追本溯源,提升学科能力和素养

[摘  要] 针对一道错误命题，学生在说题中形成认知冲突，发现并提出问题.在交流探讨中，学生找到错题根源，改编问题并解决.这个学习过程能让学生体会到数学学习的一般方法，培养学生的几何直观、推理能力等核心素养，提升学科能力.

[关键词] 数学活动经验;学习方法;核心素养;学科能力

为了提高学生的数学解题能力，让学生获取需要的解题方法与经验，数学教师往往会花费精力选取适配的练习题进行精准教学，以期待课堂教学能事半功倍. 教师们往往害怕选到错题，认为错题不仅没有探讨的价值，还会浪费学生的学习精力，降低学生对教师的信任，但这只是对错题的片面了解. 《义务教育数学课程标准（2022年版）》 提出，教师要根据不同的学习任务和学习对象，选择合适的教学方式. 同时，教师要重视设计合理的问题，引发学生的认知冲突，从而提高学生问题提出的能力[1]. 在教学中恰当利用错题资源，能够引起学生认知差异，激发学生探究欲望，培养批判性思维，提升学生问题发现、提出、分析和解决的能力. 下面笔者以《角平分线模型》中考复习导学案中的一道错题为例，引导学生通过在课堂上分享本题的解决方法与解题经验，在交流中不断反思、溯源，从而全面巩固知识技能，提升数学思维与能力.

问题呈现

如图1，在△ABC中，∠BAC=108°，AC=AB，CD平分∠ACB交AB于点D，若BD=4，BC=9，求AC的值.

课前准备

将《角平分线模型》导学案提前让学生完成，笔者在课前进行批改，发现答案为5的约占全班学生的80%，答案为的约占10%，认为没有答案的约占5%，不会做的约占5%. 将学生的做法进行整理归类，笔者在课前诚邀学生作为一名“小老师”做好说题准备，为同学讲解本题的思路方法与解题经验.

说题展示

学生1的解题思路：

本题的切入条件可从角平分线出发，角平分线即对称轴，因此可构造对称全等，从而将边角条件进行转化.

解法1：

因为∠A=108°，AB=AC，所以∠B=36°. 如图2，在BC上截取CE=AC，易证△CED≌△CAD（SAS），所以∠CED=∠A=108°. 因为∠CED是△BED的外角，易推出∠BDE=∠BED=72°，所以BE=BD=4. 由CE=BC-BE=9-4=5，所以AC=CE=5.

学生2的解题思路：

做法与解法1的本质一样，根据角平分线的条件构造对称全等.

解法2：

因为∠BAC=108°，AB=AC，所以∠B=36°. 如图3，延长CA至点F使得CF=BC=9，易证△CFD≌△CBD（SAS），所以FD=BD=4，∠F=∠B=36°. 因为∠BAC是△FAD的外角，易推出∠FDA=∠FAD=72°，所以FA=FD=4. 因此AC=FC-FA=9-4=5.

学生3的解题思路：

联想角平分线的性质定理，可过点D作到角两边的垂线段. 再利用等面积法可推导出未知线段与已知线段间的数量关系，进而求解.

解法3：

如图4，过点D分别作DM⊥BC，DN⊥CA，垂足分别为M，N，所以DM=DN. 设AB=AC=x，则AD=x-4. 以AD，BD为底边，△ACD和△BCD共高，所以=. 再以AC，BC为底边，则=. 因为DM=DN，所以=，进而可得=，即=，解得x=AC=.

学生4的解题思路：

由角平分线与平行线结合推出等腰三角形的基本图形，可作平行线进行边角的转换，形成一组相似三角形，再利用对应线段成比例进行求解.

解法4：

因为∠A=108°，AB=AC，所以∠B=∠ACB=36°. 如图5，过点D作DG∥AC交BC于点G，所以∠DGB=∠ACB=∠B=36°，易推得DG=BD=4. 因为CD是角平分线，所以∠ACD=∠GCD. 因为DG∥AC，所以∠GDC=∠ACD.  于是有∠GDC=∠GCD，CG=DG=4，因此BG=5. 根据DG∥AC，易得△BGD∽△BCA，所以=，即=，解得AC=.

<D：＼数学教学通讯中旬＼2024数学教学通讯中旬（10期）＼2024数学教学通讯中旬（10期） c＼10-128.tif>[B][D][C][A][图5][G]

学生5的解题思路：

做法与解法4类似，构造平行线形成等腰三角形加一组相似三角形，起到“一箭双雕”的作用.

解法5：

如图6，过点A作AH∥BC交CD的延长线于点H. 设AB=AC=x，则AD=x-4. 因为CD是角平分线，所以∠ACH=∠BCD. 因为AH∥BC，所以∠H=∠BCD.  于是有∠H=∠ACH，所以AH=AC=x. 根据AH∥BC，易得△AHD∽△BCD，所以=，即=，解得x=AH=.  所以AC=.

追本溯源

通过五位同学的解题分享，学生陷入沉思，都不由地提出疑惑：为什么方法不一样会导致结果不相同. 多种答案的可能使学生产生了认知差异，激发了他们探索问题的欲望. 趁此机会，笔者肯定学生的提问，并继续引导：“是的，为什么会产生多个答案呢？对于此题，大家还能提出什么问题？”凭借对解题过程的理解与反思，学生纷纷提出自己的想法，对其进行归纳后，问题可分为以下两类：是什么原因导致一题出现多个答案？能用几何画板进行验证吗？

带着以上困惑，笔者邀请“认为没有答案”的学生6讲解自己的理由. 学生6认为，通过题目条件“在△ABC中，∠BAC=108°，AC=AB”，可求得∠B=∠ACB=36°. 又因为BC=9，所以△ABC的角边角确定，即形状确定，那么角平分线所分线段BD应唯一可求，但这与题目条件“BD=4”可能存在矛盾，这或许就是导致题目出现多个答案的“罪魁祸首”. 学生6的解释让同学们激动不已，纷纷要求笔者用几何画板演示验证一番. 几何画板结果如图7所示：

如图7，当∠BAC=108°，AC=AB，BC=9时，AB，AC的值唯一确定，约为5. 56，即△ABC形状大小唯一确定.

=1.00

BA=5.56厘米

AC=5.56厘米][C][A][图7]

如图8，在∠BAC=108°，AC=AB，BC=9的基础条件下，当CD是角平分线时，BD约为3.44，并不是题目条件所给的“BD=4”，由此确定“BD=4”是一个无用且有误的条件.

如图9，在∠BAC=108°，AC=AB，BC=9的基础条件下，当BD=4时，∠ACD≠18°，所以CD不是角平分线，与题目条件相悖.

笔者对学生的积极探索精神表示肯定，引导学生对解题过程进行反思总结：在问题解决过程中不能仅关注几何图形的直观性，套用模型，还应注重数学的内在辩证逻辑关系[2].

问题改编与解决

基于此问题的基本图形和基本条件，笔者引导学生思考：“这道题能进行怎样的改编？大家还能提出什么新的问题并解决？”

学生纷纷提出自己的想法，最后大家统一将问题改为两个小问.

如图10，在△ABC中，∠BAC=108°，AC=AB，BC=9.

（1）求AC的值;

（2）如图11，当CD平分∠ACB交AB于点D时，求BD的值.

对于问题（1），顶角为108°的等腰三角形的两底角是36°，虽然108°、36°不是常见的特殊角度，但联想到这是一个黄金三角形，所以可以将顶角108°分割成72°和36°，从而这条分割线将黄金三角形分成了两个小的等腰三角形. 如图12所示，过点A作AK交BC于点K，使得∠KAC=∠KCA=36°，所以∠BAK=72°. 因为∠B=36°，所以∠BKA=72°，BK=AB=AC. 设AC=BK=x，则KC=9-x. 因为∠KAC=∠B=36°，易得△CAK∽△CBA，所以=，即=，解得x=AC=.

关于问题（2），设BD=m，则AD=-m. 由学生3的解法，得到=，所以=，解得m=BD=.

此环节的问题改编与解决，不仅能激发学生的学习动力与合作交流意识，还增强了学生发现问题、用恰当的数学语言表达问题、再迁移运用所学分析问题和解决问题的能力.

教学启发

1. 抓住教学契机，提升学生学科能力

《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出，要注重问题提出对学生主动参与教学活动的促进作用，使学生在活动中逐步发展核心素养. 虽然题目出错源于命题人的不严谨，但教师可抓住此教学契机，巧设教学活动，利用错题引起学生的认知冲突，进而产生疑问，激发探究欲望，让学生在发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程中感受学习数学的方法，养成用数学的思维思考问题的习惯. 同时，在解决问题环节，学生需要从多个角度综合多个知识点论证自己的观点，由此提高了学生几何直观、推理意识与推理能力，培养了学生的核心素养.

2. 开展交流合作，积累基本活动经验

心理学研究表明，同伴群体是影响中学生成长的重要因素. 课堂中，相比教师的“满堂灌”，学生更愿意倾听同龄人的想法. 俗话说：“他山之石，可以攻玉”，在课堂上设置学生解题经验分享环节，能让聆听的学生学习好的方法思路与解题经验，了解自己的问题所在，取长补短. 同时，分享的学生要将题目说好讲好，让同伴接受，就需要提前做好解题分析的准备（同学的思维障碍是什么，怎么解决这个困惑，解题方法有多少种，怎样用恰当的数学语言分析题目……），这个准备过程不仅能强化他们用数学的思维和语言思考问题、表达问题的能力，还能让他们在展示的过程中树立学科自信，激发学习的欲望，让学生真正成为学习的主体.

3. 注重信息技术，培养自主学习能力

由于思维发展的限制，初中生的数学学习多从特殊到一般、从直观猜想到归纳推理. 在课堂上，教师可以多利用专业的数学软件探讨上课的内容，帮助学生经历猜想、验证、归纳、总结的学习过程，感悟数学学习的一般方法，积累数学学习的活动经验. 例如本节课利用几何画板对矛盾条件进行分类展示，让学生直观感受几何图形，知道自己的猜想是对的，是有依据保证的，从而激发学生继续探究的兴趣，提出新的问题.

21世纪是终生学习的时代，学会自主学习是时代发展的需要. “授人以鱼不如授人以渔”，教师在利用信息技术的过程中，展示着科技技术的优势，这能让学生感受到技术的魅力，从而发现信息技术对学习的有效帮助，刺激他们学习技术的欲望，进而为自主学习提供技术工具的支持，提升自主学习能力.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2022.

[2]刘建广. 挖掘错题价值，培育质疑能力[J]. 中学数学教学参考，2023（17）：40-42.