经历“思维可视化”过程，理解数学本质

［摘  要］ 研究者以“三角形的周长”教学为例，从“实操互动，激活思维”“聚焦等量，揭示本质”“拓展延伸，类比提升”三个环节开展研究，通过“思维可视化”揭示数学本质。“思维可视化”教学的主要策略有：工具开发，体现思维可视化的样态；多元表征，展示思维可视化的过程；探索关联，揭示数学本质。

［关键词］ 思维可视化；本质；周长

数学是一门逻辑性和抽象性很强的学科，对于以直观想象思维为主的小学生而言，数学学习确实存在一定的困难。“思维可视化”可将内隐的知识、方法或思想外显，便于学生更好地加工与传递信息，从而深入理解知识本质［１］。因此，教师应关注“思维可视化”的研究价值，结合学情与知识特点设计教学活动，尽可能将抽象的知识直观化。“三角形的周长”是小学阶段的重要教学内容之一，教师要引导学生通过尺规作图法将抽象的周长问题直观化，为后续研究正方形、长方形等更多图形的周长奠定基础。

一、教学过程设计

1. 实操互动，激活思维

师：图1为一个三角形与一条虚线，如何应用尺规作图法将三角形的三边描述在虚线上，以体现三角形的周长？

学生在问题引导下自主操作，教师巡视，并找出一些典型方法进行投影展示。

师：图2为一名学生的画法，对此你们有什么想法？

生1：这种画法将三角形的三条边分开了，没有连在一起。

生2：老师并没有要求我们将三条线连在一起呀。

生3：三条线还是连在一起比较美观。

……

对于这种画法，学生提出了不同的意见，在学生的争论中，教师提出问题：“若按照图2的画法，虚线两端点的长度与三角形的实际周长之间存在什么关系？”

生（齐声答）：肯定是周长小于虚线这种画法。

师：要体现出三角形的周长，该怎么画更合理？

生4：将前后的线段连起来。

师：如图3，这是另一名学生的画图方法，说说你们的想法。

生5：这样画也不行，因为三角形的边在这条虚线上出现了重叠，那么所获得的长度必然小于三角形的实际周长。

师：究竟该如何画才能与三角形的周长一致呢？

生6：想要在这条虚线上表达三角形的周长，就要确保三条线段之间既不能重合也不能分离。

设计意图：教师选择经典、规范的作品进行展示，可以强化学生对正确方法的理解。但是，教师“反其道而行之”，通过两幅有问题的作品投影，与学生共同探讨问题的根源，让学生自主发现研究三角形周长时的注意事项。这种既关注研究结果，又关注研究过程的教学手法，成功激活了学生的思维，帮助学生积累了操作经验，同时提升了学生的操作与反思能力。教师通过“思维可视化”的教学方法，促使学生进一步感知数学学科的严谨、周密，为揭示三角形周长的本质奠定基础，发展了学生的推理意识、几何直观等核心素养。

2. 聚焦等量，揭示本质

教师投影展示学生的标准画法，如图4所示，要求学生自主说明画图方法。

生7：分别用圆规截取三角形三条边的长度，逐条移到虚线上。

师：移动过程中，有什么值得注意的？

生7：要确保下一条线段与前一条线段无缝且不重合地连接。

师：你是怎样确定三角形上的AB边与移动到虚线上的AB线段等长的？

生7：利用圆规测量好三角形上的AB边后，将其移动到虚线上时，圆规两条脚之间的距离没有发生变化。

师：非常好！基于“等量的等量相等”的规则，可明确三角形的周长与虚线上的哪条线段具有相等的关系？

生8：如图4所示，如果以点A为起点作图，那么虚线上的AA′与△ABC的周长相等。原因在于虚线上的AB等于三角形上的AB，虚线上的BC等于三角形上的BC，虚线上的CA′等于三角形上的CA。

师：很好！若以点B为起点画图呢？

生9：如图5所示，同理BB′与三角形的周长相等。

教师对学生的画法表示肯定，并要求学生将整个作图过程与所代表的意义进行详细阐述，进一步明确三角形三边长的和就是三角形周长的本质，让学生对三角形周长有直观的理解，此为思维可视化的体现。

师：除了以上有序画图之外，还存在其他画图方法吗？

生10：图6为以点A为起点的无序画图方法。

师：你们觉得这种画法怎么样？

生11：我认为这种画法也可以，虽然所画的线段没有顺序可言，但最终也是将三角形的三条边顺利移动到了虚线上，因此虚线上最终形成的线段同样为三角形的周长。

师：与图4、图5相比，图6这种画图方法有什么弊端？

生12：如此画图的条理不清晰，由于三角形的线段较少，一般不会出错，但若遇到多边形，则可能会出现重复或遗漏。

师：总结得很好，通过以上探索大家已经明确了三角形的周长就是其三条边的长度和。实际画图时，要遵循条理清晰的原则，避免不必要的错误。

设计意图：将三角形的三条边用尺规作图法移动到一条虚线上，不仅锻炼了学生的手脑协作能力与直观形象思维，还促使学生明确线段的长度之间具有加减性特征，这对发展学生的几何直观能力具有重要价值。作图过程需注意的问题很多，比如线段之间不能出现缝隙、不能重叠，只有做到首尾相接，才能获得准确的周长，凸显了数学学科的严谨性。在教师的启发下，学生自主发现等量具有替换性，三角形的周长从本质上而言就是各条线段相加之后的长度和，即线段长度具有相加性。值得注意的是，按照一定顺序画图更具条理性，不容易出现错误。教师如此设计，能让学生经历“思维可视化”过程，有效发展学生的推理意识。

3. 拓展延伸，类比提升

师：通过以上探索，大家已经初步掌握了三角形周长的概念，现在请大家自主用尺规描述长方形的周长。

如图7，学生自主操作，将四条线段逐一移动到下面的射线上，通过测量获得长方形的周长。

师：作图过程中，大家一共用圆规截取了几次长方形的边？

生13：如图8，与三角形类似，按照顺序共截取、移动了4次，最终在射线上获得该长方形的周长。

师：有其他意见吗？

生14：如图9，其实只要两次就够了，原因在于长方形的对边是相等的，用圆规分别截取该长方形的一条长与一条宽之后，到射线上分别画两次即可。

师：以上两种画法的具体操作顺序是什么？

生15：图8就是按照三角形的方法，依次画长方形的宽AB→长BC→宽CD→长DA，因为开始的端点为A，结尾的端点也是A，所以用点A′代替结尾的端点，即AA′为长方形ABCD的周长。

生16：图9的顺序为AB→CD→AD→BC，由此获得的线段AC′为长方形的周长。

师：你们觉得哪种画图方法更好一些？说明理由。

生17：我更倾向于图8的画法，按照顺序来画不容易出错，而且条理很清楚，符合数学学科特点。

生18：我感觉图9的画法更简便一些，这么画更容易理解，圆规使用次数也少一些，且将长方形对边相等的特征体现出来了。

师：这两种画图方法各有千秋，实际应用时，大家可根据自己的喜好来画。既然我们已经将长方形的周长画在射线上了，那么该怎样获得周长的结论呢？

生19：只要将射线起点与终点间的距离测量出来即可。

师：由此可见，平面图形周长的本质是什么？

生20：平面图形的周长就是一条线段的长度。不论该图形是几边形，只要确保每一条线段都能准确地移动到同一条直线上并连接好，就能顺利获得该图形的周长。

师：总结得很完整，现在大家来看下面这个问题。如图10，将图中两个图形的各条边分别移动到射线上，比较两个图周长的大小。

设计意图：平面图形的探索要在操作、观察与思考的基础上进行。教师引导学生借助尺规作图研究平面图形的周长，通过点与线来揭示图形本质，让学生经历“思维可视化”的过程，这样不仅能让学生深刻体会将图形中的线段逐条移动到一条直线或射线上的过程，还能让学生充分感知数学学科的严谨性，这对培养学生的数学家精神，揭示数学本质具有重要价值。此环节，学生将思维聚集在周长的探索中，不仅积累了丰富的探索经验，还进一步巩固了自身对周长的认识，即平面图形的周长从本质上而言就是一条线段的长度。教师如此设计，能有效提升学生的几何直观能力，让学生切身体会到尺规作图是“思维可视化”的基本手段。

二、教学思考

1. 工具开发，体现思维可视化的样态

数学教学过程中的思维可视化，一般以直观的思维图、流程图或结构图等展示学生完整的思维过程。在课堂中教师应想方设法开发能够揭露学生思维过程的教学工具，让思维以多样态的形式呈现［２］。

本节课，教师引导学生借助“尺规”工具，探索多边形的周长问题，让学生通过对操作过程的观察与思考，提炼周长的本质。整个探索过程由学生亲自参与、互动交流，既突出了学生亲历“思维可视化”的过程，又借助尺规将图形间的联系展示出来，让学生对周长概念的本质、内涵与外延有深刻理解。学生在教师的引导下画图、操作、表达，能对抽象的数学概念产生直观形象的认识。

2. 多元表征，展示思维可视化的过程

多元表征可增强学生对基础知识的认识，促进联想，为发展其数学思维奠定基础。实践表明，同一问题的不同表征形式可增强表征间的联系，让学生更好地理解知识本质。直观表征属于最基础的思维可视化过程，即通过对实例的客观描述，让学生对数学直观产生客观体验。学生从实际问题中抽象数学问题的思维过程，要经历数字具象化或数量关系明确化的过程，此为提升学习能力的关键。

学生在教师的引导下，不仅用尺规作图法进行直观表征，还应用规范严谨的数学语言进行描述。学生经历了整个思维可视化的过程，对周长这一概念有了直观形象的认识，并深刻理解其本质，实现了深度学习。

3. 探索关联，揭示数学本质

思维可视化并不能将问题中的数量关系都交代清楚，因此这并不是一劳永逸的方法，只有厘清知识与知识间的关联，才能让学生建立系统化的认知结构。因此，教师要引导学生感知知识间的联系，将学生置于互动、质疑与辨析的学习环境下，逐渐清晰学生的思维，为揭示数学本质做好铺垫。

本节课教师紧紧围绕学生的想法展开探索，在深度探究中突破教学难点，让学生自主将多边形的边长逐条移动到直线上，成功揭示了周长的本质——就是一条线段。每个学生都是独立的个体，对同一问题有着不一样的见解，因此在利用思维可视化挖掘知识间的关联时，教师要关注到学生客观存在的差异性，以满足不同学生的学习需求。

总之，教师引导学生经历“思维可视化”过程是揭示数学本质的基础，是推动学生直观思维发展的关键。教师应正确理解思维可视化的内涵，通过多样化的数学工具、多元表征以及知识间的关联来发展学生的数学核心素养。

参考文献：

［１］ 曹志丹，陈树清. “思维可视化”视域下的小学数学教学探究［Ｊ］. 文理导航（中旬），２０２４（６）：５２－５４.

［２］ 王佳怡. 借助尺规作图 探寻周长本质：“通过尺规作图认识三角形的周长”教学片断与思考［Ｊ］. 小学数学教育，２０２４（Ｚ２）：７６－７７＋８３.