如何跨越假分数的思维断层

[摘  要] 假分数是学生分数学习中的一个认知难点，从定义上看，学生很容易辨别，但对假分数的本质并未真正理解，甚至容易和生活实际产生认知冲突。笔者基于学生假分数学习的易错之“困”，解析思维断层之“因”，探寻跨越假分数思维断层的有效路径。

[关键词] 假分数;思维断层;分数教学

分数还有“假”的吗？它还是分数吗？一块饼全部分完就是“1”，怎么会出现比1还要大的分数？诸如类似的问题，困扰着学生，也是教师在教学“真分数和假分数”时亟须明晰的问题。若直接出示假分数的定义，学生也能根据分数中分子和分母的关系正确辨别，但学生真的理解“假分数”了吗？基于此问题，笔者对“假分数”进行了思考与实践。

一、凝视：假分数学习的易错之“困”

五年级下学期在学习真分数和假分数之前，学生对于用分数表示涂色部分的表达基本都是这样的（如图1），即使在教学完这部分内容之后，还是有一些学生扭转不过来。

他们认为8份中涂了5份，应该用表示，而且分数是把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，把平均分的这些份数全部取走也只有整个单位“1”，还能出现取的份数比平均分的份数更多的情况吗？

二、透视：假分数学习的断层之“因”

1. 单位“1”的变化引起思维障碍

苏教版小学数学教材中，关于单位“1”，三年级上册是一个物体，三年级下册是一些物体组成的一个整体，五年级下册不管是一个还是多个物体组成的整体都可看作单位“1”，扩大了单位“1”的内涵。但是在研究假分数的时候，单位“1”又聚焦到了1个（物体或图形）上，学生由此产生了思维的困惑，面对出现的两个物体或两个图形，到底是把其中的“1个”看作单位“1”，还是应该把这“2个”组成的整体看作单位“1”？

上述问题中的图形（图1），并未明确表达把谁看作单位“1”，只是给出了两个圆，每个圆都平均分成了4份，涂色部分一共占了5份，而下面的大括号把两个圆括在了一起，也很容易让学生理解为把这两个圆组成的整体看作单位“1”，从而导致类似图1的题目频繁出错。

2. 已有的生活经验产生认识负迁移

分数的产生始于测量或分物过程中的除不尽。生活实际中经常是分一个物体，或者是分一些物体组成的这个整体，如把一个饼平均分成4份，每份是块饼，一个饼全部分完也只有4块，怎么会出现拿5块饼的情况呢，根本不可能拿到啊！或者把一堆糖果看成的整体平均分成4份，同样的道理，全部拿完也只有4份，何来，或是更大的分数呢？这是生活中的实际分物经验，容易让学生对假分数的认识产生负迁移。

3. “份数定义”的过度强化造成思维断层

张奠宙教授曾指出分数的四种定义，我们常用的“份数定义”可以作为分数认识的起点，但不能过度强调，否则容易产生思维定式，与生活经验混淆，对于“部分”和“整体”产生认知局限，认为“部分”一定是小于或等于“整体”的，那么假分数的出现在学生的认知领域中是个不可思议的存在，故而疑惑是“假”的分数？

三、审视：跨越假分数思维断层的路径之“策”

1. 明晰单位“1”，打破认知局限

单位“1”在分数的学习中是至关重要的，从学生几次学习分数的历程可见，在分数意义的学习过程中，单位“1”的内涵从一个物体开始不断地丰富，到了五年级分数的再认识时进行了提炼，提出了单位“1”这一概念。若学生走不出分数不能大于单位“1”的误区，不妨进行单位“1”的对比练习。

教学片段1

师：把红彩带的长看作单位“1”，黄彩带的长是红彩带的几分之几（图2）？

生1：是，因为3÷4=3/4。

生2：把红彩带的长看作单位“1”，平均分成4份，黄彩带和其中的三份一样长，所以黄彩带的长是红彩带的。

师：是的，从图中很明显看出黄彩带比红彩带短，是红彩带的“部分”长，所以结果比1小。如果把黄彩带的长看作单位“1”，红彩带的长是黄彩带的几分之几呢？

生3：4÷3=4/3。

师：现在的结果为何会大于1呢？

生4：红彩带比黄彩带长，所以用红彩带的长除以黄彩带的长，结果肯定比1大。

通过红彩带和黄彩带的关系比较，明确把谁的长度看作单位“1”，学生借助已有认知经验，能熟练求出一个数是另一个数的几分之几，由长度关系的比较，巧妙突破单位“1”的认知局限。

2. 紧抓分数单位，感受单位累加

假分数不应只出现在“真分数和假分数”这一内容学习的时候，笔者认为，在深入研究分数单位的过程中，就可紧紧抓住分数单位，感受分数是单位的累加，在分数单位依次累加的过程中，自然而然地从真分数过渡到假分数，让学生感受到假分数是真实存在的，有其合理性，假分数并不“假”，它也是分数！

查阅苏教版和人教版的教材，不难发现，两个版本的教材对于假分数的教学方式虽有些许不同，但研究的方式类似，都从真分数开始引入，逐步突破。对于假分数的表示，都同时采用了几个几分之几的表达方式，让学生用分数累加的方式去突破对假分数的认知障碍，从而化解一个饼最多拿4份的局限。虽然苏教版并没有明确指出把谁看作单位“1”，但是有意引导学生理解如何表达5个。用1个圆最多只能表示4个，所以还有1个就需再用1个圆来表示，从而实现4个和1个的累加，即5个，引出这一假分数。

3. 借助动态数轴，跨越思维断层

数轴是以形助数很好的载体，借助数轴，以动态形式让学生充分感受分数单位的累加，可以在分数意义的学习过程中孕伏假分数的产生，从而跨越“假”分数的思维断层。

教学片段2

把一条线段看作单位“1”，可以先表示出，然后用这样长的一条线段对齐原线段依次累加，数出（1个）、（2个）、（3个）、（4个），数到的时候，发现现在的线段总长度和原来一样长，说明=1。接着往下数，再往后添一个，是5个，就是，此时的线段总长明显长于原来的线段，说明比1要大，突破了单位“1”的长度限制，再往后还能数出无数个四分之几的数。

在此过程中，不仅明确了数分数的单位，还感知了四分之几就是由几个这样的累加而成，同时，扩充了数系，从线段扩充为数轴，突破了真分数到假分数的思维障碍，为后续真分数和假分数的深入研究打下了理解的基础。

假分数也是分数，相对于真分数而存在。假分数的教学，可在分数意义教学中进行适当孕伏，巧用数轴，明确单位“1”，紧抓分数单位，动态呈现分数单位的累加过程，打破“部分”和“整体”关系的思维定式，弥补学生思维的“断层”。正面建构，逆向分析，基于理解，才能有效跨越“断层”。

作者简介：陈瑛（1985—），本科学历，一级教师，从事小学数学教学研究工作。