经历探究过程 提高教学效益

[摘  要] 数学教学不仅要关注学生的知识掌握情况，而且要关注学生思维能力的发展. 在日常教学中，教师应打破以讲授为主的教学局面，创造机会让学生自主发现、提出并解决问题，以此激活思维，培养学生分析、探索和解决问题的能力，进而提升学生的学习品质，提高教学效益.

[关键词] 思维能力;学习品质;教学效益

提高教学效益是一线教师的共同追求. 在实际教学中，部分教师认为“灌输”是提高教学效益的捷径. 但实践证明，“灌输”容易固化学生的思维，影响学生学习能力的提升，限制学生思维能力的发展. 笔者在教学“线段垂直平分线的性质与判定”时，以发展学生学习能力为目标，在提高学生探究能力，发展学生数学思维能力等方面取得了较好的效果. 现将教学过程呈现给大家，若有不足，请指正.

内容分析

“线段的垂直平分线”是初中阶段的核心知识点，其定义、性质、判定是证明线段相等、直线互相垂直的重要依据. 学生在学习本课内容前已经掌握了研究轴对称、等腰三角形等相关知识的方法，这为新知的理解与掌握提供了智力支持和方法保障. 在本课教学中，教师通过探究活动引导学生经历知识的再现过程，让学生在理解相关定义、性质、判定的基础上，明晰垂直平分线的性质与判定的区别和联系，体会蕴含其中的互逆关系，提高学生的思考辨析能力，提升学生的数学素养.

教学过程

1. 问题导入，激发兴趣

问题1：观察图1所示的风筝，联想自己的风筝，它们具有怎样的结构？为什么采用这样的结构呢？

生1：风筝是左右对称的结构，因为只有这样的结构才能让它们飞得又高又稳.

设计意图  以学生的熟悉实物为研究背景，引发学生的情感共鸣，激发学生探究的积极性.

2. 合作探究，生成新知

师：说得很好，结合图1，你能具体说说这个骨架的结构吗？（为了引导学生向数学化转化，教师让学生将水平和竖直的木棍分别看成横轴和纵轴）

生2：纵轴经过横轴的中点.

师：很好，还有吗？如果这样可以吗？（教师不断调整纵轴的角度让学生观察）

学生齐声回答：不行，还要垂直.

师：很好，如果现在我们将图1中的横轴和纵轴抽象为两条线段，纵轴可以叫什么呢？

生3：纵轴过横轴中点且与横轴垂直，纵轴可以命名为“横轴的垂直平分线”.

教师出示：线段垂直平分线.

教师出示垂直平分线的定义、符号表示，并预留一定的时间让学生交流、理解、记忆.

问题2：如果将风筝图抽象成平面图，你会吗？（教师预留时间让学生动手操作，学生将图1的风筝实物图抽象成图2）

师：非常好，根据垂直平分线的定义可知，PQ⊥AB，AO=BO，图2中是否还有其他相等的线段呢？

生4：PA=PB，QA=QB.

师：你的依据是什么？

生4：轴对称. （学生通过轴对称证明线段相等）

师：很好，大家利用轴对称证明了PA=PB，QA=QB. 观察以上结果，你有什么发现呢？（学生积极观察、分析）

生5：点P、Q在线段垂直平分线上，而点A、B分别为线段的两个端点. 这样是不是可以说，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等呢？

师：非常棒的发现.

教师板书线段垂直平分线的性质，并引导学生用符号语言进行表达：因为PQ⊥AB，AO=BO，所以PA=PB，QA=QB.

设计意图  教师从学生已有认知出发，再现定义、性质的发现过程. 在此过程中，教师巧妙地设计问题，让学生在问题的引导下积极观察、交流、概括，以此培养学生的数学观察、归纳概括等素养，提高学生的学习品质.

问题3：如图3，因为保管不当，风筝的纵轴被折断了. 但测得PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？

问题给出后，学生猜想点P在线段AB的垂直平分线上.

师：这一猜想该如何证明呢？（学生不语）

师：若过点P的直线是AB的垂直平分线，那么过点P的直线会是怎样的直线呢？

生6：这条直线应该过线段AB的中点，且与线段AB垂直.

师：很好，接下来你想怎么证明呢？

生7：如图4，过点P作线段AB的垂线PO，垂足为O，证明：AO=BO.

生8：如图4，也可以在AB上取中点O，连接PO，证明：PO⊥AB.

生9：过点P作∠APB的角平分线PO，证明：PO⊥AB且AO=BO.

证明方案给出后，教师带领学生进行简单的证明，并对探究结果进行总结归纳，由此得到垂直平分线的判定定理及符号表示.

设计意图  教学中，教师先让学生通过直观想象形成猜想，并引导学生对垂直平分线的要素进行分解，进而自主形成证明思路. 学生通过思考与交流，给出了三种证明思路：①作垂线证中点;②取中点证垂直;③作角平分线，证垂直且平分. 这样通过经历猜想与证明的过程，让学生体会性质与判定的互逆关系，从而深化知识理解，培养学生的辩证思维能力.

3. 变式应用，提升能力

师：将图2分解成图5，观察图5，看看你有什么发现？

生10：将图2上下分解后形成两个等腰三角形，左右分解后形成两个对称的全等三角形.

在此基础上，教师又让学生继续分析分解后的三角形的形状，如上下分解后还可能会得到等边三角形或等腰直角三角形，继而为后面的拓展应用埋下伏笔.

师：很好，大家有着很好的观察和推理能力. 在此基础上，我们再做一些改变，如图6，从筝形图中提取等腰三角形PAB，作PA边的垂直平分线，垂足为D，交AB边于点E，连接PE. 观察图6，你有何发现？

问题4：如图7，在△PAB中，PA=PB，作AP边的垂直平分线，分别交边AP，AB于点D和点E，连接PE.

（1）请找出图7中所有相等的线段.

（2）若∠A=50°，还能求出哪些角的度数？

（3）若△PAB的周长为20，其中PA=8，△PEB的周长是否可求？如果可以，请求出△PEB的周长.

设计意图  教师预留时间让学生独立思考问题4的解题过程，并通过互动交流完善解答，以此通过问题的解决促进知识的巩固，提高学生的数学应用水平. 同时，通过问题的解决让学生获得成功的喜悦，提高解题信心.

师：刚刚我们提取的是筝形图的上面部分，若提取筝形图的左右部分又会有什么发现呢？如图8，提取△APQ，并将其顺时针旋转90°，分别在△APQ的AQ，AP边上添加两条垂直平分线，看看你有什么发现呢？

问题5：如图8，DE垂直平分线段AQ，MN垂直平分线段AP.

（1）若△AEN的周长为10，则PQ=______.

（2）若∠PAQ=150°，则∠EAN=______.

（3）若∠PAQ=α，则∠EAN=______.

（4）点O是否在线段PQ的垂直平分线上？

师：通过问题5的解决，你能得到怎样的结论呢？

在教师的启发和引导下，学生得到了如下结论：（1）△AEN的周长等于PQ的长;（2）若∠PAQ=α，则∠EAN=2a-180°. （3）点O在线段PQ的垂直平分线上. 经历问题5的探究后，学生解决问题的积极性高涨，基于此，教师继续启发学生将问题“变一变”.

师：在此基础上，如果进一步拓展，你想如何操作呢？（学生积极思考）

生11：图8中的三角形为钝角三角形，如果将其改为锐角或直角三角形，会发生怎样的变化呢？问题5中的结论是否依然成立呢？

设计意图  让学生在特殊与一般的探究中充分挖掘蕴含其中的规律，激发学生的数学探究热情，提高学生的探究能力、归纳概括能力，提升学生的数学素养[1].

4. 课堂小结，升华认知

问题6：回顾本课学习内容，你有哪些收获？

该环节教师预留时间让学生回顾反思，总结归纳自己所想、所获，以此进一步优化学生的认知结构，提升学生的数学素养.

教学思考

数学是一门理性思维的学科，培养学生的理性思维是数学教学的重要使命. 在概念、定理等相关知识的教学中，教师要重视引导学生经历知识形成的过程，这样既能调动学生参与的积极性，又能让学生深刻理解知识，提高理性思维能力[2].

在本课教学中，教师以“图形的演变”为主线，先是从实物出发，让学生提炼筝形图，然后通过将筝形图进一步分解，继而得到了不同的三角形. 接下来分层探究不同的三角形，由等腰三角形到钝角三角形，再到锐角三角形、直角三角形，由此通过对不同图形的深度探究培养学生的理性思维能力，有效提高学生的数学应用水平和数学素养.

学生是课堂教学的主体. 教学中，教师应从学生已有认知水平出发，通过创设有效的问题激发学生的学习积极性，并让学生在问题的解决中获得知识，发展能力，提升素养. 在本课教学中，教师让学生在问题的驱动下积极思考与交流，使学生的探究能力和思维能力得到了大幅度的提升.

总之，在初中数学教学中，教师既要关注学生对知识的掌握，又要关注学生能力的提升. 在实际教学中，教师要多提供一些机会让学生去思考、去探究，以此提高学生的自主探究能力， 发展学生的综合学力.

参考文献：

[1]赵亚军. 数学探究中彰显问题意识[J]. 数学之友，2022，36（7）：36-37.

[2]金灿锋. 立足探究式教学，构建高效数学课堂[J]. 数学教学通讯，2021（33）：62-63.