促销，该商店决定凡是买10只以上的，每多买1只，售价就降低0.1元，但是最低价为16元/只。如果你是商家，你会有哪些思考？

2.体察中的模型假设

思考1：设卖出x只计算器，如果卖10只及10只以内，按20元/只卖；如果卖10只以上，每多卖1只，售价就降低0.1元，也就是说多卖（x - 10）只，售价就降低0.1（x - 10）元/只。

思考2：最低价为16元/只，也就是说，降价后的售价不少于16元/只，即20 - 0.1（x - 10） ≥ 16，解得x ≤ 50，卖出的计算器数不能超过50只。

思考3：作为商家，何时赚钱最多？

3.体悟里的模型构建

如何解决“何时赚钱最多”的问题呢？函数是刻画现实世界变化规律的有效数学模型，可以建立利润y和销售只数x之间的函数，用函数图象或性质分析y的取值。

设总利润为y元，由“总利润 = 单件利润×件数”得：当0 ≤ x ≤ 10时，y = （20 - 12）x = 8x；当10 ＜ x ≤ 50时，y = ［20 - 0.1（x - 10） - 12］x = -0.1x2 + 9x；当x ＞ 50时y = （16 - 12）x = 4x。然后画出分段函数示意图，由函数图象分析何时赚得钱最多。

将实际问题抽象化、数学化是构建数学模型活动的核心步骤。在上述体验活动“作为商家如何智慧定价”中，学生从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学变量语言建立函数模型，表示数学问题中的数量关系和变化规律。建模活动需要教师设置生活情境，让学生在情境中思考如何建立数学模型解决问题，这样的数学体验课堂设计有助于培养学生的模型意识。

（二）应用数学模型，发展模型观念

数学建模活动是数学体验中的一种完整的数学学习方式，关注的是建立模型和应用模型解决问题的过程。其中，应用数学模型解决问题的活动过程，主要是指建构数学模型解决应用问题，重点是培养学生阶段性的数学建模能力，使其在体验中逐渐发展模型观念。模型观念主要指对运用数学模型解决问题有清晰的认识，知道数学建模是数学与现实联系的基本路径；初步感知数学建模的基本过程，能够从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，并用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。应用数学模型活动是在学生具有一定模型意识的基础上发展其模型观念。

案例2：如何挑选西瓜

1.体觉下的模型准备

问题：夏天，我们到超市买西瓜，在大西瓜和小西瓜中选择，哪一种最划算？

2.体察中的模型假设

思考：“购买西瓜”消费问题面临两个选择方案（可大可小），“划算”是指西瓜果肉部分（瓜瓤）的单价小。这里会涉及西瓜大小即质量的大小，在大小西瓜密度相同的前提下就是体积的大小，当然还有非果肉部分（瓜皮）的厚度等量。

3.体悟里的模型构建

（1）问题中包含的基本关系有：总价=单价×质量、质量=密度×体积、球体积公式V = [43]πR3等。

（2）具体数量代数化：假设当日西瓜价格为a元/千克，大、小西瓜的密度ρ相同，大西瓜的半径为R大，小西瓜的半径为R小，大小西瓜的厚度一样，则可以分别用代数式表示大小西瓜果肉部分（瓜瓤）的单价a大'、a小'：a大'= [a·ρ·V大ρ·V大瓤 ]= [a·V大V大瓤]、a小'= [a·ρ·V小ρ·V小瓤] = [a·V小V小瓤]。

（3）比较这两者的大小能够确定挑选哪种西瓜划算。