基于推理意识的数学教学设计与评析

［摘  要］ 为了在“倍数的特征”教学中渗透推理意识，研究者以“3的倍数的特征”一课的教学为例，让学生通过“听”出3的倍数，初步感受倍数的特征；“圈”出3的倍数，经历推理的全过程；“用”出3的倍数，实现推理方法的迁移，帮助学生发现和归纳更多数的倍数的特征。

［关键词］ 推理意识；3的倍数；教学设计《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出了数感、量感、推理意识等11个核心素养，力求在小学数学课堂中体现素养教育，要求将培养学生数学核心素养落到实处。笔者在教学“3的倍数的特征”一课时，融入了推理意识的核心素养，让学生经历“猜想—验证—归纳”的推理过程，不仅落实了知识和技能的教学，还渗透了数学思想方法的教学。

一、“3的倍数的特征”教学设计

1. 学情分析

“3的倍数的特征”一课是学生学习了因数和倍数、2和5倍数的特征后的继续学习，此时大多数学生认为3的倍数的特征与个位上的数有关。因此，教师要引导学生在百数表中圈出3的倍数，观察圈出来的数的个位没有规律。当学生思维遇到困难时，教师可以适当提醒学生思考“在计数器上拨出3的倍数，数一数用了几颗珠子”，从而帮助他们发现3的倍数的特征。

2. 教学目标

（1）探究3的倍数的特征，了解3的倍数的特征，能够判断一个数是否是3的倍数。

（2）培养学生的分析、比较、猜测、验证能力和推理意识。

3. 教学过程

环节一：“听”出3的倍数，初步感受倍数的特征

师：同学们，上一节课我们探讨了2和5的倍数的特征，你们知道2和5的倍数的特征是什么吗？

生1：看数的个位，2的倍数的特征是个位是0、2、4、6、8，5的倍数的特征是个位是0或5。

师：这节课我们来研究3的倍数，谁来猜一猜3的倍数怎么判断？

学生回答：（1）3的倍数的特征与2和5的倍数的特征一样，看个位上的数；（2）3的倍数的特征是个位是1、3、5、7、9；（3）3的倍数的特征是把每个数位上的数全部加起来的和能被3整除的数就是3的倍数。

师：刚才大家有不一样的猜测，老师不用“看”，我的特异功能是“听”，你们信不信？

教师出示“听”的规则：请一个同学拨计数器，每次在任意数位上只拨1颗珠子。老师不看计数器，听声音判断拨出的数是否是3的倍数；其他同学用计算器计算，判断老师的结果是否正确。

师：谁想来拨珠？

生2：我开始拨珠了。

教师听到拨了2颗珠子，说不是3的倍数。其他学生验证110不是3的倍数。

生3：大家听好，我开始拨珠了。

教师听到拨了6颗珠子，说是3的倍数。其他学生验证10230是3的倍数。

评析：建构主义认为学习不是被动地接受信息的刺激，而是主动建构意义。因此，学生要根据自己的经验背景选择、加工、处理外部信息，才能形成自己的意义。教师先要引导学生利用已有知识经验猜测3的倍数的特征，虽然学生的猜测五花八门，但是他们的猜测为验证和归纳提供了基础；然后，由学生在计数器上拨珠，教师听珠判断和学生计算判断共同验证这个数是否为3的倍数，为学生提炼3的倍数的特征提供了思考方向。

环节二：“圈”出3的倍数，经历推理的全过程

（1）探究3的倍数的特征是什么

师：3的倍数到底有怎样的特征呢？第一个任务，在百数表中按顺序依次圈出3的倍数；第二个任务，想一想你发现了什么规律？先在小组里和同学说一说。

生1：如图1，我发现百数表里3的倍数都是斜着的，斜着的这些数个位都是连续的，比如21、12、3这些数的个位是1、2、3，51、42、33、24、15、6这些数的个位是1、2、3、4、5、6。

图1

生2：我发现斜着看时，每一个数之间相差9，比如21与12相差9，12与3相差9，81与72相差9……

生3：我发现这些数各位上数的和都能被3整除，比如51，5加1等于6，6除以3等于2，所以51是3的倍数；72各位上的数7加2等于9，9除以3等于3，所以72是3的倍数。

师：各个数位上的数的和相加能被3整除的数是3的倍数，刚才有同学猜3的倍数是个位是1、3、5、7、9这样的数，为什么不对？

生4：比如66，虽然这个数的个位是6，但66是3的倍数。

师：所以我们不能根据个位上的数来判断这个数是否是3的倍数，而要根据各个数位上数的和来判断这个数是否是3的倍数。刚才老师通过“听”就能判断出是否是3的倍数，你们觉得老师在听什么？

生5：老师在听这个数的各位上数的和是多少。

师：（判断计数器上的12、41、33、1012）这些数是3的倍数吗？

生6：12是3的倍数，41不是3的倍数。

评析：为了探究3的倍数的特征，教师设计了圈一圈、看一看、想一想、判一判等学习任务，让学生在圈一圈活动中了解3的倍数的数的分布情况，在看一看的活动中观察3的倍数的规律，在想一想的活动中总结3的倍数的特征，在判一判的活动中验证结论。

（2）探究为什么3的倍数有这样的特征

师：我们既要知道3的倍数的特征，还要去探究它背后的道理，知道为什么3的倍数有这样的特征。请大家拿出学习单，圈一圈小正方体，想一想为什么27的各个数位上的数相加的和是3的倍数，27就是3的倍数？为什么262的各个数位上的数相加的和不是3的倍数，262就不是3的倍数？我们在圈小正方体的时候要在10、100里3个3个竖着圈，思考圈走了几个，还剩几个，明白我说的意思吗？想好了在小组里说一说。

生7：27个小正方体，有2个10和7个1。十位上每个10里圈走了9个，剩下1个，十位共剩余2个；个位上剩余1个，一共剩余3个。因为剩余的3个正好可以圈1次，最后没有剩余，所以27是3的倍数。我们发现十位剩下2个小正方体，十位正好是2；个位剩下1个小正方体，个位正好是1，所以只要把各个数位上的数加起来看能否被3整除就可以了。

生8：262个小正方体，百位上每个百里圈走了99个，剩下1个，百位一共剩余2个；十位上每个10里圈走9个，剩下1个，十位一共剩余6个；个位上剩余2个，一共剩余10个。把10个小正方体3个3个地圈，能圈3次，还剩1个，所以262不是3的倍数。大家有补充吗？

生9：我还发现百位剩余的个数就是百位上的数，十位剩余的个数就是十位上的数，个位剩余的个数就是个位上的数。

师：现在我们知道为什么3的倍数只要看各个数位上数的和了。你们能用刚才的方法判断398是3的倍数吗？

生10：398这个数百位上每个百里圈走99个，剩下1个，百位一共剩余3个；十位上每个10里圈走9个，剩下1个，十位一共剩余9个；个位上剩余8个，一共剩余20个。把20个小正方体3个3个地圈，能圈6次，还剩2个，所以398不是3的倍数。

生11：百位一共剩余3个，3个3个地刚好分完；十位一共剩余9个，3个3个地刚好分完；所以我们只要看个位上剩余的8个是否能被3整除就可以了。

评析：数学是一门讲道理的学科。学生在学习数学知识的过程中不仅要知道数学知识的内容，还要知道数学知识是怎么来的。当学生通过圈百数表中3的倍数，发现了3的倍数的特征，教师引导学生借助圈小正方体的活动，解释为什么3的倍数是把各个数位上的数相加除以3。学生在圈小正方体的过程中，发现百位剩余的个数就是百位上的数，十位剩余的个数就是十位上的数，个位剩余的个数就是个位上的数，所以只要把这个数各个数位上的数相加的和能否被3整除，就可以判断这个数是否是“3的倍数”。

环节三：“用”出3的倍数，实现推理方法的迁移

师：（出示数字：24、76、136、2070）哪些数是3的倍数？

生1：2加4等于6，6除以3等于2，所以24是3的倍数；7加6等于13，13除以3有余数，所以76不是3的倍数；1加3加6等于10，10除以3有余数，所以136不是3的倍数；2加7等于9，9除以3等于3，所以2070是3的倍数。

师：我们在这些数字后面增加一个数字，使这些数变成3的倍数。大家在学习单上写一写，可以写哪些数字？

生2：24和2070是3的倍数，所以后面可以增加0、3、6、9；76这个数的两个数和是13，我们就想13加几能被3整除，所以后面可以增加2、5、8；136这个数的三个数和是10，我们就想10加几能被3整除，所以后面可以增加2、5、8。

师：同学们，学了这节课你们有什么收获？

生3：我知道了3的倍数的特征是看各个数位之和。

生4：我学会了听计数器珠子的声音就知道这个数是不是3的倍数，我还学会了“猜想—验证—归纳”的方法。

评析：当学生掌握了3的倍数的特征的探究方法后，教师可以引导学生用同样的推理方法去探究更多有关倍数特征的知识，真正体现了“授人以渔”的教学理念。

二、“3的倍数的特征”教学反思

推理作为数学的一个基本思想，反映了数学的本质属性，是数学思维的基本形式，也是科学态度和理性思维的基础。“3的倍数的特征”的教学离不开推理，学生先借助百数表找出某个数的倍数，然后归纳这些数的共性规律。

1. 在推导中经历猜想、验证和归纳过程

数学知识的习得是学生像科学家那样在探究过程中发现和创造数学概念和原理。学生在探究3的倍数的特征时，已经有了丰富的探究经验，但是由于2和5的倍数的特征的探究经验给学生带来了负迁移，部分学生很难想到3的倍数的特征与各个数位上的数之和有关，教师可以适当设计在计数器上拨珠等活动，让学生在强暗示中得到3的倍数的特征的结论。

2. 在说理中解释3的倍数的特征的原因

数学中的定理、规则、计算等知识的产生和发展，以及每一条规则的确定，都蕴含着深刻的数学原理。为了帮助学生更好地理解3的倍数的特征的产生原因，教师巧妙地让学生圈小正方体，在圈的过程中发现各个数位上剩余的小正方体个数就对应着这些数位上的数，因此只要把这些数位上的数相加，看这个和是否能被3整除，即剩余的所有小正方体个数能否被3整除，从而判断是否是3的倍数。

总之，教师让学生经历3的倍数的特征的推理过程，先通过百数表发现倍数的规律，并验证自己发现的规律是否适合所有的3的倍数；然后通过说理验证3的倍数的特征，确保自己发现的3的倍数的特征的正确性。在这样的推理学习过程中，学生敢于质疑自己的猜想，逐步完善自己的猜想，逐渐养成讲道理的习惯。