生长数学下“法则课”教学的实践与思考

[摘  要] 数学教学是一种生长的过程，既是知识、方法、经验生长的过程，也是思维生长的过程，最终达到学生核心素养的不断生长的目的. 文章立足于数学核心素养，提出法则课教学需达成法则生长必要化、生活化、主体化、递进化、策略化，使其在学生核心素养生长的角度下展开，让学生的思维从低阶转向高阶生长，最终体现数学课的育人价值.

[关键词] 核心素养;生长数学;法则课教学;实践探索

核心素养下的数学教育变革是新时代的需求，也满足学生未来发展的需要. 基于此现实，教师应提高对数学教学的认识. 美国教育家杜威提出：教育即生长. 他提出需要尊重儿童，使一切教育和教学合乎于儿童的心理发展水平和兴趣、需要的要求. 我们培养的人不仅仅是指具有知识与技能，更应该是具备会用数学的眼光观察、会用数学的思维思考、会用数学的语言表达现实世界的能力的人. 由此，笔者认为数学教学是一种生长的过程，既是知识、方法、经验生长的过程，也是核心素养生长的过程，需要尊重学生原有的知识体系和其求知的愿望，它应把数学实际和学生现有的知识作为生长源，引导学生自然生成、不断生长.

因此，要倡导生长数学课堂，培养学生的数学核心素养，教师不仅要教会学生法则的运用，还要让学生感受学习法则课的必要性，经历法则生长的过程以及会运用法则解决实际问题. 那么，开展生长数学下“法则课”的教学有何策略？笔者以浙教版七上“有理数的除法”为例，谈谈生长数学下“法则课”的教学如何开展.

旧知回溯，法则生长必要化

学习动机是指学生个体内部促使其从事学习活动的驱动力. 笔者认为，课堂伊始要挖掘学生学习知识内容的动机. 以“有理数的除法”为例，学习除法运算是学习加法、减法、乘法运算的顺延，有其学习的必要性. 在课堂的起始，教师需要不断激发学生学习知识内容的迫切感.

教学片段1：

师：请同学们完成以下填空题.

1. 计算

（1）（-7）+16=____，（2）9-（-7）=____，（3）9×（-2）=____，（4）（-18）×

-=____.

2. 填空

-的倒数是____，-8的倒数是____，的倒数是____.

师：从题1（1）、题1（2）的运算构成来看，你能找到它们之间的关联吗？

生：减法是加法的逆运算.

师：因为减法是加法的逆运算，所以我们是在加法的基础上学习减法的.

师：题1（3）、题1（4）属于乘法运算，你能说说乘法运算法则吗？

生1：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 任何数与零相乘，积为零.

师：我们目前已经学习了哪些有理数的运算？

生：加法、减法、乘法.

师：不错. 那请同学们猜想下，今天的课堂我们将会学习什么内容？

生：有理数的除法.

设计意图  学生通过练习，回顾了加法、减法、乘法运算，加深了对减法学习最终是化归为加法的印象，为接下来除法的学习做铺垫. 乘法法则与除法法则的推导类似，练习中乘法运算的设置旨在帮助学生回忆乘法法则，其中对倒数的回顾也是为除法运算的转化做铺垫.

学生通过猜想课堂的学习内容，对整章内容的结构有了一定的认识，因此学习除法是有其顺延性和必要性的.

激趣引入，法则生长生活化

著名数学教育家弗赖登塔尔曾说过：没有一种数学的思想，以它被发现时的那个样子公开发表出来. 教材是学生学习的载体，但教材中的许多内容往往呈现的是一些结论，特别是法则课，学生容易关注法则最后的结论，而忽视法则得出的过程. 新课标明确指出：要让学生学会通过数学的眼光，从现实世界的客观现象中发现数量关系和空间形式，提出数学问题，只有让学生学会用数学的眼光观察，才能培养学生的核心素养，更好地感受数学的魅力. 这就需要教师在教学中根据学生已有知识水平将教材内容进行形态化处理，给教材“披上外衣”，让教材变得更加有魅力，激发学生的求知欲.

教学片段2：

师：同学们，我们一起来看生活中的问题1，某商场一年平均每月亏损0.4万元，那么该商场全年亏损多少万元？你能列出算式并计算吗？

生：能. 0.4×12=4.8（万元），所以亏损4.8万元.

师：很好. 你能将“亏损”体现出来吗？

生：-0.4×12=-4.8.

师：问题2，若商场一年共亏损4.8万元，那么该商场平均每月亏损多少万元？你能列出算式吗？

生：-4.8÷12.

师：那么，以我们现有的知识能计算上述算式吗？

生：不能.

师：我们说减法是加法的逆运算，对减法的学习是在加法的基础上展开的. 那么，同学们觉得有理数的除法可以如何学习呢？

生1：可以通过乘法学习除法.

师：为什么？

生1：因为除法是乘法的逆运算.

设计意图  教材中的数学知识往往是以数学形态的方式呈现的，特别是法则课. 因此，教师要创设一个合适的问题情境促进学生的思考，将数学形态转化为问题情境形态，给法则教学“披上外衣”. 问题1、2的提出，就是让学生进一步感受到学习有理数的除法的必要性，激发学生对学习有理数除法的渴求.

课堂上，教师将数学知识有血有肉地表现出来，而不是囫囵吞枣地让学生死记硬背. 创设合适的情境与问题，能够激发学生学习的兴趣，而源于学生兴趣的法则教学才具有意义，才能促进学生核心素养的生长.

学生探究，法则生长主体化

学生应是教学活动的中心，教师、教材、教学手段都应为学生的“学”服务. 教师在教学过程中不能脱离学生，学生作为学习的主体，在课堂学习中要充分发挥其主体性. 法则的给出，需要学生自主探究、自主归纳，用数学的思维思考现实世界，合乎逻辑地推出结论. 教师作为引导者，教学的设计和问题的提出需要更加精准，要引导学生自主探究、自然生成，形成重论据、有条理的思维品质，培养其科学态度与理性精神.

教学片段3：

师：请同学们完成以下填空题.

（1）由9×（-2）=-18，得 （-18）÷（-2）=（   ），（-18）÷9=（  ）;

（2）由 （-9） ×2=-18，得 （-18） ÷2= （   ），（-18） ÷（-9） = （  ）;

（3）由 （-9） ×（-2） =18，得 18÷（-2） = （   ），18÷（-9） = （   ）;

（4）由 0×a=0（a表示不等于0的有理数），得 0÷a= （   ）.

教师带领学生校对好答案后，继续开展教学.

师：请同学们回忆有理数的乘法有哪几种情况.

生1：同号相乘;异号相乘;与0相乘.

师：回答得很好，那么，请同学们猜想有理数的除法会有哪几种情况.

生：同号相除;异号相除;与0相除.

师：为了研究有理数的除法，老师将刚才同学们计算的式子进行了编号，呈现如下.

（1）（-18）÷（-2） =9 ;（2）（-18） ÷9=-2;（3）（-18） ÷2=-9;（4）（-18） ÷（-9） =2;（5）18÷（-2） =-9;（6）18÷（-9） =-2;（7）0÷a=0.

师：属于同号两数相除的有哪些？

生2：有（1）（4）两项.

师：属于异号两数相除的有哪些？

生2：有（2）（3）（5）（6）四项.

师：同学们有什么发现吗？可以用一句话来概括吗？

生：同号得正，异号得负.

师：符号部分已经确定，那数字部分呢？

生：把绝对值相除.

师：与0相除的情况呢？

生3：0除以一个数得0.

师：有同学要补充的吗？

生4：0除以任何一个不等于0的数都得0.

师：同学们能概括出除法法则吗？

生：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 0除以任何一个不等于0的数都得0.

设计意图  在教学片段2中，教师组织、引导学生积极思考，使学生经历法则猜想、验证、归纳的过程. 在整个过程中，教师倡导学生自主探索，经历法则的发生与发展及“再发现”的过程，充分体现了学生的主体地位. 学生只有经历这样的过程，才能形成自己的思考，培养核心素养.

巧设层次，法则生长递进化

新课标指出要尊重学生的个体差异，也就是要尊重学生思维发展水平和数学学习能力的差异. 数学教学要从学生的实际出发，使不同层次学生的认知结构、经验方法、情感态度都能得到好的生长. 法则教学最终还是要落实到法则的运用上，那么例题和练习的精选尤为重要. 笔者认为，为了促进学生核心素养的生长，设置例题和练习时，需要由低层次向高层次递进，在递进过程中，不断让学生获得成就感和满足感，激发学生的学习兴趣，培养学生的实践能力.

层次1：

例1 计算：（1）（-8）÷（-4）;

（2）（-3.2）÷0.08;（3）0÷

- .

练习 计算：（1）（-36）÷（-4）;（2）

-÷.

设计意图  层次1中的例1主要以巩固为主，会简单运用除法法则，并且类比乘法法则的基本步骤，归纳出进行有理数除法运算时也可以分为三步，即定类型，定符号，定商的绝对值. 练习中的题（2）意在引导学生思考除法运算还可以转化为乘法运算，将

-÷的除法运算转化为

-×的乘法运算，给出解决有理数除法运算的另外一种思路.

层次2：

例2 计算：（1）-÷（-7）×;（2）3.5÷÷

-.

练习 计算：（1）（-12）÷4×（-16）;（2）÷

-÷（-0.25）;（3）（-15）÷6÷2.

设计意图  层次2还是以巩固为主，在简单运用法则的基础上，将多个有理数相乘除. 根据同级运算顺序，学生可先将前两个数进行运算，将所得的运算结果再与第三个数进行运算. 除此之外，还可以把除法运算都转化为乘法运算，这样就将问题化归为有理数乘法的内容. 多种运算方式旨在让学生真正掌握有理数乘除法运算的本质. 对于练习中的题（3），学生容易先进行6÷2的运算，这里需要适时点拨，强调除法没有结合律.

层次3：

阅读材料，解答下列问题：

计算：÷

-.

解法1：原式=÷-÷.

解法2：原式=÷（-）=÷

-=-.

解法3：原式的倒数为

-÷，而

-÷=

-×12=×12-×12=4-6=-2，故原式=-.

（1）上述三种解法得到的结果不同，你认为正确的解法是______.

（2）请你用多种方法计算：

-÷

-

+.

设计意图  层次3设置了拓展提升题，在学生掌握有理数的除法法则后，先通过问题（1）让学生再次探讨除结合律以外的其他运算律，并对于除法是否具有分配律给出了解答. 学生通过观察最后的结果得到解法3也是正确的，进而发现除通过常规运算方法计算外，还可以思考被除数与除数之间的关系进行求解.

总的来说，教师设计多层次教学，设计一系列层层递进、螺旋上升的问题串，让学生的思维不断攀升，尊重了学生的个体差异，满足了不同学生学习的需求.

构建思路，法则生长策略化

有理数的除法法则是学生学习的第四个法则，学生已经经历了四次法则的得出过程，后续还会有其他法则的学习，因此需要让学生明白法则课的研究思路也是有迹可循的，其可以分为五大部分（如图1）.

第一部分：通过经验，猜想法则

学生可以根据教师给出的实际情境，通过自己实际的经验，猜想法则的结果. 学生经验的获得可以是多方面的，比如生活经验、数学经验等，对于法则的猜想也需要教师适时的给予一个正确的方向，让学生大胆猜测、大胆尝试.

第二部分：依据实例，验证猜想

学生依据举出的大量例子去验证猜想，这时一些容易被学生忽略的地方需要教师点拨、提醒. 例如有理数的除法这节课中，需要教师提醒0不能作为除数.

第三部分：根据猜想，归纳法则

根据验证的猜想结果，让学生用自己的话去归纳法则，教师这时无须中断学生的归纳，只需纠正细节点，那么学生的认知结构、经验方法、情感态度都能得到较好的生长.

第四部分：例题小练，巩固法则

作为法则课，最后还是要落实到法则的应用上去. 对于法则的应用，教师需要给出例题，做出示范. 学生只有通过自主练习才能够真正巩固法则.

第五部分：能力提升，升华法则

法则课的教学要有其高度，不能单纯落在计算上，也要有思考的空间和维度. 如果仅仅是法则的计算应用，学生只有计算能力的提升，而没有核心素养的提升. 所以，法则课需要包含升华部分，以提升学生的思维品质.

一点思考

法则课的教学让学生经历“数学化”与“再创造”的过程，使学生形成自己对数学内容的理解. 《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础. 如果把已有的知识经验比作树的主杆，那么学生所要学习的新知犹如延伸开来的枝干，其过程就是一个生长的过程. 教师需要更多关注学生知识的生长源，通过精确把握学生生长源，拓展生长链. 数学教学除了体现知识、方法、经验的生长过程，还要体现思维生长的过程，让学生的思维从低阶转向高阶生长，让学生的数学核心素养不断生长，最终体现数学课的育人价值.