基于实践活动开展的“无理数”教学研究与思考

[摘  要] 实践活动的开展，是促使学生充分感知数学是提升逻辑推理能力的基础，也是帮助学生积累活动经验，形成创新意识的关键. 研究者以“无理数”的教学为例，具体从“构建并感知无理数”“数轴上表示无理数”“无理数相关小故事渗透数学文化”三个方面展开教学设计，并针对本节课的教学谈一些思考.

[关键词] 实践活动;无理数;教学

数学实践活动从本质上来说，就是针对学生遇到的实际问题，应用所学的数与代数、图形与几何、统计与概率等知识，以自主探索或合作交流的方式发现、分析与解决问题，揭露知识内部或与其他学科间的联系的过程. 本文以“无理数”的实践教学为例，具体展开如下教学设计与分析，与同行交流.

教学简录

实践活动1  构建并感知无理数

课堂伊始，教师取出课前准备好的教具——骰子，要求学生说一说这是什么，具有什么用处.

学生面对骰子，不由自主地产生了一股探索欲. 面对教师的提问，学生异口同声地高声回答，这是“骰子”，至于它的用途则有打麻将、玩飞行棋等. 教师将这个骰子拿到课堂上来究竟是干什么呢？学生内心充满了疑惑.

设计意图 一个骰子成功激发了学生对课堂教学的好奇心，这个骰子在本节课的作用是什么呢？每个学生都带着这个疑惑投入课堂教学中来. 显然，这是一个成功的导入，在短时间内就将学生的注意力完全吸引到课堂中，为接下来的教学奠定基础.

师：在之前的课程中，咱们已经接触了无理数相关的知识，本节课继续探索无理数，首先请大家回顾一下，什么是无理数？

生1：无理数就是无限不循环的小数.

师：你们熟悉的无理数有哪些？

生2：π，.

师：如何确定是无理数？说说得来的过程.

生2：这个还不知道.

师：当一个正数a的平方为2时，那么a的值则为. 我们虽然知道，但对它的理解还不够透彻，想要从真正意义上掌握的内涵，达到“知其所以然”的程度，就需要对其深入探索. 接下来请大家说说除了π与，还有哪些你们知道的无理数？

（学生沉默，摇头. ）

师：其实在我们的生活中存在大量的无理数，只是大家尚未发现而已，现在我就与大家一起来现场构造一个无理数.

（此话一出，学生们个个跃跃欲试. ）

教师在黑板上写下一个大大的“0”，并取出课前准备好的骰子说道：“咱们以个位数零作为开头，现在请一些同学到讲台上来依次扔骰子，每次形成的点数作为小数点后的数字，如此形成小数点后五位数，谁愿意到讲台上来扔骰子？”

话音刚落，学生就把手举得高高的，大家都希望自己能获得扔骰子的机会，接着教师随机抽取了5名学生到讲台上扔骰子，同时在黑板上“0”的后面依次写上每次扔骰子所获得的数字. 鉴于时间关系，教师不再邀请更多学生到讲台上扔骰子，而是要求部分学生报上自己的生日，并将数字依次填写在五位小数的后面，此时黑板上形成了一个毫无规律可言的小数.

师：请大家观察黑板上的这组数字，它属于无理数吗？

生3：不属于，这是一个有限小数，属于有理数范畴，如果在后面添上省略号，则形成了一个无理数.

师：非常好！无理数不仅要不循环，而且还要是一个无限小数. （教师在黑板上所呈现的小数后面郑重地添上省略号）大家一起看黑板，一个新的无理数就这样形成了. 这个活动带给你们什么启发？

生4：无理数其实广泛地存在于我们的生活中，只要用心去体会就能发现.

师：不错，我们每个同学都应该做一个“有心人”，用心去观察这个现实世界，并学会用数学的眼光与思维去观察与思考. 大家在本节课后也可以尝试用自己的方式来构造一些无理数.

设计意图 无理数概念的回顾为课堂教学明确了方向，从师生积极的互动中，学生明确了本节课教学的主题是继续探究无理数. “如何确定为无理数”的问题，成功驱动了学生的探索欲，让学生对接下来的活动充满期待. 扔骰子、报生日等方法的应用，不仅使学生现场构造了一个无理数，还让学生充分感知生活与数学的联系，学会从数学的角度来观察与理解现实生活，这是一个具有明确导向的实践活动.

随着互动的深入，教师成功调动了课堂气氛，活跃了学生的思维，让学生都积极地投身于活动中来，并乐在其中. 寓教于乐的无理数构造，让学生的思维走向深刻. 值得注意的是，骰子只有1至6这几个数字，对于缺少的0，7，8，9，可借助两个骰子进行活动，即在两个骰子上分别标上0至5六个数字，扔出两个骰子后，将形成的两个数字相加，如此则产生了包含0-9的数字，那么构造的无理数则更加完整.

实践活动2  数轴上表示无理数

1. 数轴上表示π

师：有理数都可用数轴上的点来表示，无理数是否也能在数轴上表示呢？

生5：也行，数轴上的点可以表示任意数，因此也能表示无理数.

师：理论上是可以的，但究竟该如何在数轴上表示无理数呢？如课堂伊始同学们提到的无理数π，它处于数轴的什么位置呢？接下来，我们就来探索这个问题.

活动准备：各合作小组画、剪直径为1厘米的圆形纸片.

师：现在请各合作小组计算你们剪下的圆形纸片的直径与周长.

生6：直径为1厘米的圆形纸片，借助公式C=πd可得π为其周长.

师：也就是说，现在我们每组都拥有一个周长为π的圆形纸片，接下来我们就探索怎样在数轴上表示π的问题.

学生动手在数轴上比画，合作交流.

师：现在请一位同学给大家演示一下，你们小组是怎样找到数轴上π所处位置的.

生7：我们组是将纸片紧贴数轴，让纸片上的某一点A和原点重合，滚动纸片一周，即可在数轴上获得点π的具体位置.

师：说得很好，请给我们展示一下.

（学生操作. ）

师：操作完毕，你所表示的点π的位置处于数轴上2.9左右，这与我们所认识的3.14存在较大差距啊！有没有办法缩小这个误差？

生8：我将纸片直立着在数轴上进行滚动，滚动一周后的位置处于3.1左右.

师：很好，看来竖直滚动的误差要小一些. 横着滚动与竖直滚动的差别，可用物理学中的滚动摩擦与滑动摩擦的差别来解释，还有其他更精确的方法吗？可以借助其他辅助工具.

生9：或许可以将周长取下来，在数轴上拉直，即可获得更准确的位置.

师：这是个不错的想法，如何将周长取下来呢？

生9：将绳子围绕纸片一周，并将其剪下，再将绳子紧贴数轴找出对应的点.

师：想法不错，大家觉得这种方法所获得的π的位置还存在误差吗？

生众：存在.

师：确实. 若想在数轴上精确找出表示π的点，可以借助现代化的科技.

学生恍然大悟，大家都表示可以让信息技术来帮忙，因为信息技术能带给我们更多精确的值. 在学生的要求下，教师打开几何画板，如图1，将直径为1的圆形中的点A与数轴原点重合，沿着数轴滚动一周，滚动过的位置留下一段蓝色印迹. 如图2所示，点A最终的落点即为π的位置.

设计意图 课堂伊始学生就提到了π为无理数，此环节将π作为探索对象，如此设计更贴合学生的认知，让教学显得更加自然. 学生在探寻π位于数轴上的位置时，将纸片“躺贴”在数轴上滚动与“竖直”在数轴上滚动，都形成了大小不等的误差，至于哪种方法误差更小，学生因为亲历实践心中了然. 这两种探索方法还蕴含了物理学中滚动与滑动摩擦的问题，教师适当加以解释，增强了跨学科知识的联系.

用绳子测量周长，再探寻π的位置的方法，是将生活数学化的过程，这种想法值得鼓励与赞扬. 在教师的点拨下，学生终于想到借助先进的几何画板来探索π的位置会更加精确，由此也能看出教育信息化的普及程度以及对教学的价值与意义.

2.数轴上表示

师：关于π究竟处于数轴的什么位置，大家已经明确了，那么又处于数轴上的什么位置呢？接下来我们就探索这个问题. 依然以小组为单位，画、剪边长为1的正方形，并求出该正方形的面积.

学生操作并表示正方形的面积为1. 教师要求学生自主尝试将两个正方形以剪拼的方式拼接成一个大正方形，并计算拼接而成的图形的面积. 毋庸置疑，新图形的面积为2. 具体拼接方法见图3.

师：如果图3中正方形的边长为a，那么这个a必然满足什么条件，具体是多少？

生10：a2=2，a的值应该就是我们课堂伊始所提到的.

师：不错，a的值就是，那么它在数轴上该如何表示呢？现在请各小组操作并交流.

生11：如图4，将拼接大正方形的四个小三角形取下一份，即斜边为a的等腰直角三角形，将其斜边的一端对准原点位置紧贴到数轴上，另一端所对的位置即为所处的位置.

师：非常好！这是一种简捷易操作的方法. 若咱们手中正方形的纸片边长存在一些误差，那所获得的所处的位置是否依然精确呢？

生众：当然不精确.

师：有什么办法能让所探寻的点更精确一些？

学生表示可以借助圆规来作图，如图5，以尺规作图法，在数轴上画一个直角边为1的等腰直角三角形，其斜边的长为，只要在数轴上标注出斜边的位置即可.

师：很好，我们在画图、剪拼的过程中难免会形成一些误差，而利用直尺画一个直角边长为1的等腰直角三角形，再借助圆规以其斜边为半径画圆形成相应的弧线，那么弧线和数轴的交点就是我们所要探寻的的位置. 现在请大家一起来看几何画板的演示（见图6）.

设计意图 拼图过程是从“形”的视角理解. 关于在数轴上的具体位置，学生提出了两种方法，一种是将等腰直角三角形的斜边紧贴在数轴上;另一种是借助尺规作图法，在数轴上直接获得. 显然，画、剪、拼接的流程较多，误差必然较大，而直接在数轴上用尺规作图，则精确许多. 随着实践活动的开展，学生不仅积累了探索无理数的经验，还有效发展了数学思维与创新意识.

活动3 无理数相关小故事渗透数学文化

借助多媒体展示希伯索斯发现无理数的故事：当时人们在毕达哥拉斯的影响下，认为宇宙中所有的数都是有理数，而希伯索斯却发现边长为1的正方形对角线的长度无法用有理数来表示，他的发现让他付出了生命的代价，但真理不可战胜，后来数学家们发现希伯索斯的言论是正确的，即a2=2中的a并非有理数.

学生被这个小故事感染了，对希伯索斯感到惋惜的同时也对无理数产生了别样的情感. 数学史的应用，一方面渗透了数学文化，另一方面端正了学生追求真理的态度，为发展学生的数学精神奠定了基础.

设计意图 新课标强调数学文化对发展数学核心素养的重要性，教师将无理数相关的数学家小故事植入课堂，为课堂增添了一些文化底蕴，同时也培养了学生严谨的科学精神.

教学思考

无理数对于初中学生而言确实偏抽象，教师即使讲得口干舌燥，也难以让学生做到知其然且知其所以然. 实践活动的开展，能让抽象的数学变得直观化，学生从直观可视的操作与思考中进一步认识了什么是无理数，π，在数轴上究竟该如何精确表示等. 探索π的表示过程，涉及不同的表示方法且存在大小不一的误差，由此增进了数学与物理学科的联系，开阔了学生的思维;的探索则充分挖掘了学生的思维，让学生学会从现实世界中抽象出数学知识，如将动手操作活动转化成直接在数轴上尺规作图等. 由此可见，学生的思维随着探究的深入愈发严谨.

活动操作是帮助学生学会用数学的眼光和思维来观察与思考现实世界的过程，学生亲历操作积累了丰富的经验. 信息技术的介入，则让课堂充满“数学味”，几何画板的应用让原本存在误差的问题变得更加精准直观，这是时代科技发展给教学带来的福音，也是当代课堂教学不可或缺的一部分.

总之，《义务教育数学课程标准（2022年版）》强调要增强学生的动手操作能力，要让学生学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学语言表达现实世界. 实践活动的开展是践行这一理念的基础，学生亲历活动过程，不仅能有效发展“三会”能力，还能进一步提升数学核心素养.