基于前测数据，促进图形认识

［摘  要］ 为了促进学生认识图形，研究者基于前测数据，重新整合了三角形的认识和三角形的分类等数学知识，促使学生有结构地学、有关联地练，凸显单元整合教学的优势。

［关键词］ 前测数据；单元整合；认识三角形“认识三角形”是“三角形、平行四边形和梯形”中的教学内容，包括三角形的认识、三角形的三边关系、三角形的内角和、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、等腰三角形和等边三角形等。教师通过单元整合，依据前测数据，将相关的数学知识点放在一节课里，促进学生有联系地理解数学概念。

一、借助课前检测，暴露学生的学情

“学生现在在哪里”和“教师要到哪里去”是教师需要研究的内容，这不仅有助于教师了解学生的知识逻辑，还有助于教师针对性地依据学情设计教学任务。为了更加精准地了解学生对三角形知识的掌握情况，笔者设计了三道前测题：第一题是让学生判断三角形，让学生直观感知三角形的形状；第二题是“你认为怎样的图形是三角形”，考查学生用抽象的语言来描述他们头脑中的三角形；第三题是让学生对三角形进行分类，并写出这些三角形的名称，了解学生能否按照不同标准对三角形进行分类。

师：同学们，今天我们来学习“三角形的认识”。我们在课前完成了三道前测题，一起来看看你们是怎么想的。（出示前测第一题，如图1）判断哪些图形是三角形，全班同学都认为①③④是三角形，其他几个图形为什么不是三角形？

生1：②有一条线弯曲了，⑤有一条线多出来了，⑥有一条线太短了，所以这三个图形都不是三角形。

教师出示前测第二题学生的回答：（1）有三个角的叫作三角形；（2）有三条边、三个顶点、三个角的叫作三角形；（3）由三条线段围成的图形叫作三角形。

师：同学们，你们觉得怎样的图形是三角形呢？你们支持谁的观点？为什么？

生2：我支持第二种观点，因为三角形由三条边、三个顶点、三个角组成。

生3：我觉得第一种和第二种观点不正确，第三种观点是正确的。

师：看来大家头脑中的三角形都不一样，让我们看看课本中是怎么描述三角形的。（出示三角形的定义：三条线段首尾相接围成的图形叫作三角形）你们能看懂三角形的定义吗？

生4：三角形相邻两条线段要首尾相连，不能多出来也不能缩短长度。

师：我们知道了什么是三角形。（出示前测第三题）你们能对三角形进行分类吗？

生5：如果按照角的大小来分，三角形可以分成锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；如果按照三条边的长短来分，三角形可以分成等边三角形、等腰三角形和三条边都不相等的三角形。

在这个教学片段中，教师有意识地暴露学生对三角形的学情基础，在课堂中针对性地组织学生探讨他们的认知盲区：全班学生都能正确解决前测第一题，教学时就少花时间；较多学生在解决前测第二题和第三题时遇到了困难，就多花时间进行讨论和交流，帮助学生进一步认识三角形，根据三角形的定义判断三角形。

二、借助直观图形，整合图形的分类

单元整合教学的优势在于将相关的数学知识整合在一节课或几节课中，帮助学生系统地学习和理解数学知识，促使他们形成结构化的思维。通过整合学科之间的知识和技能，能使学生的学习变得更加有趣和有意义。学生可以将所学知识运用到实际问题中，提高学习的可操作性和实用性，从而增加学习的动力和兴趣。在苏教版教材中，“三角形的分类”是单独作为一个课时进行教学编排的，笔者在前测中发现部分学生对三角形的分类已经有了初步的认识，为了帮助学生全面地认识三角形，就把三角形的分类作为教学中的一个环节。

师：如图2，老师为每个同学准备了七个三角形，请你们分一分，并说一说这样分的理由。

生1：我分类的标准是锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。②和⑥都有一个角是直角，所以它们是直角三角形；③和④都有一个角是钝角，所以它们是钝角三角形；①⑤⑦三个角都是锐角，所以是锐角三角形。大家同意我的想法吗？

师：这位同学按角的标准对七个三角形进行分类，如果按边分又该怎么分呢？请阅读课本中关于等腰三角形和等边三角形的定义。

生2：两条边相等的三角形叫作等腰三角形。等腰三角形有一个顶点和两个底角，两条腰和一条底边，两条腰的长度相等，等腰三角形的底角相等，等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的高在它的对称轴上。三条边都相等的三角形是等边三角形，也叫作正三角形。等边三角形的三个角相等，等边三角形是轴对称图形，等边三角形有三条对称轴。

师：在这七个三角形中，哪几个是等腰三角形？哪几个是等边三角形？如果不能确定的话，可以拿尺子量一量或者折一折。

生3：④和⑥是等腰三角形，⑤是等边三角形。

生4：我有补充，⑤既是等边三角形，也是等腰三角形。⑥既是等腰三角形，也是直角三角形。

师：你们能在④和⑥的等腰三角形中指一指顶点、底角、腰和底边分别在哪里吗？（学生指出等腰三角形各部分的名称）

师：刚才有同学说⑤既是等边三角形，也是等腰三角形，你们觉得等腰三角形和等边三角形之间有怎样的关系？

生5：等边三角形是特殊的等腰三角形。

师：刚才有同学说⑥既是等腰三角形，也是直角三角形，我们可以叫它等腰直角三角形。

师：你们觉得三角形按边分类，可以怎么分？

生6：①②③和⑦是三边都不相等的三角形，④和⑥是等腰三角形，⑤是等边三角形，其中等腰三角形包括等边三角形。

在这个教学片段中，教师引导学生根据三个角的大小和三条边的长短进行分类，使学生在探索的过程中经历了独立思考、小组讨论和动手操作等丰富的活动体验，并引导学生发现按角可以分成锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，进而能判断每个三角形的类型；使学生明确按边可以分成三边都不相等的三角形和等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，并能指出等腰三角形中的顶点、底角、腰和底边的位置。

三、借助巩固练习，辨析图形的本质

认识图形的本质，是学生在认识图形的过程中对图形的数学本质进行“去伪存真”，最终留下图形的核心内涵。当教师引导学生认识三角形和三角形的分类后，设计了与前测题相对应的作业单，让学生在基础性练习中认识并掌握三角形的基本特征，认识三角形中各部分的名称，能按角和按边对三角形进行分类；在拓展性练习中培养学生的观察、操作、分析、概括、推理等综合能力，帮助学生积累认识图形的经验，发展空间观念。

1.利用基础性练习巩固三角形的特征

师：同学们，谁来说一说我们是怎么认识三角形的？

生1：我们先认识了三角形的定义，知道了三角形是由三个角、三个顶点、三条边组成的，还确定了三角形的分类标准，可以按角和按边对三角形进行分类。

师：请同学们拿出作业单（如表1），独立完成这节课的练习。

师：谁来说一说你是怎么想的？

生2：我们先看选择题，第1小题，红领巾是一个钝角三角形，还是等腰三角形；第2小题，这个等腰三角形的底角可能是30°，也可能是（180°-30°）÷2=75°；第3小题，两个完全相同的直角三角形可以拼成一个锐角、直角或钝角三角形。判断题，第1小题“一个三角形至少有两个锐角”是正确的；第2小题“由三条线段围成的图形叫作三角形”是错误的，这三条线段还要首尾相连；第3小题“有两个角相等的三角形是等腰三角形”是正确的……

在这个教学片段中，教师围绕三角形的认识和三角形的分类设计了相关的基础性练习，帮助学生在练习中巩固基础知识，这有助于教师及时了解学生的掌握情况。有的题目综合了2～3个数学知识点，比如判断题“所有等腰三角形都是锐角三角形”综合了三角形的按边分类和按角分类等知识，引导学生灵活地辨析三角形的分类；有的题目是针对学生易错点的辨析，比如判断题“由三条线段围成的图形叫作三角形”考查学生能否深刻理解三角形的含义。

2. 利用拓展性练习丰富三角形的内涵

师：（出示练习1：在三角形的学习信封中分别找出一个锐角三角形、一个直角三角形和一个钝角三角形，先折一折，在折痕处画上虚线；然后剪一剪，使它变成两个直角三角形）同学们，请从信封里找出这些三角形，把这些三角形变成两个直角三角形。

生3：（边说边演示）我找到的是锐角三角形，从这个锐角三角形的一个顶点向它的对边画一条垂线段，就变成了两个直角三角形。

师：在这个锐角三角形中，你们能找到几种不同的折法？

生4：3种，可以分别从锐角三角形的三个顶点向它的对边画垂线段，都能找到两个直角三角形。

师：钝角三角形中能找到几种不同的折法？直角三角形中能找到几种不同的折法？

生5：（边说边演示）钝角三角形中能找到1种折法，从这个顶点出发向最长的边上画垂线段，就变成了两个直角三角形。直角三角形中能找到1种折法，从这个顶点出发向斜边上画垂线段，就变成了两个直角三角形。

师：（出示练习2：在三角形的学习信封中找出一个不等边三角形，先折一折，在折痕处画上虚线；然后剪一剪，使它变成一个等腰三角形）同学们，想一想有几种不同的方法？

生6：4种，我们可以把这个三角形对折，努力做到一条边要和另外一条边相等，再把多余的部分剪掉就可以了，因为两条边相等的三角形一定是等腰三角形。

在这个教学片段中，教师围绕不同的三角形设计了拓展性练习，整合了三角形的相关知识：练习1引导学生把三角形变成两个直角三角形，为后续学习三角形的高和画高等知识作铺垫；练习2引导学生把不等边三角形变成等腰三角形，沟通了不等边三角形和等腰三角形的“变与不变”。

总之，基于前测数据的单元整体教学突破了传统教学的界限，能够帮助学生理解不同知识之间的联系和相互作用，让学生将所学的知识在生活中进行应用；有助于学生综合运用知识解决有关数学实际问题，培养学生的批判性思维、创造性思维和解决问题的能力；能为学生提供更贴近实际生活的学习体验，激发他们的学习兴趣和动力。学生在“认识三角形”学习中，不仅能用抽象的数学语言来描述和判断三角形，还能用不同的分类标准对三角形进行分类。学生用联系的视角认识三角形，能从原来的感性认识上升到理性认识，从具体形象的感知过渡到抽象深刻的理解阶段。