渐进“再发现”：在数学活动中悟思想提素养

［ 关键词 ］ 渐进式教学；数学“再发现”；数学活动；数形结合

教学怪象思考

当下数学课堂教学出现一种怪象：各类“高效课堂”大行其道，“大容量、快节奏”的教学模式备受吹捧，这种追求效率，把速度置顶，不惜一切代价提升学生的分数，把追求课堂知识容量和强化解题能力训练当作数学课堂教学的终极目标的做法，其实折射出人们对教育功利的渴望与躁动.这种以追求效率为目的的课堂教学模式，忽视对数学教育本质的关注，单就一节课而言，学生掌握具体知识的容量与速度是高效的，但可能会造成学生掌握了具体知识，却不知道知识形成的来龙去脉；获得了知识，却缺乏探索知识的丰富体验；掌握了解题方法，却不能理解背后的原因和道理，不利于学生的长远发展.

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，应努力促使学生“能够探究自然现象或现实情景所蕴含的数学规律，经历数学‘再发现’的过程”. 我们主张用“渐进式”“再发现”的教学方式放慢课堂节奏，拉长思维过程，充分展现数学知识的发现、形成和发展的思维历程，在过程中逐步培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力.

“渐进式”教学方式的教学设计，是从学生的“最近发展区”出发，设计由浅入深一系列数学活动，提出一串步步逼近知识本原的问题，促使学生自发思考、主动探究，重现数学家思维活动的教学设计.所谓数学的“再发现”，是指通过教学情境的创设，引导学生模拟或仿照数学家的思考方式，主动地、自发地探究出相应的数学概念、数学原理等，数学的“再发现”可以基于数学概念的生成过程、数学原理的揭示过程、数学问题的探索过程、小结反思的拓展延伸过程等.更一般地，探索与发现应伴随数学学习的全过程.

教学内容分析

函数是初中数学“数与代数”板块的核心知识，一次函数作为最简单的函数，对八年级学生而言还是有一定的难度，特别是从数形结合的视角来研究函数，更是一大难点.数形结合思想在函数问题中有较集中的体现，然而实际教学中往往存有“教师讲完一个问题后告诉学生这是数形结合”的窘境.因此在教学过程中教师务必要让学生感受到：当函数图象没有数值支撑，只能进行定性分析时，难以进行定量探索；当只有几对数值而缺少图象时，则难以直观感受变化趋势.教学中，我们主张鼓励学生自主提问，通过循序渐进式的数学活动，让学生对一次函数从数与形两个角度进行数学“再发现”，在过程中内化数学知识之间的联系，自然感悟数形结合的重要性，从而体会函数问题的一般研究观念.

本文的作者之一在参加本区域学科骨干教师评选过程中作了一节一次函数的复习课教学展示，课堂取得了较好的效果并得到评委的广泛好评.其具体教学思路及教学流程如图1．

教学片段呈现

1. 以形悟数

问题1 从图2你可以得到直线l1所对应的函数有哪些特征？

问题2 平面直角坐标系中的所有直线都是一次函数的图象吗？

问题3 如果直线l1的解析式为y1=k1x+b1， 你还能得到它的哪些性质？

问题4 你能确定直线l1的解析式吗？为什么？

评析 上述通过渐进的问题串复习一次函数的相关概念、一次函数的图象与性质.问题4的设置让学生认识到仅有函数大致图象只能定性研究，难以开展定量研究，能潜移默化地让学生认识到“形”的局限性：只借助函数图象不能得到函数表达式，只依靠图象难以展开函数问题的进一步研究，还需借助代数计算. 此环节能让学生初步感悟“形少数时难入微”，实现一次函数微观性质探求的第一轮 “再发现”.

2. 以数辅形

问题5 如图3，当直线l1 与x轴交于点A （-1，0），与y 轴交于点B （0，4） 时，直线l1的函数表达式可以确定吗？

追问：为什么知道两点坐标就可以确定直线解析式呢？

问题6 根据函数的图象与解析式，你还可以提出哪些问题？

生成1：当x₁=1时，求y₁的值.

生成2：当y₁=1时，求x₁的值.

生成3：求S_△OAB的值.

生成4： 求不等式k1x+b1>0 的解集.

生成5：当k1x+b1>2时，求x 的取值范围.

生成6：当-1

生成7：当-1

生成8：将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°，求旋转后的直线解析式.

……

评析 在图2 基础上已知直线上两点坐标，可以进行定量研究，充分体现“形少数时难入微”.通过函数表达式让学生提问可以让他们直观感受到没有图象很难看出函数的性质，研究一次函数必须要借助图象.借此能让学生从形到数，再由数到形两个方面逐渐产生数形结合观念.同时让学生自己设问，互相回答，能提升学生的学习兴趣，并且整合所学到的知识，进一步认识到研究一次函数应该从数和形两个角度来研究.在这个环节生成的问题，教师应尽量让学生自行解决，个别问题甚至可以留在课下解决.开放的课堂是生成的前提，适当的留白同样也是一种课堂美的体现.

3. 数形结合

问题7 如图4，如果我们再加上一条直线l₂：y₂=k_2x+b₂，大家还能提出什么问题？老师先来抛砖引玉：m 的值是多少？

生：m=8.

生成9：当4x+4>k2x+b2，求x 的取值范围.

生成10： 若直线l2 经过点（4，0），求l2的函数表达式.

生成11：若直线l2经过点D （3，0），求S_△ACD的值.

……

评析 由单个函数的图象到两个函数的图象，能让学生“再发现”点的坐标与函数的关系，函数与不等式的关系，函数与方程的关系等知识，做到渐进式整合数学知识.自己设问，互相回答的方式，能让学生慢慢将函数知识系统化，并学会数学思考，体会到函数学习过程中数形结合能帮助自己发现函数更多的性质.这里教师将课堂还给学生，课堂生成有诸多惊喜.

4. 回归生活

问题8 大家知道我们学习数学就是为了解决生活中的实际问题，下面我们来看一下函数可以帮助我们解决怎样的问题：小明和小红分别从甲、乙两地出发相向而行，设小明从甲地出发所用的时间为t （单位：h），小明和小红到乙地的距离S₁ （单位：km） 和S₂ （单位：km） 与t （单位：h） 之间的函数关系分别如图5 所示（EF∥x轴），则小明的速度是多少？

生：小明的速度是2 km/h.

问题9 除了这个问题大家还

可以提出哪些问题？

生成12：求直线S2的函数表达式.

生成13：小红的速度是多少？

生成14：说说点A，B，C，D的具体含义.

生成15：经过2 h，求小明、小红所在的位置.

生成16：经过几小时，小红和小明相差2 km？

……

评析 数学知识的应用，不仅来自数学内部，更来自外部的生活实际.学生只有将函数与生活问题进行关联，才能学会用数学的眼光观察现实问题.复习不能仅是知识的简单再现，还应该将知识进行深化.让学生将图象中的各个量的实际意义表述出来，能让学生进一步提升“用数学语言表示现实世界”的能力.

教学价值阐释

1.数学活动应以渐进序列化的形式呈现

学生是数学学习的主人，是数学课堂的主体. 如何引导学生以积极的态度、全身心地投入复习课堂，是教师的课堂价值所在. 复习课的目的主要是通过数学知识的系统性再现，让学生的思维活动进行更高层次的总结、概括和归纳. 没有理念引领的复习课很容易上成习题课. 将数学知识、数学思想等内容附着于数学活动中，无疑是复习课教学设计的指导原则. 鉴于此，将知识问题化、问题活动化、活动序列化是激发学生思维、促使他们数学“再发现”的有效之举. 适切的问题、适切的活动不仅有利于激发学生学习数学的兴趣和探究热情，而且对于培养学生的数学学习能力、提升学生的数学素养也具有“润物细无声”的作用.本节课有许多超出执教者预料的自然生成，便有力地说明了这一点.

2 ．“再发现”应突出教师的主导作用

通过数学活动引导学生进行数学“再发现”，需要教师有较强的课堂驾驭能力.首先，教师应基于“理解数学”，选取恰当的教学素材；其次，教师应基于“理解教学”，善于设计问题和活动；最后，教师应具有相当的教学智慧，善于捕捉课堂中转瞬即逝的多种生成［1］，因势利导，将学生的思维引向深入.当然，作为教者，更应该站在系统的高度，及时地进行归纳、概括与整合，还应善于“拨乱反正”，使学生的思维沿着预定的教学目标健康前行.

3. 适时留白给学生自悟的机会

“学之道在于悟，教之道在于度.”数学问题本质上不是教师讲明白的，而是学生自己悟明白的.我们对“渐进式”“再发现”的教学实践与探索归根结底是为学生提供了一个“悟”的契机和平台——在学生“似懂非懂”之时适当引导点拨，为他们指明正确的方向，此时让他们“跳一跳，够得着”就显得尤为关键了.事无巨细地讲解与示范不利于学生思维能力的发展，容易造成“听得懂讲解却不会做题”的尴尬.本节课教师在多处刻意留白就存在这样的考虑.当然这里需要指出，对于个别有挑战性的问题，向学生全面展示研究问题的完整过程也是有必要的.

4．合理利用几何直观，感悟函数问题研究的一般观念

数形结合是对问题既进行几何直观的呈现，又进行代数抽象的揭示，两方面相辅相成，而不是简单地代数问题用几何方法，或几何问题用代数方法.这两方面不能只是单流向的信息沟通，唯双流向的信息沟通才是完整的数形结合［2］ .而函数问题正是渗透数形结合思想的理想途径，且在初中阶段学习正确的数形结合思想，有助于高中解析几何的学习，能为后续学习打下坚实的基础.