依托知识串讲，实现结构化教学

［摘  要］ 依托知识串讲可以实现结构化教学。研究者以“平面图形面积总复习”一课为例，借助开放问题，让学生引出面积公式；串讲面积知识，帮助学生沟通知识联系；重回实际问题，促使学生发现更多解法。

［关键词］ 知识串讲；结构化；平面图形面积数学知识之间具有联系，学生不能孤立地学习每一个数学知识点，而要将相关联的数学知识点放在一起进行比较，发现它们的联系与区别，在头脑中形成清晰的知识网络结构。比如“平面图形面积”这个知识点，学生在三年级下册学习面积的含义和常用面积单位，学习长方形和正方形的面积计算方法；在五年级上册学习平行四边形、三角形、梯形等多边形的面积计算方法；在五年级下册学习圆的面积计算方法。通常学生是在不同年级单独学习平面图形的面积计算方法，到了六年级的总复习阶段，教师有必要把相关的平面图形面积知识串联在同一节数学课中，帮助学生整体认识平面图形面积计算公式，综合解决生活中的平面图形面积计算问题。

一、借助开放问题，引出面积公式

一道面积计算的开放性问题看似简单，但学生容易陷入定式思维。因此，教师要及时引导学生转变思考方向，让他们想到各种形状的小花坛，从而引出计算平面图形面积的复习课。在教学中，教师要引导学生回顾长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和圆形的面积计算公式。

师：（出示题目：周长是628厘米的小花坛，面积是多少平方厘米？）同学们，请在练习本上做一做。

生1：圆形的周长公式是2πr，所以r=628÷2÷3.14=100（厘米）。圆形的面积公式是πr2=3.14×100×100=31400（平方厘米）。

师：这位同学在计算小花坛面积时用到了圆的面积公式。还有其他不一样的做法吗？

生2：我觉得小花坛不一定是圆形，可以是长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形，还可以是组合图形。如果小花坛是正方形，这个正方形的边长是628÷4=157（厘米），正方形的面积是157×157=24649（平方厘米）。

师：这位同学说到这个小花坛可以有不同的形状，我们一起来复习一下这些平面图形面积的计算。

生3：长方形面积是长乘宽，正方形面积是边长乘边长，平行四边形面积是底乘高，三角形面积是底乘高除以2，梯形面积是上底加下底的和乘高除以2，圆形面积是π乘半径的平方。

师：非常棒，这6个平面图形面积计算公式在小学阶段经常用到。刚才同学们计算了圆形和正方形，请你们想一想怎么计算其他平面图形的面积？

师：老师看到很多同学无法计算其他平面图形的面积，你们遇到什么困难了？

生4：不知道长方形的长和宽分别是多少，也不知道梯形的上底、下底和高。

师：比如长方形，我们虽然不知道长和宽是多少，但是什么是不变的？

生5：长加宽的和是314厘米。

在这个教学片段中，教师由一道生活中的开放题引出平面图形的周长和面积计算，学生由628这个数想到小花坛一定是圆形，从而利用圆形的周长和面积公式计算小花坛的面积；然后，学生想到小花坛的形状可以是多种平面图形，他们发现最容易计算的是正方形的面积，并发现其他平面图形的面积之间是有联系的。

二、串讲面积知识，沟通知识联系

串讲是指教师将相关联或相似的数学知识放在一起，让学生在比较中寻找数学知识的来龙去脉。为了促进学生沟通这6个面积公式，教师通过问题串联起这6个面积公式，促进学生进行结构化学习。

师：同学们，这6个平面图形面积公式中，你们觉得哪个面积公式最重要？请说明理由。

生1：我认为长方形面积公式最重要，所有平面图形的面积都可以转化为长方形。正方形是特殊的长方形，所以当长方形的长和宽相等时就变成了正方形；平行四边形通过割补可以转变成长方形；圆形通过割圆术可以无限接近长方形；两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，平行四边形可以割补转化成长方形；两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，平行四边形可以割补转化成长方形。

师：你们认为长方形的面积公式最重要，那你们知道长方形的面积公式长乘宽是怎么来的吗？

生2：我们先看长边可以放几个1平方厘米的小正方形，再看宽边可以放几个1平方厘米的小正方形，得到一共有多少个1平方厘米的小正方形，就是长方形的面积了。

师：那你们觉得这6个面积公式中，哪个面积公式最特别？特别在哪里？

生3：我认为圆形的面积公式最特别，因为这个面积公式里有无理数π。

师：是的，这个面积公式里有π，你们可别小瞧这个公式，变化里藏着很多奥秘。圆形的面积S=πr2，如果我们知道圆的半径r，可以利用公式S=π×（r×r）来计算圆的面积；我们在探索圆的面积时，把圆割补成近似的长方形，长方形的长就是πr，宽就是r，所以我们得到S=（π×r）×r。同学们，梯形的面积公式特别长，也非常特别，想一想我们是怎么得到梯形的面积公式的？

生4：把两个完全一样的梯形拼在一起就是平行四边形，利用平行四边形的面积公式得到梯形的面积公式。

师：梯形的面积公式（a＋b）×h÷2，在计算三角形面积时我们可以看成a=0，在计算平行四边形面积时我们可以看成a=b，在计算长方形面积时我们可以看成a=b且有四个直角。

在这个教学片段中，在学生在解决生活中的开放性问题遇到困难时，教师及时引导学生发现这6个面积公式之间的联系与区别；同时，教师引导学生发现长方形最特别，因为另外5个平面图形都可以转化为长方形；梯形最特殊，因为另外五个平面图形面积公式都可以由梯形面积公式转化而来。

三、重回实际问题，发现更多解法

从开放题来，再回到开放题。学生经历深层次的学习和思考后，对这6个平面图形的面积公式有了更深刻的理解，更容易发现图形中的变与不变，为解决这道开放题提供更多的解题思路。

师：同学们，现在我们对这6个平面图形面积公式有了更加深刻的认识。我们回到这道题目，请你们想一想如果是长方形，你们能算出哪些结果？

生1：158×156=24648（平方厘米），159×155=24645（平方厘米）……312×2=624（平方厘米），313×1=313（平方厘米）。

师：现在我们来观察这些算式，从正方形面积24649平方厘米到长方形面积24648平方厘米、24645平方厘米……都非常接近。圆面积31400平方厘米到正方形面积24649平方厘米却相差很大，你知道这是为什么吗？

生2：我猜是正方形到圆中间还有正五边形、正六边形、正七边形等。

师：所以我们可以把圆形看成正无数边形。那如果要你计算正五边形、正六边形，甚至更多的多边形的面积，你们会怎么办？

生3：先计算出每条边的长度，再把这些不规则图形割补成规则图形，然后量出高……

在这个教学片段中，教师先引导学生解决了小花坛是长方形时的面积计算，然后引导学生根据面积结果发现从圆形到正方形中隐藏着无数的正多边形，从而帮助学生打通更多的平面图形的面积计算，让学生体会到圆是正无数边形。

总之，数学知识串讲是按照一定的逻辑顺序对数学知识进行系统展开和解释，它有助于学生将所学的数学知识和技能有机地联系起来。教师通过对数学知识的串讲，让学生更清晰地理解数学的内在逻辑，能够更好地理解数学的概念和技能，提高对数学的掌握水平。同时，数学思维强调逻辑性、精确性和系统性，数学知识串讲和结构化教学有助于学生建立数学思维的习惯和方法。学生通过问题分析、归纳、推理来理解和运用数学知识，对其未来的数学学习和问题解决能力培养都具有重要意义。