“勾股定理”复习课教学探究

[摘  要] “勾股定理”的复习课教学需要学生对核心知识进行整合，总结定理和应用方法，构建完整的知识网. 实际教学中可分为三个环节：深度解读，定理强化;实际应用，方法总结;折叠分析，方法探究. 通过这三个环节让学生掌握“勾股定理”及“勾股定理的逆定理”.

[关键词] 复习课;勾股定理;教学探究

知识定位

“勾股定理”是初中数学较为经典的几何定理，关于“勾股定理”章节知识的复习，需要梳理整合核心知识，结合中考考点明确复习要点. 复习教学需要围绕知识核心来设置教学环节，引导学生完成知识强化和方法总结. “勾股定理”的复习核心包括定理及其逆定理、解决实际问题以及折叠类问题的构建方法等. 复习教学中，教师可以分三个环节开展强化指导.

教学设计

“勾股定理”的教学环节设计，任务核心有两个：一是强化知识方法，指导解题应用;二是知识教学渗透数学思想，如数形结合、模型构造和转化思想等，促进学生综合能力的提升.

教学环节（一）——深度解读，定理强化

教学预设：教学中呈现图1，展示勾股定理与其逆定理的关系，引导学生从“数”与“形”两大视角进行解读.

勾股定理的构建需要借助直角三角形，教学中给定直角三角形，设定三边长，从文字语言和几何语言两大方面进行解读.

文字语言：两直角边的平方和等于斜边的平方.

几何语言：a2+b2=c2.

该环节中需要引导学生关注两点：一是勾股定理与其逆定理的关系，以及构建关系;二是关注勾股定理的变形式. 教学中教师可以设置如下问题：

问题1：勾股定理与其逆定理有何转化关系？是从何视角来对直角三角形进行刻画的？

问题2：勾股定理有哪几种变形式？请分别列出.

问题3：结合直角三角形，如何列出“勾”“股”“弦”？

教学引导：教学中引导学生结合图1来描述勾股定理与其逆定理的关系，并结合几何模型来解读定理内容，让学生明晰“形”视角下的定理及“数”视角下的逆定理，指导学生结合定理来变形定理公式.

教学环节（二）——实际应用，方法总结

1. 方法总结

教学预设：教学中呈现图2，指导学生掌握利用勾股定理解决实际问题的方法思路，形成图中所示的闭环思维模式.

教学中引导学生关注两点：一是实际问题与数学问题的区别和联系;二是如何将实际问题转化为数学问题. 可设置如下问题：

问题1：如何利用勾股定理来解决实际问题？

问题2：建立几何模型解决实际问题时，如何设定数学变量？

问题3：利用勾股定理求解实际问题需要分几步进行？

方法梳理：教学中结合图2引导学生生成解决实际问题的一般步骤，分四步构建思路.

第一步，读懂题意，分析已知与未知间的关系;

第二步，构造直角三角形;

第三步，利用勾股定理等列方程;

第四步，解决实际问题.

2. 应用探究

该环节引导学生利用上述总结的方法思路来解决实际问题，重点讲解分步构建的过程和技巧. 讲解过程精选问题，结合实例应用强化.

例1：如图3-（a）所示，有两棵树，一棵树高AC是10米，另一棵树高BD是4米，两树相距8米（即CD=8米），一只小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点处，则小鸟至少要飞行多少米？

教学预设：教学中引导学生读题审题，充分利用总结的分步策略来构建思路，形成如下解析步骤.

第一步，读题审题，整合条件，求小鸟至少飞行多少米，即求AB的长. 已知AC=10，CD=8，BD=4.

第二步，构造直角三角形，根据实际问题建立几何图形，过点B作BE⊥AC于点E，则四边形EBDC是长方形，连接AB，如图3-（b）所示，完成几何模型的建立.

第三步，利用勾股定理列方程，分析可知EC=BD=4（米），EB=CD=8（米），所以AE=AC-EC=10-4=6（米）. 在Rt△AEB中，由勾股定理可得AB==10（米）.

第四步，解决实际问题，AB的长度就是小鸟飞行的距离，即小鸟至少要飞行10米.

教学建议：教学中严格按照总结的思路方法来讲解，即“转化为数学问题→构造直角三角形→结合勾股定理求解→解决实际问题”. 整个过程合理渗透化归转化、数形结合、模型构造的数学思想，结合思想方法来逐步构建解析.

教学环节（三）——折叠分析，方法探究

勾股定理广泛应用于几何折叠问题中，探究解析的难点为线段长的表示，需要借助勾股定理构建方程. 教学中需要引导学生掌握方法技巧，形成相应的解题策略. 笔者建议结合具体的图形，以实际问题为例开展策略讲解.

1. 方法探究

教学预设：如图4所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8，BE=4，点D在线段BC上，将△ADC沿着AD折叠，点C的对应点刚好落在AB上的点E处.

教学引导：教学中引导学生关注图中的问题，探索CD长的求解思路. 指导学生注意两点：一是如何推导线段长，二是如何利用勾股定理求解线段长. 可设置如下问题：

问题1：△BDE有何性质？请根据折叠特性推导.

问题2：求线段CD的长，将其设为x，则BD和DE如何表示？

问题3：如何构建直角三角形，怎样求出未知量x？

基于上述分析，引导学生总结折叠问题中结合勾股定理求解线段长的方法，形成如下四步策略：

第一步，设定未知数，设一条未知线段的长为x;

第二步，表示线段长，用已知线段或含x的代数式表示出其他线段长;

第三步，构建方程，在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的方程;

第四步，解方程，从而求出所求线段长.

2. 应用强化

该环节同样需要精选问题，指导学生结合实例强化应用，整个过程注意关键点分析，讲解分步构建方法.

例2：如图5，将长方形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB=9，BC=6，求FC′的长.

教学预设：教学中指导学生分析其中的折叠过程，根据折叠特性来提取其中的条件，再结合上述总结的方法求解.

第一步，理解题意，整合条件.

分析可得AB=CD=9，BC=AD=6，由折叠特性可得FC=FC′. 点C′为AD边的中点，则C′D=3.

第二步，设定未知量，表示线段.

设定FC′=x，则FC=x，DF=9-x.

第三步，勾股定理，构建方程.

在Rt△C′DF中，由勾股定理可得C′D2+DF 2=FC′2，代入线段长，有32+（9-x）2=x2.

第四步，解方程求解.

可解得x=5，即FC′=5.

教学建议：教师指导学生利用勾股定理解决折叠问题时，建议按照“折叠过程分析→特性提取→模型提取→定理利用”的思路流程来操作.

写在最后

“勾股定理”的复习课教学重点不应放在基础知识的构建上，而应注重知识的整合拓展，围绕知识难点进行强化讲解，引导学生掌握知识，总结解题方法，提升综合素养. 教学中建议采用强化探究的方式，引导学生深入思考，揭示知识本质，掌握探究方法.