从“四个端口”入手，敞亮数学知识本质

作者简介：单信（1987—），教育硕士，中小学一级教师，从事小学数学教育教学工作。

［摘要］数学知识的本质包括四个方面：本源性本质、逻辑性本质、结构性本质以及思想性本质。在小学数学教学中，教师要突出数学本质的四个方面，将之作为教学的源头端、核心端、连接端、应用端。教师要敞开一个区域，让数学知识的本质敞亮开来，让数学知识的本质“是其所是、成其所是”。

［关键词］小学数学；数学本质；四个端口

毋庸讳言，学生数学学习的重要内容之一就是掌握数学知识，掌握数学知识就是对知识本质的掌握。那么，什么是数学知识的本质？从哪些方面体现数学知识的本质？怎样体现数学知识的本质？这些问题是教师在教学研究与实践中遇到的现实性问题。在教学实践中，笔者对数学知识本质的内涵、表现以及教学策略等进行了深入、持久的探索。

一、本源性本质：数学本质教学的源头端口

什么是“本源”？“本源”是指“事物的本质之源”。把握数学知识的本质可以从知识的本源入手，知识的本源是突出数学知识本质的第一个“端口”。知识的本源一般包括两个方面：一是知识的生活性、经验性的本源，这是数学知识最初的本源；二是知识的本体性、学科性的本源，这是数学知识的直接性、衍生性本源。把握数学知识的本源，要求教师学会追溯、追问、追寻。

比如教学“长方形的面积”这一部分内容时，教师应引导学生用单位面积的小正方形来度量。“度量”就是长方形面积的生活性本源。因此，教师可以借助多媒体课件创设一种情境，将学生带到人类探索长方形面积的现实性情境之中，让学生复演人类探索长方形面积的关键步子。教师让学生用单位面积的小正方形作为面积单位去度量长方形，将长方形铺满，并让学生思考：长方形的面积就是什么？此外，教师可以让学生铺更大的长方形，这时会出现单位面积的小正方形个数不够的情况，进而激发学生的认知冲突：作为面积单位的小正方形的个数一定要一个个地数吗？要一个个地统计吗？有没有什么快捷的方法？长方形的长相当于什么？宽呢？通过对问题的探究，学生发现“长方形与每行个数”“长方形宽与行数”“长方形的面积与单位面积的小正方形的总个数之间的关系”等。这样的追溯数学知识本源的教学方式能让学生深刻理解长方形的面积本质：即一种度量意义上的“包含除”，就是看被测量对象中包含多少个测量单位。

追溯数学知识的本源，能让学生把握数学知识的来龙去脉、前世今生，能让学生把握数学知识的源与流。教师要自觉追溯和探寻知识的本源，让本源成为推动学生数学知识建构、生长的助推器、发动机，让本源成为学生数学知识生长的土壤。立足于数学知识的本质之源，教师就能窥见数学知识的本质，找寻到数学教学的“锦囊”。

二、逻辑性本质：数学本质教学的核心端口

数学知识不是静态的，而是动态的、生长性的。教师在数学教学中不仅要引导学生把握数学知识的本质之源，而且要引导学生认识数学知识的逻辑本质。所谓“逻辑本质”是数学知识区别于其他知识的特性，是一种相异性、核心性的特性，是数学知识的生长特性、生发特性等。揭示数学知识的逻辑本质，关键是要把握数学知识“是什么”“为什么”“怎么样”等相关问题。

逻辑性的本质是数学学科知识最具数学味的本质。教师要引导学生将数学学科知识的本质悟通、悟透、悟出，包括概念的本质、原理的本质、方法的本质等。比如教学“圆的面积”这一部分内容时，教师不仅要让学生认识“转化”概念，更要学会转化的策略，深层次领悟转化的方法、思想等，让学生充分经历转化的过程。比如，教师可以引导学生开展并列性的数学实验，赋予学生充分的探究时空、权利等，让学生将圆转化成近似的长方形、三角形、梯形等。教师要引导学生进行转化前后的图形比较：什么变化了？什么没有变化？以圆转化成长方形的过程为例，教师要有意识地发展学生的逻辑思维，让学生深刻认识转化后的长方形的长和宽的变化。教师只有把握图形转化前后的知识逻辑，才能让学生获得深层的参悟，实现对数学知识的“巧讲授”“妙点拨”。同时，教师还可以借助多媒体课件动态展示，将圆平均分成8份、16份等，让学生通过逻辑推理得出“当将圆平均分的份数越来越多时，转化后的圆就越近似于长方形，直至完全转化成长方形”的结论。这样的数学逻辑论证、逻辑推理能有效彰显数学知识的逻辑性本质。

逻辑性本质不仅指向数学知识“是什么”的本体论本质，而且指向数学知识“为什么”“怎么样”的方法论本质，还指向数学知识“应该是什么”“可能是什么”的价值论本质。教师只有让学生从数学知识“是什么”“为什么”“怎么样”“还可能会怎样”的视角进行考量，才能真正揭示数学知识的本质属性，让数学知识的本质属性得以敞亮。

三、结构性本质：数学本质教学的连接端口

数学学科知识是关联性的、结构性的。在数学教学中，教师要秉持层次性、结构性、系统性的思维来把握数学知识千丝万缕的关联。结构性本质是数学知识的外显本质。在数学教学中，教师要引导学生把握数学知识的结构，这既是洞察数学知识关联，还是深化对数学知识本质认识的一种方法、路径、手段、策略。从整体、系统、结构上认识数学知识，对提升学生的数学学习力、发展学生的数学核心素养、助推学生形成对数学知识的上位认知等具有重要的作用。

比如教学“异分母的分数加减法”这一部分内容时，首先笔者让学生开展自主性、自能性的探索：有的学生将分数化成小数，并将异分母分数加减法转化为小数加减法；有的学生借助分数的意义，用画图的方法探究；还有的学生借助通分，将分母不同的分数转化为同分母分数等。其次笔者引导学生对各自的方法进行研讨、交流，并对方法进行比较、优化。通过比较，学生能深刻地认识“通分法”的优势。最后笔者将“整数加减法”“小数加减法”等引入其中，并引导学生进行法则的比较。通过比较，学生能够深刻认识到，无论是“整数加减法”的末位对齐还是“小数加减法”的小数点对齐，或是“异分数加减法”中的通分，都是将不同的“计数单位”转化为相同的“计数单位”。换言之，“数的加减法”的法则背后的数学本质就是“只有计数单位相同才能直接相加或者相减”。对数学知识的整合，不仅能让学生感受、体验数学学科知识的一致性，而且有助于学生建构上位认知，使学生形成良好的数的加减法法则、算理的认知结构。对数学知识的结构性本质的把握，有助于学生建构完善的认知结构，形成灵动的思维结构，从而助推学生的数学学习。

结构是一种关联，是一种互相贯通。数学知识是一个相互关联、相互依赖的整体、系统。教师在教学时要跳出“课时”教学的认知局限，跳出“知识点”的认知局限，让学生认识知识之间的关联，促进学生形成关于数学知识的融合性认知。学生只有对数学知识进行多向思考、正逆互通、上下贯通，才能对数学知识的本质形成一种感悟，才能领悟蕴含在知识中的数学思想与方法、文化与精神。

四、思想性本质：数学本质教学的应用端口

思想性本质是数学知识本质的灵魂。数学思想是数学知识发生、发展的根本，也是学生数学学习的基础、内核。在小学数学教学中，教师对数学知识的本质理解、理性感悟就是一种数学思想、方法的感悟。思想性本质是数学本质教学的应用端口。数学思想具有层次性，其上位思想按照史宁中教授的说法，包括“抽象”“推理”和“建模”。在这三个重要的高观点思想导引下，可以派生出其他数学思想，如数形结合思想、转化思想、对应思想、分类思想、符号思想、方程思想、函数思想、优化思想等。

在数学学科教学中，数学知识是一条明线，数学思想是一条暗线，数学思想能渗透、融入每一个知识点之中。教师在数学教学中要深入发掘数学思想，将隐藏的数学思想显露出来、敞亮开来；同时，教师要自觉地以数学思想为脉络、抓手，引导学生在数学学科知识学习中去感悟、品味。教师要通过引导学生感悟数学思想，激发学生的数学深度思考，引发学生的数学深度探究。比如教学“分数乘法应用题”“分数除法应用题”“稍复杂的分数乘除法应用题”等相关知识时，教师应当紧紧把握数学的对应思想、转化思想，引导学生将关键句中的“量与率”的不直接对应转化成直接对应。通过“量率”的直接对应，能引导学生自主解决相关的分数乘除法应用题。显然，这里的对应思想、转化思想等对学生解决数学实际问题等具有重要的作用。在数学学科教学中，对应、转化的数学思想有着广泛的应用。在数学教学中，教师经常引导学生揣摩、品味数学知识背后的思想方法，能有效提升学生的数学学习力和发展学生的数学核心素养，让学生从“学会”走向“会学”“慧学”。

教师要引导学生在数学学习中能透过知识看方法、透过方法看思想，引导学生由表及里、由此及彼地开展数学思考、探究，从而发掘数学的思想性本质。数学知识蕴含着数学思想，学生掌握了数学思想就可以自主探究数学知识。教师在进行数学知识教学时，要始终渗透、融入相关的数学思想，让数学知识教学成为在思想引领下、启发下、点拨下的知识教学。数学思想是数学知识本质最凝练的体现。对于学生来说，数学知识可能会遗忘，而唯独深深印刻在学生头脑中的数学思想会随时随地对学生的数学学习发挥功能、作用。

数学知识的本质是数学知识成立的根据。因此，从数学知识的发源、发端来看，着眼于数学知识的生长、生发特性，关注数学知识的结构、关联，显现数学知识的思想方法等能让数学知识的本质充分彰显。数学知识的本质不是外在于数学知识的，而是内在于数学知识本身的，是数学知识的重要组成，是数学知识的隐性内核。本质是数学学科知识的根本，教师引导学生掌握本质是数学高品质教学的至真追求。