教学从学生的典型错误出发

【摘 要】在高三数学一轮复习中教师应重视学生的答题错误，从学生的错误出发，总结错误类别和错误原因。通过设置理解型问题，内化基础知识，继而深化程序性策略，提炼基本方法，不断激发学生进行深度思考，高效展开一轮复习。

【关键词】高中数学；问题视角；一轮复习

【中图分类号】G633.6  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2024）47-0041-04

【作者简介】王耶，江苏省苏州实验中学（江苏苏州，215500）教师，一级教师。

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“新课标”）提出“把握数学本质，启发思考，改进教学”的基本理念。一轮复习是知识的再整合过程，是全面构建知识体系的阶段。一轮复习中，教师可以基于学生的答题错误创设其熟悉的问题情境，引导学生发现问题、提出问题，有效落实“四基四能”的培养，从而有效展开复习教学。本文结合高三一轮复习“导数在研究函数中的应用”的教学实践，谈谈从学生错误出发的高三数学一轮复习教学。

一、试题呈现与典型错误

2023年苏州市高三期中调研试卷的21题考查了一道导数题：

给定函数f （x）=（x+1）ex。

（1）判断函数f （x）的单调性，并求出f （x）的极值；

（2）画出f （x）的大致图象；

（3）求出方程f （x）=a（a∈R）的解的个数。

本题考查了导数研究函数的性质及其图象，题目取自人教A版高中数学选择性必修第二册“5.3导数在研究函数中的应用”的例7。虽然本题源自教材原题，且题目简明、思路清晰，但从结果看，这道题第二问满分4分，区均分只有1分多。评分细则为其中两分是作图的分数，很多学生在这部分虽有得分，但仍暴露出许多问题；还有两分是必要的文字说明，在阅卷的过程中发现很少有学生能准确阐述该函数图象的走势，说明学生“作而不证”现象较为严重。

笔者记录了学生几类典型的错误画法，并分析了每类画法的错误之处。第一问可以快速求出f （x）有极小值f （-2）=- [1e2]，无极大值，这一小问对于学生而言较为容易。大部分学生的第一问单调性和极值的答案都是正确的，错误主要呈现在第二问的图象中。这里附上典型的错图和错因（见表1）。

二、从学生错误出发的一轮复习教学策略

1.设计理解型问题，内化基础知识

笔者针对学生错误的知识点，从整体视角出发，梳理函数作图的逻辑线，强化学生对基础知识的掌握。对于核心的基本知识，教师可以设计相应的理解性问题，引导学生回顾、辨析、内化，构建整体知识框架。

【教学设计1】

环节1：先展示学生的错误图象，让学生一一回答图象错误的原因。

环节2：让学生思考函数作图需要考虑哪些因素。

问题1：刻画变化速度与瞬时变化率有关，什么是瞬时变化率？怎么表示某点处的瞬时变化率？导数f '（x）的几何意义是什么？什么时候函数不可导？那怎么看函数的增长趋势？

问题2：导数是关于函数瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化，用导数可以更精确地研究函数性质。怎么判断函数的单调性？怎么判断函数的极值点？极值点满足f '（x0）=0，那么满足f '（x0）=0的x0一定是极值点吗？你能否画出对应的函数图象。

问题3：怎么判断函数的零点？零点存在定理是什么？那这里只有一个零点怎么说明？

问题4：画图还需要一些特殊点辅助作图，一般会找哪些特殊点，为什么？

【设计意图】首先通过错误图象让学生意识到哪些地方易错，帮助其构建整体答题观。其次，通过一系列理解型问题的设计，帮助学生追本溯源，回顾教材中的基础概念：问题1是针对序号2，3，4的错误图象设计的知识回顾，让学生理解瞬时变化率的本质及导数的几何意义；问题2是针对序号5，6的错误图象设计的知识回顾，突出导数在函数中的应用；问题3是针对序号1的设计，通过零点存在性定理判断图象变化趋势；问题4是针对序号3，4，6的设计，培养学生规范的作图意识。

2.深化程序性策略，提炼基本方法

基于学生的解题过程，教师可以提炼出程序性解题策略，深化学生对于一类题型的理解；可以回归教材，通过教材课后习题的延续，培养学生分析问题和解决问题的能力。

【教学设计2】

环节1：同学们能否总结出画函数f （x）大致图象的具体步骤？

环节2：请作函数y = [ex（2x-1）x-1]的大致图象。

环节3：投影展示学生所作图象，并让学生对图象作出解释说明。

【设计意图】环节1重视作图过程的呈现，通过让学生提炼函数作图基本步骤，帮助学生厘清这些步骤与求函数单调区间、求函数极值等问题的步骤之间的联系。环节2是教科书本章节复习参考5中的第17题，回归教材，也是上述作图步骤的深化理解，有意识地强化学生的作图能力。环节3的设计旨在规范学生的作图方式，帮助其建立数与形的联系，发展几何直观素养和想象能力，在具体的情境中感悟事物的本质。

三、基于学生错误的一轮复习教学反思

1.回归教材，重视典型例题的示范功能

一轮复习过程中，复习资料的选择非常广泛，但题目的筛选，仍要回归书本，要重视书本中好的例题和习题。中学数学教科书的根本属性是导学性［1］，教材中很多题目可以视为母题，有些题可以一题多解，有些题可以一题多变。高考的风向虽然会变化，但考试课程目标确定，育人导向清晰，高考试题也离不开教材。在一轮复习时间紧张的背景下，教师对于课堂的把控要更为精准细致，对于题目的选择也要精上加精。在一轮复习中，教师可以选择教科书上合适的例题，通过对题目的探究和改编，充分挖掘题目本质。例如，在上述题目的讲解中，教师可以引导学生画出y =（x-1）ex（2022新高考Ⅱ），y = x2·e-x（2013新课标Ⅱ），y = x2lnx（2013天津）等函数的大致图象，系统综合地引领学生感受画新函数图象的完整步骤，了解函数的定义域、单调性、导数变化等对函数图象的影响，并通过图象的变化组织关联导数在函数单调性中应用的教学。这些函数是客观题中的高频函数原型，因此评讲这类题目，也能视作是微专题的探究。

2.追本溯源，加强对概念本质的理解复习

高三一轮复习中，回顾概念是必需的，但不应浅显地对公式、定理进行简单回忆，而应系统、科学地帮助学生重构概念体系。在SOLO分类评价法中，彼格斯将思维分为五个层次。［2］教师讲解知识前，学生处于前结构层次。在新授课后，高一高二学生大多处于单点结构层次、多点结构层次。一轮复习教学中，教师对知识的系统讲解，目的是让学生达到关联结构层次和抽象拓展层次，即整合各个章节的内容，找到多个解决问题的思路，并能把这些思路结合起来解决较为复杂的具体问题，对于一些值得探讨的问题，学生也能做到抽象概括、深化问题，达到深度理解。［3］上述教学以一道题帮助学生建立函数单调性、零点、极值点、凹凸性、瞬时变化率等概念间的联系。同时，教学中还可以以点到面，把确定函数问题转为含参问题研究，增强学习的探究性。高三复习中题目综合性较强，但教学需体现“低起点、多层次、高落差”等特点。因此，教师应追本溯源，回归本质，从低起点出发，将知识点关联成知识体系，引导和鼓励学生完善问题解决方案，抽象和拓展出新的内容。

3.以学定教，充分暴露学生的思维过程

国际教育署和国际教育学会联合出版的《有效的数学教学》中指出，“教师应当以学生的知识和兴趣作为教学的出发点，应当在学生已有技能的基础上，调整教学达到满足学生需求的目的”。“教师应当认识到学生的思考是渐进的过程，应当充分利用学生的思考作为他们继续学习的资源。”［4］教学中学生暴露的错误有多种原因，比如概念理解偏差、学习习惯不良等。教师在教学中不应回避学生的“错误思考”，而应善用这些“错误”，制订合理的教学计划和教学任务。在此过程中，教师应鼓励学生解释和说明他们解决问题的想法和方法，充分发挥其主观能动性，激发其思考内驱力，重视其基本思想、基本活动经验的获得，发展他们发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。

4.融入技术，重视问题解决能力的有效培养

新课标指出，教师应重视信息技术的运用，优化课堂教学，转变教学与学习方式。这里的信息技术是多方面的。一是教学中可以使用几何画板、GGB等数学教育技术，帮助学生建立动态变化的直观想象。学生对于函数图象缺少直观的想象，因而在超越函数的作图中会有较强的陌生感。教师多使用信息技术，不仅能让学生直观感受确定函数的图象，也可让学生在含参函数作图中，感受参数变化对图象的影响，从而让学生体验图形动态变化所带来的魅力，激发学生的学习兴趣，培养学生利用这些教育技术发现问题、解决问题的能力。二是多媒体时代，教师可以筛选好的学习资料、视频等分享给学生。多利用优秀网络资源：或是数学史发展、或是专题讲解、或是方法优化，照顾各个层次学生的需求，帮助学生查漏补缺，积累活动经验。

【参考文献】

［1］章飞，顾继玲.中学数学教科书的根本属性与设计原则［J］.数学通报，2022，61（1）：27-32.

［2］彼格斯，科利斯.学习质量评价：SOLO分类理论（可观察的学习成果结构）［M］.高凌飚，张洪岩，译.北京：人民教育出版社，2010：27.

［3］喻平.数学教学心理学［M］.北京：北京师范大学出版社，2018：40-43.

［4］鲍建生，徐斌艳.数学教育研究导引（二）［M］.南京：江苏教育出版社，2013：220.