关注探究过程 发展核心素养

[摘  要] 文章以一道中考题作为研究背景，从“情境创设，引发探究意识”“提出问题，激发探索行为”“合作学习，鼓励大胆猜想”“严谨论证，形成相应结论”“总结归纳，拓展反思升华”五个方面，引导学生在自主探索与合作交流中形成猜想，并通过严谨的验证与拓展发散思维，提升思维品质，发展理性精神与逻辑推理能力，让核心素养落地生根.

[关键词] 探究;核心素养;教学

每个人都希望自己是一个发现者、探索者与研究者，数学在促进人的智力发展，形成理性思维与科学精神上有着重要作用. 如何让学生在数学学习中成为一个探究者呢？在以核心素养为导向的背景下，深刻把握知识本质，精准择取教学素材，系统地设计探究任务，可有效活跃学生思维，发展学生学力.

研究背景

问题 有没有一个新矩形的周长与面积是原矩形的2、、k倍？

（1）有没有一个新正方形的面积与周长是边长为2的正方形面积与周长的2倍？（回答有或没有）

（2）有没有一个矩形的周长与面积为一个长、宽分别为3、2的矩形周长与面积的2倍？

这是一道2021年深圳市的中考原题，意在考查学生的数学理解与应用能力. 本题具有一定的挑战性，对学生的思维要求较高，解决本题需应用数学探究、建模、推理等解题技巧. 为此，笔者以此题为背景设计了一节课，以期引发读者的思考.

教学设计理念

一节课的设计是教师教育思想的结晶，反映着课堂教学的教育价值取向. 结合本题，本节课笔者以“关注探究过程，发展核心素养”为方向，带领学生从理解数学的角度来探索问题，让学生弄清函数与方程的联系，明确知识的发生与发展过程，形成良好的数学探究思维与方法，并能以数学的方式来研究问题，进而从真正意义上践行深度学习理念，发展核心素养.

教学过程

1. 情境创设，引发探究意识

随着新课改的推进，在课堂伊始创设丰富情境的教学方式已然成为广大教育工作者的共识. 不论是趣味横生的生活情境，还是充满“数学味”的问题情境，均能在短时间内将学生的注意力拉回课堂中，驱动学生学习的内驱力，引发探究意识. 本节课，教师结合教学背景与学情特点，创设了一个简单的问题情境，以帮助学生更快地投入思考中.

情境 展示原题，要求学生思考正方形“加倍”问题，即若明确一个正方形，有没有另一个新正方形能让它的周长与面积分别为原正方形周长与面积值的2倍？

探究1 动手操作分析情境，说说你的想法.

如图1，学生经自主操作与合作交流进行拼图，分别从如下两个维度分析：①在将周长扩大一倍的情况下，验证面积;②在将面积扩大一倍的情况下，验证周长. 经探索，学生形成一致结论为：并不存在满足条件的正方形.

设计意图 新课标背景下的数学教学已经摒弃了“接受、机械模仿、强行记忆与题海训练”等传统模式，引导学生亲自动手操作，不仅能揭露知识本质，让学生对知识的来龙去脉产生明确认识，还能让学生在主动探索中学会从不同的视角来探索问题，以进一步发散思维，提升思维品质，为核心素养的发展奠定基础. 本环节的设计，意在引导学生感知证明思路的来源，为接下来从不同维度探索矩形问题做铺垫.

问题1 能否证明以上结论？

因为有了探究1的动手操作作为这个问题的基础，学生自然而然地想到从如下两个思路进行结论的证明.

设a为正方形的边长，C为周长，S为面积.

思路1：根据题设条件，当C→2C时，a→2a，获得结论为S→4S，显然存在矛盾.

思路2：结合题设条件，当S→2S时，a→a，获得结论C→C，也存在矛盾.

通过证明，学生再次确认：并不存在满足情境问题的正方形.

问题2 有没有更加简单一些的证明方法？

学生合作交流，提出：所有正方形都属于相似图形，结合相似图形的性质，面积比与周长比的平方相等，则能直接获得问题的结论.

设计意图 数学是一门充满智慧的学科，具有较强的体系化特征，知识并非独立存在的个体，当遇到实际问题时，除了常规的解题方法之外，还可以从解题的通性通法以及知识之间的联系等角度进行分析. 在本题的探索中，“相似图形性质”的应用，让解题变得更加便捷.

问题3 咱们所获得的结论是否可以进行拓展？

这个问题成功点燃了学生的热情，学生纷纷表示可将问题拓展到等边三角形、正五边形、圆形、矩形、平行四边形;也有学生提出将问题中的2倍改为3倍、4倍、0.5倍……

基于学生所提出的拓展来看，主要是从图形的改变与倍数的改变两个维度出发，将问题延伸出去.

问题4 结合你们自己所提出的基于“图形”拓展来看，可否先分类，后讨论？

学生经过短暂的合作交流，很快就将圆、等边三角形之类的相似图形罗列在一起，这些图形都可以利用“图形的相似性质”直接解决;其他图形则需单独讨论分析.

设计意图 新知的建构都是在学生已有认知结构的基础上进行的，教学活动的开展也需遵循这一规律，即在学生已有的认知经验基础上实施教学. 此环节，教师带领学生亲历操作实践、猜想、验证与拓展的探究过程，不仅让学生自主探索出相应的结论，发现解决这一类问题可借助“相似”这一捷径，还促使学生在探究中形成严密的逻辑推理与研究精神，为接下来探索矩形“加倍”类问题做铺垫.

2. 提出问题，激发探索行为

探究2 若给你一个任意矩形，有没有另一个矩形的周长与面积分别为这个矩形周长与面积的2倍？

问题5 矩形有各种各样的形状，该从何处着手探索矩形？

对于这个问题，最方便的研究方法是从特殊图形着手，如从长、宽分别为2、1的矩形来分析，将探究问题转化成如下问题：是否存在周长为12，面积为4的矩形？要求学生尝试从多维度分析与思考这个问题.

设计意图 特殊到一般是重要的数学思想方法，将它灵活地应用在课堂中可有效提高教学效率. 引导学生探索长为2、宽为1的矩形问题，则将探究2的问题灵活转化成一个新的问题. 显然，这个转化有效降低了学生思维的起点，让更多学生有了探索的头绪.

在教师的引导下，学生以积极的状态进行自主探索与合作交流，最后将各组的讨论结果进行投影展示与分析，总结出的解题思路主要有如下几种：

思路1：将矩形的周长固定，那么问题被转化成求方程x（6-x）=4有没有解;

思路2：确定好待求矩形的面积，那么可将问题转化成求方程+x=6有没有解;

思路3：假设矩形的长为x，宽为y，那么问题被转化成求方程组x+y=6，

xy=4有没有解.

基于以上三种解题思路，师生积极互动，共同总结，形成结论为：关于几何存在性问题，可将其转化成方程是否有解的问题，此为数形结合思想的应用.

问题6 以上是从“数”的角度去探索方程组是否有解来分析问题，还可以从其他角度来分析问题吗？

因为教师提出了“数”的角度，学生瞬间就联想到从“形”的角度进行分析，即从“形”的角度来探索方程组x+y=6，

xy=4有没有解.

此为课堂教学的难点内容，为了让学生从真正意义上理解问题，教师结合学情设计了如下三个由浅入深的问题，以逐渐拔高学生的思维，深化学生的理解.

问题7 将函数y=-x+6的图象画出来，并对图象进行观察，探索图中的点和方程x+y=6的解存在怎样的联系？

问题8 自主画出函数y=的图象，观察并分析图中点与方程xy=4的解存在怎样的联系？

问题9 结合以上两个问题的探索，探讨两个函数图象的交点和方程组x+y=6，

xy=4的解存在怎样的联系？

在三个逐层递进的问题的引导下，学生通过画图与分析得到：如图2，方程组的解即为两个函数图象的交点坐标. 据此获得：

思路4 探索方程组解的问题，还可以转化成对两个函数图象是否存在交点问题的探索.

综上，从四种解题思路来看，探究2中满足条件的矩形，的确存在.

设计意图 此环节，将知识间的内在联系展现得淋漓尽致，不仅体现了本节课探索主题的可视化，还让学生进一步感知了数形结合思想的魅力所在，感悟了函数与方程思想在解决问题中的重要性.

3. 合作学习，鼓励大胆猜想

问题10 凭借一个特例长方形，能否说明所有长方形都能满足题设条件呢？若改变矩形的长、宽，“加倍”情况还成立吗？

在这个问题的引领下，学生将探索范围逐步推广，分别探索长为3、4、5、6、m，宽均为1的矩形，分析“加倍”情况是否依然成立. 小组合作，组内两两交流，完善表1.

设计意图 新课标背景下的数学教学将培养学生的交流能力放在重要位置，基于学生在本环节之前已经获得了四种基本的探索思路，因此本环节可以省略一些不必要的探索过程. 鼓励学生以合作交流的方式完善表格，可进一步深化学生对问题的理解，清晰思路.

问题11 通过你们自主探索而来的数据，可初步形成什么猜想？

面对此问，学生毫不犹豫地从函数与方程的角度来分析问题，进一步感知了解题方法的多样性. 随着探索的深入，学生一致形成如下猜想：对于一个明确的矩形，均存在加倍矩形. 至于这个猜想是否科学，仍需进一步证明.

4. 严谨论证，形成相应结论

问题12 若矩形的长为m，宽为n，以上猜想是否成立？

对于这个一般性问题，由于已经有了丰富的探索经验，大部分学生都能独立解决.

解 设待求矩形的长为x，宽为y，可列式x+y=2（m+n），

xy=2mn，消元有 x2-2（m+n）x+2mn=0，解得x=m+n+，x=m+n-，通过解方程确定这样的矩形是存在的.

由此获得结论：任意矩形，都存在另一个矩形的周长与面积均为该矩形周长与面积的2倍.

设计意图 由特殊到一般是解决数学问题常见的数学思想，学生在此环节亲历观察、总结、猜想与验证过程，不仅完善了认知，还学会了独立思考与合作交流，增强了个人感悟能力，获得了良好的学习体验，建立了学习信心.

5. 总结归纳，拓展反思升华

师生积极互动，共同回顾并总结本节课的探索过程：①从知识点方面来说主要经历了“图形是否存在→方程（组）是否有解→函数图象有没有交点”的过程;②问题的探究经历了“提出问题→特例探索→发现规律→形成猜想→验证猜想→一般推广”的过程.

教学思考

关注探究过程，突破教学重点与难点是促进核心素养发展的基础，本节课以一道中考真题为探索背景，展开教学与研究，取得了不错的成效. 课堂教学难点主要有如下几方面：①方程组的解转化为函数交点问题;②数学知识与探究平衡点的把握;③利用合作学习与过程性评价，将开放性教学进行到底. 基于不同问题，教师采取不一样的应对措施，而万变不离其宗的是整个过程都建立在“以生为本”的基础上，借助独立思考与合作交流来探索每一个问题，使得学生的思维在层层深入的探究中螺旋式上升，不仅成功提炼了各种数学思想方法，还进一步发展了数学核心素养.

总之，围绕某个问题展开探究性学习，将学生的主动思考与合作交流有机地融合在一起，可让学生体验并发现数学学习的乐趣所在，从而形成勇于探索的理性科学精神，此为促进学生终生可持续性发展的重要途径，也是发展数学核心素养的关键.

参考文献：

[1]邱冬，王光明. 平面几何教学的新视角——“示以思维”——基于章建跃先生对“研究三角形”的过程分析[J]. 数学通报，2018，57（8）：27-30.