追本溯源扬文化，拓形变式探通法

［关键词］ 追本溯源；拓形变式；教学启示

本文源于2023年中考数学金华卷第10 题. 选择这道题的原因有：（1） 笔者发现这道题的图形很熟悉，其来自教材，属于老图新题，这是一种命题的趋势.学生在解决这道题时会有一种亲切感，有一种强烈的想要把它解答出来的期待.（2） 由这个图形演变出来的拓展图形会衍生出许多新的相关图形和结论，从而出现各种题型变式，但是本质上它们是相通的. （3） 经过研究，笔者发现这道题还可以继续结合其他知识进行各种类型的改编，从而得到一些一般化的结论和新发现.在解决这些新问题时可以用到原题所得到的模型和中间结论. 本文从此题开始，展开一系列深入探讨，包括这道题的常用解法、课本来源、原形拓展、题型变式、原题改编等.

教学启示及反思

1. 探索最佳途径，优化解题方法

每一个较复杂的图形都包含着若干个基本图形，解题时可以用到它们的性质和判定方法，由此得到一些中间结论. 或者这个复杂图形是若干个数学基本模型的叠加，解题时先把这些模型分解出来并运用它们的一些基本结论进行突破. 在这个过程中会产生不同方向的解题思路和方法， 即通常说的一题多解. 教师在教学过程中可以引导学生从多个角度思考解题途径，获取新的探究经验，丰富解题思路和方法. 学生也可以通过分享交流而博采众长，吸取他人的解题经验. 在众多的解题方法中，教师可以通过对比分析，引导学生归纳出适合自己的最佳解题思路，并转化成自己的解题方法，从而达到优化解题过程的目的.

2. 传承数学文化，开发项目学习

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，在课程内容选择时，要关注数学学科发展前沿与数学文化， 继承和弘扬中华优秀传统文化［1］ .这道中考题所延伸出来的从勾股定理到图形面积关系的拓展，学生了解到数学家赵爽创造的弦图，这也是勾股定理的一种证明方法.教师可以引导学生进一步深入研究弦图中蕴含的数学结论、赵爽或其他数学家的贡献、勾股定理的其他证明方法等.这些也可以作为项目化学习的一个主题，既可以让学生了解我国古代数学的发展历史，激发学生对数学学习的兴趣，又可以增强学生自主查阅文献资料和整理归纳方法的综合能力.学生在这样的过程中，理解数学，应用数学，形成和发展应用意识、模型观念等，提升获取信息和资料的能力、自主学习的能力，发展学习能力、实践能力和创新意识［2］ .

3. 开展主题学习，寻求方法共性

本文所呈现的整个研究过程可以作为一个主题式的复习流程，安排3～4个课时.首先通过一道典型的中考题，通过研究它的多种解法，获取间接结论和归纳解题方法.接着从教材或作业中找出它的题目或图形的原型，分析新题与原题的共性和所发生的变化.然后针对这种类型的题目进行拓展延伸和变式练习，主要的题型可以取材于历年的常考题型和中考题.在这个过程中归纳一些解题常用的基本模型和相关结论，以便在其他题目中举一反三和灵活应用.最后尝试对题目进行改编，挖掘原题没有出现的新结论，或加入一些新的常用元素，适当拓展题目的深度.整个过程可以由教师组织开展并发布任务，由学生分组完成，学生的研究成果以课件、研究小论文等形式呈现.每个环节完成后开展课堂上的分享交流会，教师进行归纳总结.学生经历这个过程后的收获远比单纯完成几道题目后的收获要多得多.