大单元视域下初中数学“问题链”教学实践的研究

[摘  要] 《义务教育数学课程标准（2022年版）》在谈到“三会”时，强调问题对培养学生数学核心素养的重要性. 同时，大单元教学也能更好地表现数学核心素养的成分. 文章以“中点四边形”的教学为例，探讨如何基于大单元视域设计“问题链”来培养学生的数学核心素养.

[关键词] 问题链;大单元;教学

早在古希腊时期，苏格拉底就提出问题是数学的核心，而后美国的哈尔莫斯也提出问题是数学的心脏. 《义务教育数学课程标准（2022年版）》在谈到“三会”时，特别强调学生能在探索真实情境所蕴含的关系中发现问题和提出问题，运用数学和其他学科的知识与方法分析问题和解决问题[1]. 这充分体现了问题对培养学生数学核心素养的重要性. 但是单一的数学知识很难表现数学核心素养的成分，此时需要引入大单元教学理念，学生通过自主建构知识体系或思想方法的过程发展数学核心素养. 本文以“中点四边形”的教学为例，探讨如何基于大单元视域设计“问题链”来培养学生的数学核心素养.

教学过程设计

1. “问题链”引入课题

基于大单元视域设计“问题链”，需结合教材、学情等特点，引导学生通过对具体问题的探索与分析感知本节课将要探索的主题是什么，可分别从什么角度去研究等.

问题1：如图1所示，将△ABC三条边上的中点顺次连接起来，获得一个新的三角形为△EFD，△EFD称为△ABC的中点三角形，请分析中点三角形所具备的特征.

“问题链”1：继续取△EFD的中点三角形，再取新获得的中点三角形的中点三角形，所得新三角形和原三角形之间具有怎样的联系？

“问题链”2：若△ABC为等腰三角形或直角三角形，那么其中点三角形EFD和△ABC之间存在怎样的关系？

“问题链”3：如果D，E，F为△ABC三条边上的三等分点、四等分点……那么所构成的△EFD的形状、面积与周长等和原△ABC之间存在怎样的关系？

“问题链”4：将△ABC替换为四边形、五边形、六边形等，那么这些图形的中点多边形与原多边形之间存在怎样的关系？分别从图形形状、面积或周长等角度分析.

以上几个“问题链”为学生提供了明确的探索方向，如以中点四边形为研究起点，分别研究新图形与原图形之间存在怎样的关系，此为提升学生推理能力的过程.

设计意图 课堂伊始需以低起点的问题引发学生的兴趣，同时也要避免有一定难度的问题干扰学生的思维. 此处，教师有意识地规避了三角形中位线的相关知识，带领学生从整体的角度出发，以中点三角形引出中点四边形，成功激活了学生的思维，让学生产生了丰富的联想，为本节课探索中点四边形问题夯实了基础. 如此设计，学生一方面结合一般思维规律，搭建探索的平台;另一方面从最简单的概念出发，逐步深入探索中点四边形的性质与判定方法，为后续应用拓展夯实基础，也为实现学习目标做好铺垫.

2. “问题链”引发探究

师：与中点三角形进行类比，容易获得中点四边形的定义. 那么，关于中点四边形有哪些知识值得我们去探索呢？接下来，我们就一起来探究如下“问题链”.

探究1：若给你一个任意四边形，你能快速想象出它的中点四边形的形状吗？可自主在草稿纸上画图、观察、分析，初步形成猜想.

关于这个探究问题，不少学生表示很棘手. 为此，教师将这个问题细分为几个子问题，引导学生自主判断，循序渐进地深化对问题的理解.

问题1：如何判断并证明一个任意四边形的中点四边形的形状？

问题2：怎样将原图形与中点四边形构建关联？

问题3：如何探索以上两个问题？

设计意图 以上三个子问题是基于探究1而提出的，逐层递进的问题让学生对中点四边形的本质有了初步认识. 如第一个子问题意在发展学生对知识的获取能力;第二个子问题则促使学生自主发现中点四边形的本质;第三个问题是对前面两个问题的总结与归纳，促使学生自主建构一般性的研究方法，为提炼数学思想方法夯实基础.

探究2：综上分析，大家已经明确了不论什么形状的四边形的中点四边形，必然为平行四边形，关于这一理论，你们还有什么想法吗？

为了给学生的思维做指引，可设计如下“问题链”帮助学生进一步深入思考，以提取知识本质.

问题1：与中点四边形的探索进行类比分析，五边形、六边形……多边形在形状、面积与周长上和原图形之间存在怎样的关系？

问题2：当原四边形为特殊四边形时，该四边形所构成的中点四边形形状具有怎样的特点？是否一定为特殊四边形？

问题3：反过来分析，若一个四边形的中点四边形确定为特殊的四边形，那么原四边形的形状可以确定吗？

关于以上几个问题，师生共同从一般与特殊四边形的中点四边形着手展开探索，并思考当中点四边形确定为特殊四边形时，它的原图形具有怎样的特性.

在以上“问题链”的引导下，教师鼓励学生通过问题的方式启发思维，发展几何直观、推理能力、模型观念.

问题4：借助探索思路“画图、观察、猜想、验证与归纳”分析四边形在不同形状时中点四边形的具体形状，并将结论汇总到表1中.

问题5：关于矩形与等腰梯形的中点四边形为菱形这一现象，你们有什么看法？反过来分析，若一个四边形的中点四边形为菱形，则该四边形必定为等腰梯形或矩形吗？有没有可能是其他四边形？

问题6：尝试自主画一个非菱形四边形的中点四边形为矩形的图形，并完善表2，分析一旦判定中点四边形为特殊四边形，则原四边形必定满足哪些条件？

问题7：尝试从其他方面证明矩形或菱形的中点四边形必定为菱形或矩形.

设计意图 从该探究活动来分析，当我们所关注的对象不一样时，对问题的理解就有了较大差异，在解题方法上也会有较大区别. 从以上“问题链”来看，第一个问题意在帮助学生提炼从特殊到一般的数学思想方法，第二个问题则帮助学生感知从一般到特殊的思想方法，第三问属于逆向思维，对学生思维的深度与宽度提出了一定的要求. 后面几个问题展示了事物表面具有迷惑性的特征，促使学生进一步明确对中点四边形具有决定性作用的是原始图形的对角线. 最后一个问题促使学生转换思路，将视线转移到矩形或菱形上，借助全等、勾股定理等知识分析与解决问题，凸显了数学思维的多样性特征，为发展学生多元化、整体性的思维奠定基础.

探究3：若从四边形对角线的中点出发进行探索，可从什么方向进行分析？

启发问题1：一个四边形四条边的中点，加上两条对角线的中点，共可获得6个中点，这6个中点可以构造出几个中点三角形与四边形？其中具有探索意义的有哪些？

启发问题2：我们可从什么角度来探索中点多边形？具体需要探索哪些内容？

在这两个问题的启发下，学生一致提出想要探索包含对角线中点的中点四边形与原四边形之间的关系. 在明确探索方向的基础上，教师又设计了如下“问题链”供学生探索.

问题1：如图2，已知点E，F，G，H，P，Q为四边形ABCD各条边以及对角线的中点，根据这些条件可从图中获得多少个中点平行四边形？

问题2：四边形PEQG是否为平行四边形，若PEQG为矩形或菱形，四边形ABCD需满足什么条件？四边形ABCD在什么条件下，不存在四边形PEQG？

问题3：PFQH为图2的中点四边形，关于该四边形有哪些内容是可以探索的？

设计意图 该探究活动继续向学生渗透中点四边形的研究方法，让学生明确探索一个图形需从边、角等元素着手，由此延伸到新的元素中，如探索完四边形的四个中点之后就延伸到探索对角线的中点;想要进一步揭露中点四边形的本质，还需借助变式应用来实现，此为提升学生学力的具体措施.

探究4：通过以上探索，发现可借助特殊平行四边形的性质或中位线的性质来解决问题，除此之外，可否把中点四边形置于平面直角坐标系内进行探索呢？

思考1：要求学生说说对线段中点的理解，可否根据两个端点坐标获得线段的中点坐标？

思考2：说一说对平行线的理解，可否借助直线上的点坐标获得解析式，当遇到平行或垂直关系时，解析式之间有什么特点？

思考3：分析中点四边形的一般形状，并证明;尝试分析并证明矩形或菱形的中点四边形的形状.

在以上几种思路的指引下，学生很快就明确了具体的探索方向为：建立平面直角坐标系，获得直线表达式，逐步解决问题. 具体从如下几个问题着手探索.

问题1：若在图2所示的四边形ABCD中，将点B设定为原点建系，假设点A（a，b），C（e，0），D（c，d）（见图3），那么各条边的中点坐标分别是什么？请写出相应的解析式，说说你的发现.

问题2：如何给一个矩形或菱形建立平面直角坐标系进行问题的探索？

设计意图 平面直角坐标系的建立促使学生的思维由平面几何迈向解析几何的范畴，使得学生通过对问题的探索逐渐获得从多视角看问题的能力，这对发展学生的“三会”能力及数学核心素养具有重要价值与意义.

3. “问题链”增进理解

首先要求学生说说对中点四边形的理解，并对探索方法进行总结，具体从如下几方面展开：①本节课在知识、方法与思想方法上的收获;②还有哪些方面存在困惑？③对本节课的想法等.

其次，借助“问题链”对本节课授课内容进行拓展延伸：

问题1：多边形的中点图形和原图形之间有没有关联？可从周长与面积等方面着手分析.

问题2：探索中点四边形时，借助了三角形的中位线，探索的这些图形之间存在什么关系吗？

针对这两个问题，师生共同操作几何画板进行探索，并在直观展示的基础上，将问题拓展到长方体中，思考可否用本节课所获得的知识来分析长方体的问题.

设计意图 课堂回顾总结与知识拓展延伸，不仅体现了让学生带着问题走进课堂与走出课堂，还促使学生学会从整体视域来分析与思考中点四边形，进一步完善了学生的认知结构. 学生经历了一维、二维与三维的思维发展过程，进一步理解了中点四边形的本质.

几点思考

1. 基于课程整体把握教学内容

数学本身就具备严谨的结构体系，但初中阶段的学生受认知限制，面对乱序的知识点难以掌握其本质. 若教师能站到宏观的角度来观察教学内容，将各个知识点纳入知识网络中来探索，则能起到事半功倍的教学成效. 鉴于此，课堂伊始教师就有意识地带领学生在整体的视域下感知编者编写教材的主要意图，并对教学内容进行拓展，帮助学生建构完整的知识体系，从真正意义上实现知识的整合与重组.

2. 基于例题之深广设计“问题链”

例题的广度主要体现在教学容量与知识范围上，深度主要体现在数学思想方法等方面. 从例题的深度与广度两个维度出发设计“问题链”，是单元整体教学的体现，学生通过对例题的探索可获得知识、方法、思想等综合学力的提升. 当然，例题的知识含量与主次要分明，此为凸显例题教学功能的关键. 如本节课，探索的主题为中点四边形，为了帮助学生构建结构化思维，又将例题延伸到矩形、菱形等图形上，环环相扣的“问题链”将学生的思维推向了高处.

总之，大单元视域下初中数学“问题链”教学的探索值得关注，为了凸显学生为课堂的主人，教师所设计的每一个问题都要基于“以生为本”的理念. 事实证明，基于整体视域设计教学方案是提升学生学力，发展学生数学核心素养的关键.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2022.