基于“分类思想”发展的初中数学教学研究

[摘  要] 学生在课堂上掌握的数学知识几年之后有可能会遗忘，但所获得的思想方法、思维品质、研究方法、数学精神等会让学生受益终身. 文章以“相似三角形”的复习教学为例，具体从“创设情境，激发兴趣”“旧知回顾，切入主题”“问题设计，引发探究”“梳理总结，归纳提升”四个环节设计教学，并对基于“分类思想”发展的初中数学教学谈一些思考.

[关键词] 分类;数学思想;分类讨论

分类思想是指根据知识本质属性的异同点，将研究对象分出不同种类的一种常用的数学思想，这种思想方法贯穿于学生的整个数学学习生涯[1]. 当我们遇到一个结论不唯一的问题时，常会将这个问题分成若干种情况进行逐一讨论，最后总结出结论，这就是分类讨论法的应用. 学生在应用分类思想时，会无形中将复杂的问题简单化，提高思维的条理性、周密性等. 本文以“相似三角形”的复习教学为例，谈一谈如何向学生渗透分类思想.

教学实录

1. 创设情境，激发兴趣

课堂伊始，教师带领学生回顾垃圾分类问题，并要求学生说说家里每天会产生哪些垃圾，这些垃圾该如何分类？

家里常见的垃圾有餐巾纸、矿泉水瓶、果皮、废旧电池、过期药品等，可将这些垃圾进行整理分类，分别对应厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾以及其他垃圾类.

师：垃圾分类是常见的生活实例，除此之外还有哪些需要分类的生活实例呢？

学生表示商场、超市的物品摆放，书店的图书摆放，人的年龄等都是常见的分类类型.

设计意图 垃圾分类是当前最热门的社会话题之一. 以此作为情境素材，意在调动学生对课堂的兴趣，强化学生的垃圾分类意识. 让学生自主说说生活中常见的分类现象，是让学生将自身的生活经验迁移到课堂中来，感悟分类思想的必要性与重要性，为本节课的教学奠定基础.

2. 旧知回顾，切入主题

借助PPT展示图1，与学生一起回顾相似三角形相关的基础知识.

设计意图 相似三角形的知识点比较多，教师以思维导图的方式展示与之相关的内容，一方面帮助学生有条理地回顾旧知，感知分类思想的实用性;另一方面为本节课的教学夯实知识与方法基础.

3. 问题设计，引发探究

问题1 已知△ABC为一块金属材料，AD为BC边上的高，若AD=，BD=3，CD=1，请画出这块金属材料的形状.

一位学生根据高位于三角形的内部，画出一个含30°角的直角三角形（如图2）;也有学生提出还有可能是类似于图3的三角形，这是建立在“高位于三角形外部”的基础上得来的.

教师充分肯定了这两种答案，并强调：高的位置存在三种情况，即形内、形外与形上，形上的情况不存在，那么就要从形内与形外两种情况进行讨论.

师：如果我们将这个问题的条件稍做改变，即如图2，已知AD为△ABC中BC边上的高，AD 2=BD·CD，则该三角形是什么形状呢？

生：直角三角形. 理由是根据三角形相似的判定定理，即两条边对应成比例，同时夹角相等的两个三角形相似.

师：若去掉“如图2”这个条件，还能确定该三角形一定是直角三角形吗？

设计意图 对应关系不明确的情况下，最需要分类讨论. 如此设计主要是为了让学生明确三个问题：①为什么需要分类？存在多种结论;②如何分类？确定好分类对象与标准后实施分类;③分类有哪些注意事项？不重不漏. 此处除了复习相似三角形的判定定理，还为整节课提供了图形素材.

问题2 若想在图2这块金属材料中裁出它的内接正方形，使得正方形的顶点都位于△ABC的边上，求正方形的边长.

师生活动：在教师的引导下，学生以合作交流的方式进行分类讨论，着重关注分类对象与标准. 经讨论，学生一致认为满足条件要求的正方形存在两类情况，即两个顶点位于斜边（或两直角边）上（图4）以及一个顶点与点A重合（图5）.

设计意图 本题属于因方案的不确定而需要分类讨论的问题，学生通过对问题的分析，考虑顶点落于不同位置的情况，同时，这两个结论图形也是常用的基本图形，可进一步强化学生对相似三角形的性质“对应高的比等于相似比”的理解.

巡视发现，有一部分学生利用“30°角的三角函数值”解决了本题，这种方法也值得赞扬，其实三角函数的本质就是相似三角形.

问题3 如图6，将等腰直角三角形EFD（教师提供）与含30°角的Rt△ABC各剪一刀，使得原三角形变成两个三角形，让Rt△ABC变成的两个三角形与△EFD分成的两个三角形分别相似.

师生活动：四人小组合作，确定分类标准与依据，各组派一名代表展示讨论结果. 将直角三角形一分为二，分割线必然会经过三角形中的一个顶点，故存在三种情况;将等腰直角三角形一分为二，因为有两个顶角的度数一样，因此存在两种情况.

设计意图 这两个三角形的角度均具有特殊性，属于特殊的三角形，且恰巧构成一副三角板. 因为解决本题的方案具有不唯一性与不确定性，所以需要分类讨论. 设计此题，不仅完善了学生对相似三角形判定定理“两个角对应相等的两个三角形相似”的理解，还让学生进一步感悟了严格分类讨论的重要性.

问题4 如图7，点D为上述Rt△ABC中AC边上的一点，已知CD的长为，若过点D将原三角形一分为二，让剪下的三角形与原三角形相似，求新三角形与原三角形的相似比.

如图8所示，不同的剪法可形成不一样的情况，在分类时可分别考虑与AB边以及与BC边相交的不同情况，所获得的相似三角形各不一样，相似比也不一样.

问题5 若点D位于三角形边上非顶点的任意位置，过点D剪下的新三角形与△ABC相似的情况有哪些？

师生活动：给予学生充足的时间与空间进行思考与交流，必要时进行适当点拨，将学生所展示的结论借助几何画板的演示功能进行解析：

方法1：如图9，若点D位于AC上，则存在四种剪法满足题设要求.

方法2：如图10，若点D的位置在BC边上，则存在三种剪法.

方法3：若点D的位置在AB边上，则有如下两种情况：①如图11，若AD≤，则存在四种剪法;②如图12，若<AD<2，则存在三种剪法.

设计意图 本题为典型的相似三角形问题，在中考中常有出现，对学生思维有较高要求. 循序渐进的问题设计，意在为学生的思维搭建“脚手架”，让学生由浅入深地感知分类讨论思想方法. 本题将学生的思维推向了高潮，鉴于问题难度较大，教师在适当时刻要给予点拨与引导，让学生自主进入分类讨论的状态.

4. 梳理总结，归纳提升

再一次带领学生梳理相似三角形的相关知识，展示图1，带领学生在总结回顾中建构完整的知识结构，对相似三角形形成系统性的认识. 同时，总结本节课涉及的分类讨论思想，与学生一起说说在哪些地方用到了分类讨论？分类依据与标准怎么确定？有什么特别值得注意的地方，等等.

设计意图 思维导图的再次展示，意在完善学生的认知结构;分类讨论相关内容的思考，是促进学生进行教学反思与反省的过程，学生在一个个问题的提示下进行分析与思考，不仅进一步完善了对知识重点与难点的认识，而且自主提炼了分类讨论思想，这种思想将伴随学生的一生，是提升数学核心素养的基础.

教学思考

1. 方法为载体，关注复习成效

复习教学与新授课有较大区别，新授课是将一个个知识点化整为零，进行逐个突破;复习教学需要将一个个零散的知识点聚集到一起化零为整，形成知识体系，为综合应用做铺垫. 因此，复习教学首先要将基础知识罗列到一起，通过一定的方法将它们整理、归纳，便于学生记忆、理解与应用，这是提升学生解题能力关键性的一步，也是提高复习成效的重要举措[2].

本节课，教师在带领学生回顾旧知环节就将所有知识点以清晰的思维导图形式进行呈现，一方面节约了学生逐个回忆的时间成本，另一方面为接下来知识的应用奠定基础. “分类讨论”是突破相似三角形相关问题的关键，究竟该怎样分类？这是教学的重点与难点. 教师结合学情与知识特点设计了环环相扣的问题，让学生不由自主地进入独立思考与合作交流的状态，并应用合理的方法进行分类讨论，取得了较好的复习成效.

2. 问题为基础，促进思维发展

问题是推动课堂前进的动力，尤其是由浅入深的问题串，能简化高度复杂或综合性问题的难度，让学生在低起点、密台阶的问题引导下逐步启发思维、突破难点[3]. 本节课，学生在一个个问题的启发下，感知图形的变化、延伸，体会分类讨论思想的应用，整个教学设计存在两条平行线索：

线索1：含30°角的Rt△ABC贯穿始终

问题1就成功地将学生的目光吸引到图2，随着教学的逐渐深入，问题变得越发复杂，但万变不离其宗，每一个问题都紧紧围绕该三角形而展开. 在分类讨论思想的辅助下，学生每解决一个问题，就复习了相似三角形的判定定理与性质. 整个复习过程中，每一个问题的设计都很巧妙，探究活动的开展成功点燃了学生的学习热情，课堂氛围民主、开放，学生在探索三角形时积累了丰富的活动经验.

线索2：各种形式的分类讨论

相似三角形的探索是实施分类讨论的绝佳媒介. 本节课，教师带领学生从“无图—有图”“一个分类对象—多个分类对象”“静态图—动态图”三个维度进行分类讨论，让学生充分感知分类的必要性与重要性，学生在应用过程中对分类方法、依据、标准以及注意事项等形成了深刻印象，从真正意义上感知了分类讨论的内涵与本质.

3. 思想为指导，推广单元设计

复习教学综合程度高，一般需将思想方法与知识有机地融合在一起，实施单元化的教学，这是完善学生认知结构的过程，也是帮助学生提炼与应用数学思想方法，实现思想方法内化与迁移的过程. 不论是章节复习课教学，还是中考综合性的复习教学，都离不开数学思想方法的指导.

就分类讨论思想而言，既可用于等腰三角形单元，又可用于圆的单元，还可应用在几何动态问题中等. 不论用在哪个专题或单元中，其关键都是要关注学生对知识本质的理解以及对思想方法的领悟程度，这是发展数学核心素养关键性的一步. 当然，这也对教师的专业水平与教学能力提出了更高要求，教师自己首先要对知识结构有明确的认识，同时要具备较好的反思与应变能力，这样才能做好课堂引导工作.

总之，分类思想是一种重要的数学思想方法. 发展学生的分类思想，不仅能进一步开发学生的智力与非智力水平，完善学生的认知结构，还能提升学生解决综合性问题的技巧，促进学生获得终身可持续性发展的学习能力.

参考文献：

[1]邵光华，章建跃. 数学概念的分类、特征及其教学探讨[J]. 课程·教材·教法，2009，29（7）：47-51.

[2]吴增生. 整体建构核心素养导向下的总复习教学策略体系[J]. 中国数学教育，2019（Z3）：3-11，37.

[3]郑毓信. 数学教学中的“问题引领”与“问题驱动”：“中国数学教学‘问题特色’”系列研究（2）[J]. 小学数学教师，2018（3）：4-8.