大单元观下的课时实施

［ 关键词 ］ 大单元；结构化；一次函数的应用；课时实施

单元主题学习围绕一个或多个经过结构化的主题进行学习［1］ .崔允槨教授提出要发展学生核心素养，在教学中必须提倡单元教学［2］ .只有体现内容的整体性、连续性的教学设计和指向发展学生思维的学习过程才可能将数学学习引向深入［3］ .喻平教授提出数学核心素养的成分在单个知识点上难以表现，它隐藏在知识体系和方法思想结构之中，讲细节的东西要放在结构良好的模式中， 否则很快会被忘记［4］ .因此，为了有利于数学核心素养的生成、发育和成长，教师应着眼于知识体系结构、思想体系结构、方法体系结构的教学.这要求教师要以更大的单元进行教学设计和实施，重组与整合知识，解决知识碎片化的问题， 促进多维目标的落实.

单元整体设计的分析

大单元教学的关联性和整体性弥补了以往教学点状与割裂的思维，实现了目标递进化、主体分类化、内容系列化和方法结构化［5］ .单元教学的本质在于对课程的重构与理解［6］ .函数是初中数学学习的核心内容，而一次函数是初中“函数”主题学习的起始点，下面从函数单元整体情况、一次函数单元教学目标的确立、学习规划思路与课时的规划几方面进行分析.

1. 函数单元整体情况的分析

一次函数是函数单元整体教学的起始部分，从初中函数单元整体结构图（图1） 可看出一次函数与函数单元整体间的联系.学习“一次函数”主题，能整体把握“函数”学习的本质，聚焦“函数”主线，从全局理解“函数”主题学习的思想方法. 一次函数单元整体框架图见图2.

一次函数的研究是研究函数相关问题及一般方法的起点，它从定义、图象与性质、应用三个方面进行探究，渗透了“函数”主题学习中数形结合、从特殊到一般、从一般到特殊、类比和方程等思想方法.这些思想方法对二次函数和反比例函数的学习起到了指引作用.

2. 一次函数单元教学目标的确立

依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》对“一次函数”主题的学习要求和学生学情，确定该主题的教学目标如下：

（1） 通过大量实例抽象概括出函数、一次函数等概念；理解函数的三种表达方法，培养符号意识；根据现实情景思考自变量有意义的范围，掌握构建模型的思想方法.

（2） 理解一次函数和正比例函数的关系，会求一次函数表达式.

（3） 通过画一次函数图象探索其性质，理解一次函数中当k>0 和k<0时图象的变化情况.

（4） 能运用一次函数及其图象解决实际问题并理解一次函数y=kx+b 中k，b 在实际问题中的意义.

（5） 通过探索函数与方程（组）、函数与不等式的关系，发展几何直观，深入体验数形结合在解题中的便捷性.

3. 一次函数单元教学的规划

根据知识体系结构将一次函数大单元分成三个教学阶段、六个分主题，教学呈螺旋式上升，贯穿初中三年，具体教学阶段、教学主题和课时规划如图3.

第一阶段是通过生活中的大量例子归纳出函数、一次函数和正比例函数的定义，从而建立模型，从三个课时中渗透模型思想.第二个阶段是通过学生动手画图研究一次函数和正比例函数的图象特点，从两个课时中渗透数形结合思想.第三阶段是一次函数知识的综合应用，是思想体系结构和方法体系结构的逐渐巩固，从一个一次函数到两个一次函数、从相等关系到不等关系，通过七个课时使数形结合思想、函数思想、从特殊到一般、从一般到特殊等思想进一步得到应用.

单元教学课例分析

1. 单元背景下课时教学内容分析

下面以北师大版八年级上册“一次函数的应用”第2课时为例进行分析. 本课建立在单个函数图象上，以运用数学思想方法解决实际问题为主线，通过问题情景引导学生读图、寻找信息、分析问题、解决问题.如已知相关点的横坐标，找纵坐标；已知纵坐标，找横坐标.在实际背景中，提出问题：当因变量为零时，如何求得自变量？教师首先引导学生寻找不同的解决办法，可利用函数图象解题，也可利用方程解题，从而让学生理解一次函数与一元一次方程的关系；接着通过例题和练习，加深学生对二者关系的理解，让学生进一步培养识图能力和体会数形结合思想.

2. 单元背景下课时教学学情分析

从思维层面分析，八年级学生的思维逐渐从形象向抽象过渡，拥有收集、分析信息的基本能力.从认知角度分析，学生已构建了一次函数模型并会求其表达式；掌握了画一次函数图象及其性质等相关知识点； 在图象中给出两个点的坐标（其中一个点在y 轴上），学生可求出一次函数的表达式.学生已有知识对于本节课起到非常重要的作用.

3. 单元背景下课时教学目标及重、难点分析

（1） 单元背景下的课时教学目标

①在实际背景下利用函数图象获取有效信息并解决相关问题；理解一次函数表达式y=kx+b （k≠0） 中b 的实际含义.

②确定一次函数中一个变量的值，将其转化成对应的一元一次方程，理解函数与方程间的本质关联，用函数图象求解一元一次方程，历经从特殊到一般的过程，深刻理解数形结合.

③通过教学活动，提高学生自主探究、深度学习的能力，让学生学会从不同角度认识事物的本质.

（2） 单元背景下的课时教学重、难点

重点：实际背景下能从函数图象中获取有效信息，思考、解答相关问题；理解一次函数与一元一次方程的联系.

难点：探寻一次函数与一元一次方程的联系.

4. 单元背景下课堂教学设计与分析

在本课例中，旧知复习、新课起始、深入探究、练习巩固是最主要的四个环节，下面分别对这四个环节进行设计和分析.

（1） 旧知复习

问题1 你能从图象（图4） 中得到什么信息？

分析 学生会零散地说出一些知识，但并不完整，缺乏条理性.教师要先引导学生对图象进行有条理的分析.首先，对图象有一个整体感知，即图象是一条直线，这说明这是一次函数的图象；再观察直线的位置，即经过哪几个象限；接着分析图象的性质：y 随x 的增大而减小，这说明k<0，又图象与y 轴正半轴有一个交点，说明b>0.看完整体还要看局部，即图象有哪些特殊点（图象与坐标轴的交点） .

问题2 如果想知道更多信息，那么坐标轴上就要有刻度值.若坐标轴上给出刻度值（图5），又能得到什么信息？

分析 大部分学生会读出图象与y 轴交于点（0，800），与x 轴交于点（200，0） .此时教师进一步提问：图象与x 轴、y 轴的交点有何意义？

问题3 在图5中，若点M（60，a） 在图象上，请利用图象找出a 的值；若点N （b，400） 在图象上，请利用图象找出b 的值.

分析 问题2 涉及图象与坐标轴的交点，此时的交点较为特殊；问题3所要求的点较一般.这样由特殊点的探究到一般点的探究过程，能实现知识、方法、能力的迁移.

（2） 新课起始

问题4 若给图5赋予一个实际背景， 例如， 这是手机使用时间（分钟） 和剩余电量（毫安时） 的关系图，则此背景下的函数图象是否合理？

分析 首先弄清楚此时的x 轴和y 轴的实际意义，以及图象与坐标轴交点的实际意义.在此实际背景下，让学生思考函数图象这样画是否合适.学生会说时间和剩余电量都不能为负数，所以函数图象不能是一条直线，这便引导学生注意函数自变量有意义的范围.另外，教师还要点明b 在此背景下的实际意义.

问题5 生活中还有什么例子符合这个函数图象？

分析 学生可以说出很多，如蜡烛的长度（单位：毫米） 随燃烧时间（单位：分钟） 变化的关系图等. 类似的开放性问题，能培养学生的发散思维.

练习 一年一度的校运动会即将来临，为了取得好成绩，某位跑步运动员每天自己训练，到达终点，完成比赛项目他就停止训练.训练时他与终点距离y （单位：米） 和训练时间x （单位：秒） 的关系如图6.

①你能从图中得到哪些信息？

对于此问题，学生可以畅所欲言，当学生回答不到位时由教师引导补充.另外，教师应向学生强调在读函数图象时首先要明确函数图象描述了哪两个变量间的关系.此问中教师还应引导学生思考b 的实际意义.

②该运动员通过一个月的训练，跑步速度有所提升（图7） .现在训练时，他与终点距离y （单位：米） 和训练时间x （单位：秒） 的部分关系如图8，求50秒过去后，他离终点还有多远.

该运动员跑了500 米时，时间过去了多久？

分析 通过学生感兴趣的运动会前运动员训练的情景引入，引导学生分析函数图象，理解b 在具体背景下的实际意义；已知横坐标能在函数图象上找出对应点的纵坐标，已知纵坐标能在函数图象上找出对应点的横坐标.

（3） 深入探究

探究1 在上题背景下进一步提问：按照这个规律，该运动员现在训练经过多长时间能到达终点？

本题应点明三种解法，如下.

解法一：算式法.速度为（800-200）÷120=5（米/秒），时间为800÷5=160（秒） .

解法二：图象法.补全图象与x轴相交，交点的横坐标即为该运动员到达终点的时间.

解法三：表达式法.到达终点时y=0，在函数y=-5x+800 中令y=0 得到方程-5x+800=0， 它的解即为该运动员到达终点的时间.

对上述三种解法进一步比较优劣.算式法可很快知道k，b 的意义.图象法直观、形象、便捷，但有误差，可通过表达式法验算.表达式法可以准确得到答案.

探究2 如何利用函数图象得到方程-5x+800=0的解？

进一步分析图象法和表达式法，函数y=-5x+800的图象与x 轴（即直线y=0） 交点的纵坐标是0. 发现：对于函数y=-5x+800，当y=0时得到方程-5x+800=0， 它的解和y=-5x+800 图象与x 轴交点的横坐标相同.由此得出方程的解是直线y=-5x+800与x 轴（直线y=0） 交点的横坐标.从而引导学生归纳总结出一元一次方程kx+b=0与一次函数y=kx+b 联系的思维导图（图8） .

练习 利用函数图象求以下方程的解：

①-5x+800=200；

②-5x+800=450.

教师可引导学生类比探究2 的探究方法归纳总结出更一般的结论，见图9.

分 析 由kx+b=0这个特殊的一元一次方程推广到kx+b=m 这个更一般的一元一次方程.这种从特殊到一般以及数形结合的思想能让学生体会到知识间的本质关联，并学会从函数的视角认识方程：当函数确定一个变量时就得到了方程.

（4） 练习巩固

练习1 利用函数y=ax+c （a ，c是常数， 且a≠0） 的图象（图10）填空.

①当ax+c=0时，x=__________；② 当ax+c=-2 时， x=__________；③3a+c=________④-a+c=________.

练习2 感冒高峰期时，人们纷纷备药，某地区所有药店999 感冒灵都在热销.该地区所有药店999感冒灵的总存量Q （单位：百盒）与时间t （单位：天） 的关系如图11.热销期间为了供应充足，该地区进行了一次补货.请根据图象回答：

① 该地区销售999 感冒灵___________天后又一次补货， 补货__________百盒.

②求补货前该地区所有药店999感冒灵的总存量Q （单位：百盒） 与时间t （单位：天） 的函数关系式.

③已知补货前、后该地区999感冒灵的销售速度相同，则该地区现有的999 感冒灵能否满足当地人民一周（7 天） 的需求？若不能满足，第几天开始要再补货？

分析 通过练习促进学生进行深层次的思考，让学生在巩固基础知识的同时能够迁移运用一次函数相关知识变通地解决有一定思维含量的问题.

大单元教学的启示

在结构化的大单元教学设计理念下，从具体课时的实施中可得到以下启示.

1. 要结构化地构建单元数学知识图谱，厘清知识间内在联系

单元整体教学从大概念角度对知识进行全局性的理解，关注学科内的知识整合和综合贯通，这有助于学生构建整体性、关联性、条理清晰的数学知识图谱，把握数学本质间的内在联系.通过对整体数学知识体系的构建，学生能明了知识发生、发展和迁移的过程，从而实现有意义的、深层次的学习.

2. 教学要能够实现数学思想方法的高效迁移

在大单元学习中，知识呈现结构化的特点，所以要明确单元知识的共性.学生以已有经验为基础，通过猜想、探究、类比、验证、归纳和应用等，学会一种获取新知的探索方法并且能够在同类或相近知识中进行高效迁移，从而形成良好的数学思维方式.同时，这种数学思维方式也在大单元学习中不断强化和运用，为后续的延续性学习奠定基础.

3. 教学要着眼于高层次教学目标的实现

大单元教学的高层次教学目标是培育学生的数学核心素养.通过大单元进行结构化的教学能让学生学会学习并且进行深度学习.具体课时的实施要在单元主题学习中进行难度分级、能力进阶、方法强化和类比迁移等，逐步实现高层次目标.教学中教师要注意贯彻整体课程观理念，设计具有单元结构特征同时具有育人价值的数学活动，以主题为线索，由易到难达到层层教学目标，最终让数学核心素养的培育落地.

4. 教师应终身学习，以自身成长为长远目标

大单元教学理念下课程改革在不断进行，它要求教师要学习新理念；根据知识、思想或方法体系重新整合教材，认真备好每一节课.同时，教师不断备课和打磨的过程既是学习的过程，又是成长的过程.教师要终身学习，实现不断成长的目标.