“微专题”在初中数学复习教学中的应用研究

[摘  要] 近年来，“微专题”复习模式越发受到广大教育工作者的认可. 实践证明，这是一种针对性强、切入点小的复习方式，对解决真问题与实问题具有重要意义. 研究者以“二次函数背景下定角的处理策略”的专题复习为例，分别以一次函数、二次函数与中考真题为背景实施教学，并谈一谈设计意图与思考.

[关键词] 微专题;复习;解题

在中考的背景下，一些教师仍采用传统“讲练结合”的方式实施复习教学，殊不知这种侧重练习与记忆的模式因为缺乏创新性与针对性，导致学生在遇到新颖的试题时束手无策. 新课标背景下的数学复习教学依然以核心素养的发展作为目标，因此教师在复习教学时应注重从多维度出发，以多种形式帮助学生建立知识间的联系，以有效促进学生思维的发展. 实践证明，“微专题”复习教学可有效提高复习成效，提升学生的思维水平与解题能力.

解析“微专题”的内涵

“微专题”既微又专，具有“见微知著”之功效，通俗来讲就是小角色起到大作用. 从“微专题”本身来说，不论是形式上还是内容上都比较灵活，基于内容的角度分析，“微专题”既是章节或单元知识的归纳，又是小知识的集成，抑或为某种解题策略或规律的整理. “微专题”从“专题”衍生而来，有效弥补了专题“大而空”的问题，如表1，将两者进行类比，可进一步发现“微专题”的优势.

“微专题”具有“小而精”的特点，将“微专题”应用在复习教学中，可带领学生聚焦于某个特定的知识点、活动主题或思想方法等，通过短周期的研究获得长久的收益.

“微专题”在复习教学中的应用

（一）教学分析

二次函数是初中阶段的教学重点与难点，学生在中考中丢分现象严重. 日常教学时，教师每次都要引导学生从分析问题出发，通过深入探究发现解题方法，事实证明这种教学方法取得的成效并不尽如人意. 调查发现，学生在二次函数的学习中主要存在如下几个问题：审题能力弱，无法挖掘出隐含条件;对于二次函数相关的基本概念、图形及解题方法掌握不牢固，无法形成系统的知识体系与解题技巧等.

纵观近年来各地的中考试题，不难发现二次函数相关的综合题出现频率较高，且常与几何图形或一次函数等相结合，有时加以平移、翻折与转化等，让学生感到困难重重. 从二次函数本身来说，其考查的内容也异常丰富，有面积问题、动点问题、四边形存在性问题、特殊三角形问题、线段和差最值、定边定角、定值等问题.

由此可见，二次函数相关的综合性试题灵活多变，这也给复习教学带来了挑战. 若实施大专题复习，会因为过于笼统导致教学缺乏针对性，“微专题”的应用则能起到逐个突破的作用，帮助学生更好地理清解题策略与方法，让学生从真正意义上获得举一反三的解题能力.

（二）教学简录

活动1  以一次函数作为背景设计问题

例1 如图1，平面直角坐标系中的一次函数y=2x-1的图象和x轴相交于点A，与y轴相交于点B，若将直线AB围绕点B沿顺时针方向旋转45°，则与x轴相交于点C，那么直线BC的函数表达式是什么？

设计意图 对于平面直角坐标系而言，一次函数属于相对简单的内容，以此作为背景能让各个认知水平层次的学生都将注意力转移到课堂中来，低起点的问题能有效激发学生参与的积极性. 为了启发学生的思维，教师可带领学生一起提炼45°定角的一般解题步骤：首先从图中找出定角∠ABC=45°与定边BA;其次过定点作垂线，建立“一线三直角”的模型;最后借助全等或相似三角形、勾股定理或三角函数等进行求解.

解析 由题意可知点A

，0，B（0，-1），因此OA=，OB=1.

如图2所示，过点A作AF⊥AB交BC于点F，再过点F作FE⊥x轴于点E，那么就有AB=AF. 从“一线三直角”的全等模型出发，可知AE=BO=1，EF=AO=，那么点F

，

-. 借助待定系数法，不难获得y=x-1为直线BC的函数表达式.

变式 如图3，若将直线AB绕着点B进行顺时针旋转，并与x轴相交于点C，令tan∠ABC=，在其他条件不发生改变的情况下，写出直线BC的函数表达式.

设计意图 将45°的特殊角转化成满足tan∠ABC=的角或更一般的定角. 改变旋转角的大小，可让学生从中体悟“变中的不变”，从而提炼出一般性的规律，形成通性通法.

解析 根据题意可知AO=，BO=1. 如图4，过点A作AF⊥AB交BC于点F，再过点F作FE⊥x轴于点E. 根据“一线三直角”的相似模型，易知AE=，EF=，那么点F

，

-. 根据点B（0，-1），F

，

-，不难获得y=x-1为直线BC的函数表达式.

活动2 以二次函数为背景设计问题

例2 如图5，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象和y轴相交于点B（0，-2），和x轴分别相交于点A（4，0）与C（-1，0）.

问题：（1）写出二次函数的表达式.

（2）分析AB下方的抛物线上有没有点M可让∠ABO=∠ABM？若有，请分析点M到y轴的距离;若无，请说明理由.

设计意图 问题背景由一次函数转化为二次函数，意在引导学生透过现象看本质，从中感知“变与不变”的思想，为探寻良好的解题方法奠定基础.

解析 （1）根据待定系数法，易得表达式：y=x2-x-2.

（2）首先从tan∠ABO=2的角度出发探寻定角∠ABM;其次探寻定边BA;再过定点A作垂线，形成“一线三直角”（见图5）的模型;最后设方程的点或坐标，借助相似三角形、勾股定理或三角函数实施解题.

活动3 以中考真题为背景进行引导

例3 （2020年江苏常州中考卷第28题）如图6，二次函数y=x2+bx+3的图象与y轴相交于点A，过点A作x轴的平行线与抛物线相交于另一点B，抛物线过点C（1，0），且顶点为D，连接AC，BC，BD，CD.

（1）填空：b=______.

（2）点P为抛物线上的一点，且其横坐标大于1，点Q为直线BD与PC的交点. 如果∠DQC=∠BCA，求点P的坐标.

（3）点E处于直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，而点F关于直线BC对称的点为G，连接AG. 当点F恰好处于x轴时，直接写出AG的长.

设计意图 直接引用中考真题，意在帮助学生更好地理解中考出题方式，深化学生的解题策略，提升解题能力.

解析 对于第一问，学生基本都能自主解决，此处不做具体描述.

关于第二问，如图7，过点A作AI⊥CB于点I，过点C作CH⊥AB于点H. 据此易得AI=2，CI=，那么tan∠BCA=2.

探索至此，需分成如下两种情况进行讨论：

第一种情况：如图7，若点Q位于点D的上方，首先根据tan∠DQC=tan∠BCA=2探寻定角∠CQD;其次探寻定边BD;而后过定点C作垂线，完善“一线三直角”模型，通过相似获得点Q为BD和x轴的交点G.

第二种情况：如图8，若点Q位于点D的下方，方法亦然，过程略.

第三问略.

几点思考

1. 聚焦“三个理解”，精准设定“微专题”

章建跃博士提出“理解数学、理解学生、理解教学（简称三个理解）”的理念，从“微专题”的设计来看，教师也应在“三个理解”的基础上进行分析与思考. 学生存在的问题、中考高频考点、易错点等，都是“微专题”的主要来源. 因此，教师应对知识特点、学生的实际认知水平与中考考情等有一个充分的认识.

教情与学情可借助大数据系统精准掌握，关于中考方向的把握则为教师重点关注的内容. 各个区域历年的中考考点分析，可为“微专题”复习的设计提供充足的依据. 当然，一些新颖的中考试题也是“微专题”复习的上好资源，学生常能从中受到启发.

如本节课的例3就选择了江苏省常州市2020年的中考试题作为研究对象，学生将自己所学的知识灵活应用到该题的探索中，不仅进一步开阔了视野，还对二次函数背景下定角的处理策略产生了更加深刻的认识，这是提升解决这一类问题的能力的过程，也是触类旁通的复习过程，对发展学生的数学核心素养具有重要意义.

2. 注重循序渐进，深化思维发展

“微专题”复习教学设计需遵循学生的认知发展规律，即使一节课讲练的都是同类型问题，也要注意问题提出的系统性与循序渐进性，严格按照从易到难的顺序设计问题. 尤其是在课堂起始阶段，需放低起点，让不同认知水平层次的学生都能从基本图形或熟悉的性质出发，自主探寻解题思路，这是帮助学生建立解题信心的关键.

本节课，教师以一次函数为问题的背景，引导学生从“低起点”出发进行自主探索，取得了相当不错的教学成效. 教师若在课堂伊始就呈现出例2或例3，则会让一些认知水平一般的学生望而却步，学生一旦心理上产生畏难情绪，那么接下来的教学成效将会大打折扣. 在以核心素养为目标的大环境下，“微专题”复习更要注重由浅入深、循序渐进的原则，这是促进学生思维不断深化的基础，也是践行深度学习理念的关键.

3. 立足一类问题，确定专题类型

“微专题”的特点是“既微又专”，具有切口小、微而准、微而细、微而深、灵活、实用等特点. 既然称之为“微”专题，必然只能立足于一类问题.

对于复习课而言，我们大致可将“微专题”分成如下几类：①知识点类专题，此类专题主要针对教学内容来设定，结合教学重点、难点，以及学生在解题过程中暴露出来的疑点、易错点等进行设计，力求帮助学生从真正意义上解决真问题与实问题;②考点类专题，即打破教材所呈现的知识体系，结合考情而设定的提高复习针对性的“微专题”;③问题解决类专题，即关注学生在课堂上数学思想方法的提炼情况，引导学生在自主比较、分析与体会中实现知识的“再创造”，以从根本上提升解题能力. 这三类热点专题都与学生的认知与生活经验密切相关，对发展学生的数学核心素养具有重要意义.

本节课就属于考点类专题，主要针对中考解题而设计，意在提升学生在应对中考过程中解决关于“二次函数背景下定角类问题”的能力. 教师以低起点、小步子的方式逐渐深化问题的难度，促使学生的思维拾级而上，最后链接中考真题，帮助学生积累实战经验，促使学生通过解一题获得解一类题的能力.

总之，新课标背景下的“微专题”复习教学取得了不错的成效. 一线教师应致力于在教情、学情与考情的基础上理解教学、理解学生、理解数学，根据实际情况选择恰当的主题作为“微专题”的核心，以从真正意义上拔高学生的思维，提升学生的解题能力与核心素养.